第四章变量数列分析精选文档.ppt

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1、第四章变量数列分析本讲稿第一页，共一百二十八页第一节第一节 变量数列分析概述变量数列分析概述 一、变量数列分析的内容一、变量数列分析的内容 1、总体结构与分布特征分析。2、集中趋势分析。3、离中趋势分析。4、偏度与峰度分析。本讲稿第二页，共一百二十八页二、变量数列分析的作用变量数列分析的作用 1、认识作用。2、比较作用。3、数量标准作用。4、推断作用。本讲稿第三页，共一百二十八页三、变量数列分析的原则三、变量数列分析的原则 1、注意总体各单位的同质性。2、用组平均数补充说明总平均数。3、用分配数列补充说明总平均数。4、集中趋势与离中趋势结合应用。5、一般与个别结合应用。本讲稿第四页，共一百二十

2、八页第二节第二节 集中趋势分析集中趋势分析一、平均指标的意义一、平均指标的意义 （一）平均指标的概念（一）平均指标的概念 平均指标又称平均数，是指某一数量标志在总体各单位上所达到的一般水平。（二）平均指标的特点（二）平均指标的特点 将具体数值抽象化，用一个代表性的数字来代表总体的一般水平。本讲稿第五页，共一百二十八页（三）平均指标的作用（三）平均指标的作用 1、反映总体分布的集中趋势。2、比较同类现象在同一时间、不同空间上的水平。3、比较同类现象在同一空间、不同时间上的水平。本讲稿第六页，共一百二十八页（四）平均指标的种类（四）平均指标的种类 算数平均数 计算平均数 调和平均数 一般平均数 （

3、数值平均数）几何平均数 （静态平均数）众 数 位置平均数平均数 中 位 数 平均发展水平 动态平均数 平均增长水平 （序时平均数）平均发展速度 平均增长速度 图图6-1本讲稿第七页，共一百二十八页二、算术平均数二、算术平均数 （一）概念和基本公式一）概念和基本公式 算术平均数是指总体标志总量与总体单位总量对比所得之比值。一般用符号 表示。其基本公式为：本讲稿第八页，共一百二十八页在计算算术平均数时应注意：分子、分母必须同属于同一总体，且具有一一对应的关系，即：有一个总体单位必须有一个标志值与之对应。只有这样计算出来的平均指标才能表明总体的一般水平。这正是平均指标与强度相对指标的区别，强度相对指

4、标是两个有联系的不同总量指标对比的结果，这两个总量指标没有依附关系，而只是经济内容上存在客观联系。本讲稿第九页，共一百二十八页（二）计算方法（二）计算方法 1、简单算术平均法。、简单算术平均法。（1）适用对象）适用对象。简单算术平均法适用于求未分组资料的平均数。（2）计算公式。）计算公式。本讲稿第十页，共一百二十八页 例例6-1 某班组20名工人的周工资分别为：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，则其平均工资为：本讲稿第十一页，共一百二十八页2、加权算术平均法。、加权算

5、术平均法。（1）适用对象）适用对象。加权算术平均法适用于对已分组的资料求平均数。（2）计算公式）计算公式。当权数为绝对数当权数为绝对数 f 时时。本讲稿第十二页，共一百二十八页例例6-2 某班组20名工人按周工资分组资料如下表：表表6-1按周工资分组（元）x工人人数（人）f xf 150 180 200 220 240 260 280 2 3 4 6 3 1 1 300 540 800 1320 720 260 280 122 93 44 54 87 49 69 7442 2883 484 486 2523 2401 4761 20 4220 518 20980本讲稿第十三页，共一百二十八页

