第四章时间序列模型的性质精选文档.ppt

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1、第四章时间序列模型的性质本讲稿第一页，共一百一十四页第一节 自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质返回本节首页下一页上一页本讲稿第二页，共一百一十四页一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页本讲稿第三页，共一百一十四页1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：本讲稿第四页，共一百一十四页本讲稿第五页，共一百一十四页2.ar(1)过程的自相关函数本讲稿第六页，共一百一

2、十四页本讲稿第七页，共一百一十四页本讲稿第八页，共一百一十四页本讲稿第九页，共一百一十四页通过上述推导可看出，当过程平稳即通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，时，AR(1)过程的自相关函数（过程的自相关函数（ACF）呈指数）呈指数衰减。衰减。如果如果 ，那么所有的自相关系数都为正，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。并逐渐衰减。如果如果 ，自相关系数的符号以负号开始，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。并呈正、负交替逐渐衰减。本讲稿第十页，共一百一十四页例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过

3、程趋势图和自相关图本讲稿第十一页，共一百一十四页-6-4-202482848688909294969800例例1，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图本讲稿第十二页，共一百一十四页例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减本讲稿第十三页，共一百一十四页例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图本讲稿第十四页，共一百一十四页-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图本讲稿第十五页，共一百一十四页例2

4、：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈正负交替指数衰减本讲稿第十六页，共一百一十四页3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式本讲稿第十七页，共一百一十四页本讲稿第十八页，共一百一十四页本讲稿第十九页，共一百一十四页本讲稿第二十页，共一百一十四页本讲稿第二十一页，共一百一十四页B.AR(1)过程的偏自相关函数本讲稿第二十二页，共一百一十四页上述结论说明：上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取在滞后一阶有一峰值，其符号取决于决于 。滞后一阶以后。滞后一阶以后PACF截尾。截尾。本讲稿第二十三页，共一百一十四

5、页例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾本讲稿第二十四页，共一百一十四页例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾本讲稿第二十五页，共一百一十四页二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页本讲稿第二十六页，共一百一十四页B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。本讲稿第二十七页，共一百一十四页本讲稿第二十八页，共一百一十四页注：我们下面对注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足性质的讨论中都假定平稳性条件满足本讲稿第二十九页，共一百一十四页-20

6、2-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示过程的平稳性区域如下图三角域所示本讲稿第三十页，共一百一十四页2.AR(2)过程的自相关函数本讲稿第三十一页，共一百一十四页本讲稿第三十二页，共一百一十四页本讲稿第三十三页，共一百一十四页本讲稿第三十四页，共一百一十四页通过上述推导可以如下结论，通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。本讲稿第三十五页，共一百一十四页3.AR(2)过程的偏自相关函数本讲稿第三十六页，共一百一十四

7、页本讲稿第三十七页，共一百一十四页通过上述证明可以得出如下结论：通过上述证明可以得出如下结论：本讲稿第三十八页，共一百一十四页例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图本讲稿第三十九页，共一百一十四页-4-202482848688909294969800例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图本讲稿第四十页，共一百一十四页例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾本讲稿第四十一页，共一百一十四页例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面

8、两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图本讲稿第四十二页，共一百一十四页-6-4-2024682848688909294969800例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图本讲稿第四十三页，共一百一十四页例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾本讲稿第四十四页，共一百一十四页例例3，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图本讲稿第四十五页，共一百一十四页-4-2024828486

9、88909294969800模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图本讲稿第四十六页，共一百一十四页模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾本讲稿第四十七页，共一百一十四页三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页本讲稿第四十八页，共一百一十四页B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值|i|1本讲稿第四十九页，共一百一十四页其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。即如果1，2p是上述特征方程

10、的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|i|1注：下面对注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定性质的讨论，都假定平稳性条件满足。平稳性条件满足。本讲稿第五十页，共一百一十四页对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。本讲稿第五十一页，共一百一十四页2.AR(p)的自相关函数ACF本讲稿第五十二页，共一百一十四页本讲稿第五十三页，共一百一十四页通过上述推导有如下结论：通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有对于平稳过程，有|i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，所以