6、当权数为频率当权数为频率f/f时。时。本讲稿第十四页，共一百二十八页例例6-3 某班组若干名工人按周工资分组的资料如下表：表表6-2按周工资分组（元）x 各组人数占总人数比重（%）f/f xf/f 150 180 200 220 240 260 280 10 15 20 30 15 5 5 15 27 40 66 36 13 14 100 211本讲稿第十五页，共一百二十八页 =211(元）本讲稿第十六页，共一百二十八页（三）关于加权算术平均数的几点说明（三）关于加权算术平均数的几点说明 1、加权算术平均数同时受变量值x和权数f或f/f两个因素的影响。2、权数从形式上讲可以是频数f，也可以是频

7、率f/f。3、对同一原始资料而言，用频数f与用频率f/f求出的平均数始终是相等的。4、权数对平均数的大小有权衡轻重的作用，即哪一个组的权数最大，计算出来的平均数就与该组的变量值最接近。5、各组频率没变，不论频数是否变化，平均数始终都不变；各组频率发生变化，不论频数是否变化，平均数也发生变化。本讲稿第十七页，共一百二十八页例如，某建筑工地上，各种起重机和起重机台数构成资料如下：起重（吨）起重机台数（台）各组所占比重起重总量（吨）合计平均起重量 =4010%+2520%+1030%+540%=14吨本讲稿第十八页，共一百二十八页权数对平均数的大小不取决于它的绝对值的大小而取决于它的比重大小，若各组

8、单位数与总体单位数同时发生变化，各组比重不变，则平均数不变。起重量（吨）起重机台数（台）各组起重机占比重起重总量（吨）合计平均起重量X=4010%+2520%+1030%+540%=14吨本讲稿第十九页，共一百二十八页 6、当个组频数或频率相等时，权数就失去了其应有的作用，此时，加权算术平均数就变成了简单算术平均数，所以说简单平均数是加权平均数在权数相等是的一个特例。若各组单位数相同，即1=2=n=,则加权算术平均数计算公式与简单算术平均数存在下面的关系式：所以简单算术平均数是加权算术平均数的一个特例，是权数相等条件下的加权算术平均数。本讲稿第二十页，共一百二十八页7、根据组距数列求加权算术时

9、，需取组中值作为各组变量值的代表，是假定总体各单位在各组内部是均匀分布的，但并非如此，故计算的平均数只是一个近似值。本讲稿第二十一页，共一百二十八页8、在计算加权算术平均数时，对于权数的选择必须慎重考虑。例如，计算平均利润率、平均合格率、平均费用率、平均计划完成程度等等，应根据被研究标志的性质及具有的权数资料选择不同的方法，下面请看例子：本讲稿第二十二页，共一百二十八页例1：某市某局所属15个企业工业增加值计划完成情况的组距分配数列资料如下：计划完成程度 (%)组中值 (%)企业数 (个)计划数 (万元)90100 95 5 100 100110 105 8 800 110120 115 2

10、100 合计 15 1000根据上述资料计算该公司平均计划完成程度如果以企业数为权数就不对本讲稿第二十三页，共一百二十八页例2：某公司下属三个门市部销售情况如下：部门销售利润率(%)销售额(万元)A 12 1000 B 10 2000 C 7 1500 合计 4500根据以上资料计算该公司的平均利润率。本讲稿第二十四页，共一百二十八页例3：某市100个超市的月销售额与流通费用情况如下：按销售额分组（万元）商店数（个）销售费用率（%）50以下 10 14、2 50100 20 11、4 100200 30 10、1 200300 25 9、2 300以上 15 8、5 合计 100 本讲稿第二十

11、五页，共一百二十八页 （四）算术平均数的数学性质（四）算术平均数的数学性质 1、各变量值与其算术平均数离差的和等于0。即：本讲稿第二十六页，共一百二十八页本讲稿第二十七页，共一百二十八页 2、各变量值与其算术平均数离差平方的和为最小。即：本讲稿第二十八页，共一百二十八页本讲稿第二十九页，共一百二十八页（五）算术平均数的特殊应用（五）算术平均数的特殊应用1、等级（品质标志）平均数(例64和例65）。2、评分平均数（教材P6263）。3、先进平均数（例66和例67）。4、截尾平均数（教材P63）。本讲稿第三十页，共一百二十八页 例例6-4 某地区劳动力资源按文化程度不同的分组资料如下表。要求计算该

12、地劳动力资源的平均文化程度。表表6-3 按文化程度 分 组 人数（万人）f受教育年限（年）x xf 大学 高中 初中 小学 文盲、半文盲 5 35 70 115 25 16 12 9 6 0 80 420 630 690 0 250 1820本讲稿第三十一页，共一百二十八页 例例6-5 某农产品收购站2003年收购的某农产品按收购等级分组得资料如下表。要求计算该农产品的平均等级。表表6-4 按 等 级 分 组收购量（公斤）f x xf 特等品 一等品 二等品 三等品 等外品 300 500 1000 350 50 0 1 2 3 4 0 500 2000 1050 200 2200 3750本

13、讲稿第三十二页，共一百二十八页例例6-6 资料见例62。要求计算该班组20名工人周工资的先进算术平均数。本讲稿第三十三页，共一百二十八页例例6-7 资料见例615。要求计算该班学生统计学考试成绩的先进算术平均数。表表6-5 按成绩分组 （分）人数（人）f x xf 73.2080 8090 90以上 17 7 2 76.60 85 95 1302.20 595 190 26 2087.20本讲稿第三十四页，共一百二十八页三、调和平均数三、调和平均数 （一）概念和基本公式（一）概念和基本公式 调和平均数又称倒数平均数，是指各变量值倒数的算术平均数的倒数。一般用 符号表示。其基本公式为：本讲稿第三

14、十五页，共一百二十八页（二）计算方法（二）计算方法 1、简单调和平均法。、简单调和平均法。（1）适用对象。简单调和平均法适用于对未分组资料求平均数。（2）计算公式。本讲稿第三十六页，共一百二十八页 例例6-8 某种蔬菜在某个农贸市场早、中、晚的价格分别为（元/斤）：2.00、1.80、1.50，则某人早、中、晚各买1元时的平均价格为：=1.74（元）本讲稿第三十七页，共一百二十八页2、加权调和平均法。、加权调和平均法。（1）适用对象。）适用对象。加权调和平均法适用于对已分组资料求平均数。（2）计算公式。）计算公式。=本讲稿第三十八页，共一百二十八页（3）应用。应用。例例6-9 某班若干名学生按

15、年龄分组的资料如下表：表表6-6 按年龄分（岁）x 总年龄（岁）m m/x 18 19 20 21 22 36 190 520 210 44 2 10 26 10 2 1000 50本讲稿第三十九页，共一百二十八页 例例6-10 某公司所属甲、乙、丙三个企业的利润率和利润额资料如下表。要求计算甲、乙、丙三个企业的平均利润率。表表6-7 企 业 名 称 利润率（%）x利润额（万元）m m/x 甲 乙 丙 15 18 16 75 396 104 500 2200 650 575 3350本讲稿第四十页，共一百二十八页 例例6-11 某单位2003年新、老职工的有关工资资料如下表。要求计算该单位新、

16、老职工的平均工资。表表6-8 职 工 类 别 平均工资（元）x工资总额（元）m m/x 新职工 老职工 13000 17000 4550000 11050000 350 650 15600000 1000本讲稿第四十一页，共一百二十八页四、几何平均数四、几何平均数 （一）几何平均数的概念（一）几何平均数的概念 几何平均数是指N个比率连乘积的N次方根。一般用符号 表示。（二）几何平均数的计算方法（二）几何平均数的计算方法 1、简单几何平均法。、简单几何平均法。（1）适用对象。）适用对象。简单几何平均法适用于对未分组的N个比率求平均数。（2）计算公式。）计算公式。本讲稿第四十二页，共一百二十八页