11、，AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)滞滞后后p阶截尾。阶截尾。本讲稿第五十六页，共一百一十四页第二节 移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质返回本节首页下一页上一页本讲稿第五十七页，共一百一十四页一、一阶移动平均过程MA(1)的性质一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页下一页上一页本讲稿第五十八页，共一百一十四页1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，(B)=11B=

12、0 的根的根必须在单位圆外。必须在单位圆外。本讲稿第五十九页，共一百一十四页注：以后对注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：都假定可逆性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果10at为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减本讲稿第六十九页，共一百一十四页例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：本讲稿第七十页，共一百一十四页本讲稿第七十一页，共一百一十四页Xt=at(0.85)at-1 =(1(0.85)B)at其中1=0.850呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾本讲稿第七十二页，共一百一十四页二、二阶移动平

13、均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页下一页上一页本讲稿第七十三页，共一百一十四页1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。本讲稿第七十四页，共一百一十四页本讲稿第七十五页，共一百一十四页2.MA(2)过程的自相关函数ACF本讲稿第七十六页，共一百一十四页本讲稿第七十七页，共一百一十四页本讲稿第七十八页，共一百一十四页2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)本讲稿第七十九页，共一百一十四页对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征

14、方程:11B2B2=0 的根是实数，则kk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则kk 是一衰减的正弦波。本讲稿第八十页，共一百一十四页本讲稿第八十一页，共一百一十四页滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)本讲稿第八十二页，共一百一十四页本讲稿第八十三页，共一百一十四页滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)本讲稿第八十四页，共一百一十四页三、q阶移动平均过程MA(q)性质返回本节首页下一页上一页本讲稿第八十五页，共一百一十四页1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。本讲稿第八十六页，共一百一十四页对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用

15、其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。本讲稿第八十七页，共一百一十四页2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)本讲稿第八十八页，共一百一十四页因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。本讲稿第八十九页，共一百一十四页3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。本讲稿第九十页，共一百一十四页返回本节首页下一页上一页一

16、、ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质第三节 自回归移动平均ARMA(p,q)过程本讲稿第九十一页，共一百一十四页一、ARMA(1,1)的性质返回本节首页下一页上一页本讲稿第九十二页，共一百一十四页1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性本讲稿第九十三页，共一百一十四页2.ARMA(1,1)过程的ACF本讲稿第九十四页，共一百一十四页本讲稿第九十五页，共一百一十四页本讲稿第九十六页，共一百一十四页通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数由1和1共同决定。当k2时，自相关系数仅取决于1即差分方程

17、(B)=0的根，呈指数衰减。本讲稿第九十七页，共一百一十四页3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态由1和1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。本讲稿第九十八页，共一百一十四页例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：本讲稿第九十九页，共一百一十四页例例1.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾本讲稿第一百页，共一百一十四页例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程

18、的样本ACF和样本PACF：本讲稿第一百零一页，共一百一十四页例例2.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾本讲稿第一百零二页，共一百一十四页本讲稿第一百零三页，共一百一十四页返回本节首页下一页上一页二、ARMA(p,q)过程的性质本讲稿第一百零四页，共一百一十四页1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性本讲稿第一百零五页，共一百一十四页本讲稿第一百零六页，共一百一十四页2.ARMA(p,q)过程的ACF本讲稿第一百零七页，共一百一十四页本讲稿第一百零八页，共一百一十四页由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后滞后

19、q阶后拖尾。阶后拖尾。当kq时，即前q项自相关系数q,q-11取决于自回归和移动平均的参数。当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数，即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与移动平均的参数无关。本讲稿第一百零九页，共一百一十四页3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式比较复杂，由于它包括MA过程这个特例，所以它的PACF也由(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。本讲稿第一百一十页，共一百一十四页既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间序列的样本自相关图判断ARMA模型的阶数就比较困难。但是如果通过样本自相关图得到一个时间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们至少能判断出该过程不是纯AR或纯MA过程，而是混合ARMA过程。至于模型阶数的确定，第五章将作介绍。本讲稿第一百一十一页，共一百一十四页第四节 ARMA 模型的性质总结本讲稿第一百一十二页，共一百一十四页本讲稿第一百一十三页，共一百一十四页Thank you very much!本讲稿第一百一十四页，共一百一十四页