17、例例6-12 某企业生产某产品要经过五道工序，已知各工序的合格率分别为98%、95%、98%、97%和95%，要求计算五道工序的平均合格率。本讲稿第四十三页，共一百二十八页2、加权几何平均法。、加权几何平均法。（1）适用对象。）适用对象。加权几何平均法适用于对已分组的N个比率求平均数。（2）计算公式。）计算公式。本讲稿第四十四页，共一百二十八页 例例6-13 某校某年统计学期末考试各班级按及格率分组的资料如下表。要求计算各班级的平均及格率。表表6-9 按及格率分组（%）x 班级数（个）f 60以下 6070 7080 8090 90以上 2 7 13 5 3 30本讲稿第四十五页，共一百二十八

18、页（三）、几何平均数、调和平均数和算术平均数的关系：1、从统计认识的角度看，上述三种平均数是无关的，即这三种平均数，只能根据统计研究的性质单独使用，不可同时使用。2、但从数量上看，它们存在着如下关系：HGX（只有当所有变量值都相等的情况下，三种平均数才相等）。明白了这个关系，就可判定：在该用算术平均数时，如果用了其它平均数则结果必小；在该用调和平均数时，如果用了其它平均数则结果必大。本讲稿第四十六页，共一百二十八页3、仅以两个变量值来证明以下不等式关系：证明：（ab）2=a22ab+b20 本讲稿第四十七页，共一百二十八页4、举例：某机械厂六个工人某天生产零件如下：15、16、17、18、19

19、、20件，用三种方法计算其平均日产量。HGX假设当六个工人产量均为18件时，则H=G=X本讲稿第四十八页，共一百二十八页五、众数五、众数 （一）众数的概念（一）众数的概念 众数是指变量数列中出现次数最多的变量值。一般用符号 表示。（二）众数的前提条件（二）众数的前提条件 1、变量值必须分组。2、变量值要有明显的集中趋势。本讲稿第四十九页，共一百二十八页众数是变量数列中出现次数最多的变量值。由于它出现次数最多，所以可以代表社会现象的一般水平，并且众数对算术平均数的影响很大。例如：某鞋店某月女式皮鞋的销售量如下：34码 20双 35码 60双 36码 75双 37码 60双 38码 60双 39码

20、 30双 40码 5双 共计销售了310双，出现次数最多的是36码，销售了75双，那么36码则是众数。本讲稿第五十页，共一百二十八页 （三）众数的确定方法（三）众数的确定方法 1、由单项数列确定众数。、由单项数列确定众数。众数=频数（频率）最多组的变量值 单众数只有一个组的频数（频率）为最多。复众数有两个组的频数（频率）一样为最多。无众数本讲稿第五十一页，共一百二十八页具体分三种情况：如：某车间三个生产班组工人某日生产零件数如下：第一组：70 72 75 75 75 75 75 75 78 80 众数：75件 出现6次，第二组：68 70 75 75 75 78 78 78 80 82 众数：

21、75、78件各出现3次 75+78/2=76、5第三组：68 70 75 78 80 82 84 90 94 95 无众数。本讲稿第五十二页，共一百二十八页 例例6-14 某班50名学生按年龄分组的资料如下表。试确定其年龄的众数。（20岁）岁）表表6-10 按年龄分（岁）人数（人）18 19 2 7 20 28 21 22 12 1 50本讲稿第五十三页，共一百二十八页2、由组距数列确定众数。、由组距数列确定众数。确定众数组。众数组=频数（频率）最多的组 按下列方法中的公式求众数的近似值。A、切伯插值法。（下限公式）（上限公式)本讲稿第五十四页，共一百二十八页 B、金氏插值法。C、皮尔逊经验法

22、。本讲稿第五十五页，共一百二十八页例如：某乡农民家庭年收入情况如下：根据上述资料确定其众数。解：第一步先确定众数所在组在：“14001600”这一组，具体为多少呢？近似地确定为：第二步用公式计算 按年收入分组（元）家庭户数 10001200 240 12001400 480 14001600 1050 16001800 600 18002000 270 20002200 210 22002400 120 24002600 30 合计 3000本讲稿第五十六页，共一百二十八页例例6-15 某班50名学生期末统计学考试成绩如下表：表表6-11按成绩分组（分）人数（人）f x xf 累计频数（人）较

23、小制 较大制 60以下 6070 4 12 55 65 220 780 4 16 50 46 7080 25 75 1875 41 34 8090 90以上 7 2 85 95 595 190 48 50 9 2 50 3660 要求：计算该班学生考试成绩的算术平均数、众数和中位数。本讲稿第五十七页，共一百二十八页本讲稿第五十八页，共一百二十八页六、中位数六、中位数 （一）中位数的概念（一）中位数的概念 中位数是指将变量值按大小顺序排列以后，位于数列中间位置的变量值。一般用符号 表示。（二）中位数的前提条件（二）中位数的前提条件 变量值必须按大小顺序排列。本讲稿第五十九页，共一百二十八页（三）

24、中位数的确定方法（三）中位数的确定方法 1、由未分组资料确定。、由未分组资料确定。（1）N为奇数时。为奇数时。（2）N为偶数时。为偶数时。本讲稿第六十页，共一百二十八页根据未分组资料确定中位数(1)、首先将标志值按大小顺序排列，(2)、然后根据 当n为奇数时，当n为 偶数时确定中位数的位置，(3)、再根据中位数的位置找出对应的标志值。本讲稿第六十一页，共一百二十八页例如：要测试7种新型小轿车的耗油量，每百公里耗油（公升）分别为：7 8 9 10 11 13 15 n=7中位数的位置 第4个位置对应的标志值就是中位数，Me=10公升/百公里上列标志值为奇数，若为偶数，如测试6种车的耗油量（公升）

25、分别为：7 9 10 11 13 15 n=6中位数的位置 在第3和第4个位置之间，则中位数是这两个位置对应的标志值的算术平均数，即：Me=（10+11）/2=10、5公升/百公里本讲稿第六十二页，共一百二十八页2、由已分组资料确定。、由已分组资料确定。（1）由单项数列确定。）由单项数列确定。第一、首先按公式，确定中位数的位置第二、再根据位置找出中位数所在组，用向上累计或向下累计次数刚好超过中位数位置次数的组确定为中为数组第三、再根据中位数组的位置找出对应的标志值，即为中位数。本讲稿第六十三页，共一百二十八页例如：某市场某种商品的销售情况如下，试确定其中位数。价格（元）价格（元）成交量（千克）

26、成交量（千克）较小制累计较小制累计较大制累计较大制累计、合计合计1、按公式确定中位数的位置 2、找出中位数所在的组，从较小累计次数看，第三组的累计次数为220千克，大于150、5千克，因此中位数必然在第三组，该组的标志值即为中位数 3、Me=3、00元本讲稿第六十四页，共一百二十八页2、由组距数列确定中位数。、由组距数列确定中位数。确定中位数组。确定中位数组。中位数组中位数组=f /2位置的变量值所在的组位置的变量值所在的组 由下列公式求中位数的近似值。由下列公式求中位数的近似值。（下限公式）（上限公式）本讲稿第六十五页，共一百二十八页 L表示中位数组的下限U表示中位数组的上限Sm1表示中位数

27、组以前各组的累计次数Sm+1表示中位数组以后各组的累计次数fm表示中位数的次数f表示总次数d表示中位数组的组距本讲稿第六十六页，共一百二十八页例如：某乡农民家庭年收入情况如下，试确定其中位数：按年收入分组（元）按年收入分组（元）家庭户数家庭户数较小制累计较小制累计较大制累计较大制累计合计合计解：1、先确定中位数位置 f/2=3000/2=1500 2、确定中位数所在组 从较小累计次数来看，第3组为1770，大于1500，因此中位数必在第三组。3、用公式计算中位数的近似值。本讲稿第六十七页，共一百二十八页按年收入分组（元）家庭户数较小制累计较小制累计合计合计本讲稿第六十八页，共一百二十八页七、各

28、种平均数之间的关系七、各种平均数之间的关系（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数的关系的关系（二）算术平均数、众数和中位数的关系（二）算术平均数、众数和中位数的关系 1、对称分布时（图图6-2）。2、右偏（正偏）分布（图图6-3）时。3、左偏（负偏）分布（图图6-4）时。（例6-19）本讲稿第六十九页，共一百二十八页中位数、众数、算术平均数的比较1、众数、中位数和算术平均数的关系在单峰条件下，如果数据的分布是对称的，则众数（M0）、中位数（Me）算术平均数必定相等，即M0=Me=X如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动算术平均数向极小值一方靠

29、,因此三者的关系表现为：XMeM0 如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动算术平均数向极大值一方靠，则M0MeX上述关系如图所示。P72本讲稿第七十页，共一百二十八页对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 图图图图图图6-26-26-2 均值均值均值均值均值均值=中位数中位数中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数众数众数右偏（正偏）分布右偏（正偏）分布右偏（正偏）分布右偏（正偏）分布右偏（正偏）分布右偏（正偏）分布 图图图图图图6-36-36-3众数众数众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值均值均值左偏（负偏）分布左偏（负偏）分布左偏（

30、负偏）分布左偏（负偏）分布左偏（负偏）分布左偏（负偏）分布 图图图图图图6-46-46-4 众数中位数众数中位数众数中位数众数中位数众数中位数众数中位数 均值均值均值均值均值均值按成绩分（分）人数（人）60以下 6070 7080 8090 90以上 1 11 26 11 1 50按成绩分（分）人数（人）60以下 6070 7080 8090 90以上 1 5 26 14 4 50按成绩分（分）人数（人）60以下 6070 7080 8090 90以上 4 14 26 5 1 50表表6-12表表6-13表表6-14本讲稿第七十一页，共一百二十八页根据经验，在偏斜适度的情况下，不论右偏还是左偏

31、，可以得到以下三个关系：M0=3(Me)=3Me2 Me=(M0+2)/3 =(3MeM0)/2例如：某地职工年消费支出众数为6000元，算术平均数为7500元，问近似的中位数是多少？消费分布是左偏还是右偏？中位数Me=(M0+2)/3=(6000+2*7500)/3=7000元M0(6000)Me（7000）（7500）所以消费分布为右偏。本讲稿第七十二页，共一百二十八页又如：某零件一批，直径小于806毫米者占全部产品的一半，测定结果出现次数最多的为810，试估计另一平均指标，并指出直径尺寸分布的偏斜情况。=(3MeM0)/2=(3*806+810)/2=804毫米(804)Me(（806）

32、乙组（60元），因而其平均数的代表性比乙组小。本讲稿第八十三页，共一百二十八页加权算术平均法。加权算术平均法。A、适用条件。、适用条件。加权算术平均法适用于求已分组资料的平均差。B、计算公式。、计算公式。本讲稿第八十四页，共一百二十八页加权平均差对分组资料计算平均差AD=工资水平(元)组中值 X人数工资总额(元)XX|XX|8001000 900 20 180001230 24600100015001250 50 62500 880 44000150020001750 120 210000 380 4560020025002250 280 630000 120 336002500以上2750

33、130 357500 620 80600 合计 6001278000 228400AD=本讲稿第八十五页，共一百二十八页3、标准差。、标准差。（1）标准差的概念。）标准差的概念。标准差又称均方差，是指各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。一般用符号 表示。（标准差的平方称为方差，用 表示。）本讲稿第八十六页，共一百二十八页 （2）标准差的计算方法。）标准差的计算方法。简单算术平均法。简单算术平均法。A、适用对象。、适用对象。简单算术平均法适用于求 未 分组资料的标准差。B、计算公式。、计算公式。本讲稿第八十七页，共一百二十八页简单标准差计算 甲组甲组 乙组乙组工资水平工资水平(元

34、元)X-X(X-X)2工资水平工资水平(元元)X-X(X-X)2 500-200 40000 600-100 10000 600-100 10000 650-50 2500 700 0 0 700 0 0 800 100 10000 750 50 2500 900 200 40000 800100 10000 合计合计 0100000 合计合计 0 25000 本讲稿第八十八页，共一百二十八页加权算术平均法。加权算术平均法。A、适用对象。、适用对象。加权算术平均法适用于求已分组资料的标准差。B、计算公式。、计算公式。本讲稿第八十九页，共一百二十八页加权标准差计算工资水平工资水平 (元元)组中组

35、中值值X人数人数 工资总额工资总额(元元)X-X(X-X)2(X-X)2 800-1000 900 20 18000-12301512900 30258001000-15001250 50 62500-880 774400387280001500-20001750120210000-380 144400173280002000-25002250280630000 120 14400 40320002500以上以上2750130357500 620 38440049972000 合计合计-6001278000 -140310000本讲稿第九十页，共一百二十八页4、离散系数。、离散系数。（1）概念

36、。）概念。离散系数又称标志变异系数，是指反映总体标志变异的全距（或平均差或标准差）与算术平均数对比所得之比值。一般用符号V表示。本讲稿第九十一页，共一百二十八页离散系数（Coefficient of variation）（）、（）、前面三种标志变异指标与平均数的关系：第一、在平均数相同的条件下，全距、平均差、标准差越小，平均数的代表越大；全距、平均差、标准差越大，平均数的代表越小。第二、在平均数不同的条件下，除了计算全距、平均差、标准差外，还需计算离散系数。离散系数大的，平均数的代表性小；离散系数小的，平均数的代表性大。本讲稿第九十二页，共一百二十八页例如：有甲乙两组工人的日产零件数如下：甲组

37、：60 65 70 75 80 X1=60+65+70+80/5=70件 1=7、07乙组：2 5 7 9 12 X2=2+5+7+9+12/5=7件 2=3、41件甲组的标准差大于乙组的标准差（12），但不能断言乙组的平均数的代表性就比甲组的高，这是因为两组数列标志值本身水平相差悬殊，这时候就需要用离散系数进行比较。本讲稿第九十三页，共一百二十八页（2）种类。）种类。全距系数。平均差系数。标准差系数。本讲稿第九十四页，共一百二十八页离散系数：是一组数据的标准差或平均差与其相应的平均数对比的比值，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：标准差系数：平均差系数：如上例：甲组的离散系数：V=7

38、、07/70=10、1%乙组的离散系数：V=3、41/7=48、7%计算表明，乙组的标志离散系数大于甲组的，故乙组的平均数的代表性小于甲组。本讲稿第九十五页，共一百二十八页 例例6-24 已知甲乙两厂工人2003年的劳动生产率资料如下表。要求比较两厂劳动生产率代表性的大小。表表6-15 厂 名劳动生产率（元）标准差（元）甲 厂 乙 厂 32000 16000 1200 800本讲稿第九十六页，共一百二十八页 例例6-25 甲乙两个橡胶厂某年生产某种轮胎的行驶里程资料如下表。要求比较两厂轮胎的质量哪一个较稳定。表表6-16 行驶里程 （公里）轮胎数占总数的比重（%）甲厂 乙厂 150002000

39、0 2000025000 2500030000 3000035000 35000以上 3.8 5.6 50.4 35.2 5.0 14.5 21.2 30.2 23.6 10.5 100.0 100.0本讲稿第九十七页，共一百二十八页本讲稿第九十八页，共一百二十八页三、方差的重要数学性质三、方差的重要数学性质 1、变量值的方差等于其平方的平均数减去其平均数的平方。即：本讲稿第九十九页，共一百二十八页证明：本讲稿第一百页，共一百二十八页 2、变量值对某一任意常数的方差等于变量值对算术平均数的方差与任意常数与算术平均数离差平方的和。即：本讲稿第一百零一页，共一百二十八页设A为任意常数，D为变量对A

40、的方差，则有：证明：只有当A=X D=2 否则无论A取何值（XA）为一个正值，D都大于2，变量对算术平均数的方差是最小值。（即2为最小，AX时，则D变量比2大）。本讲稿第一百零二页，共一百二十八页已知一组数据的算术平均数为350，标准差为20，求该组数据对400的方差。解：根据性质2得：D=（XA）2/N=（AX）2+2 =（20）2+（400350）2=2900本讲稿第一百零三页，共一百二十八页 3、一个分组数列的总方差等于其各组组内方差的平均数与组间方差的和。即：本讲稿第一百零四页，共一百二十八页总方差（总2）=它是各标志值与总平均数计算出来的方差。(i各组的标志值,X总平均数)组间方差（

41、组间2）=它是各组平均数与总平均数计算出来的方差。(i各组的平均数,Ni各组的单位数)组内方差（组内2）=是各组内单位标志值与组平均数计算出来的方差。组内方差的算术平均数本讲稿第一百零五页，共一百二十八页举例如下：某公司下属七个部门某月营业额如下（单位：万元）：88、90、96、98、110、140、200按营业额分为两组；第一组：88、90、96、98第二组：110、140、200本讲稿第一百零六页，共一百二十八页本讲稿第一百零七页，共一百二十八页总方差=组内方差的算术平均数+组间方差=609、71+795、67=1405、38万元本讲稿第一百零八页，共一百二十八页课堂练习：1、某企业职工工

42、资分组资料如下表：工人 技术及管理人员工资水平（元）人数工资水（元）人数 200300220200300 50300500350300500 120500700 80500700 407001000 10 合计 650 合计 220要求：1、计算该企业职工的总平均工资和总标准差 2、分别计算工人和技术人员及管理人员的平均工资（即组平均工资）和标准差、方差（组内方差）3、计算工人和技术及管理人员工资的组间方差4、用具体数值证明方差的加法定理即总方差等于组内方差的算术平均数加组间方差 本讲稿第一百零九页，共一百二十八页解：1、总X=386、21 总=120、99 总 2=14637、382、X1=

43、373、85 1=108、88 12=11854、4 X2=422、73 2=145、17 22 =21074、333、组间方差2=451、58 组内方差的算术平均数=14185、8814637、38=451、58+14185、88本讲稿第一百一十页，共一百二十八页四、成数四、成数 （一）成数的概念和基本公式（一）成数的概念和基本公式 成数是指总体中具有（或不具有）某种特征的单位数占总体单位总数的比重。一般用符号P(或Q)表示。其基本公式为：本讲稿第一百一十一页，共一百二十八页(二）成数的平均数和方差二）成数的平均数和方差 表表6-17标志表现总体单位数F X XF 是 N1 1 N1 非 N

44、0 0 0 N N1本讲稿第一百一十二页，共一百二十八页 例例6-29 对某企业生产的某种产品共计2000件进行质量检查，结果发现有30件不合格。要求计算该批产品的合格率及其方差。本讲稿第一百一十三页，共一百二十八页五、四分位差（InterQuartile Range）四分位差也称内距，它是上四分位数（Q3）与下四分位数（Q1）之差，用Q表示，公式为：Q=Q3Q1 、，。低 Q1 Q2 Q3 Q4 高（一）、根据未分组资料求四分位数差 1、先求Q1和Q3的位置，公式为：Q1的位置=Q3的位置=2、根据位置找出其相对应的标志值，再求四分位差 本讲稿第一百一十四页，共一百二十八页 如调查甲、乙两村

45、的家庭人口数，甲村有11户人家，每户人数如下：2 2 3 4 6 9 10 10 11 13 15本讲稿第一百一十五页，共一百二十八页乙村有8户人家，每户人数如下：2 3 4 7 9 10 12 12从上面的分析，可以知道甲村的中位数98（乙村的），而甲村的四分位差88、25（乙村的），说明甲村的中位数的代表性大于乙村，如果以中位数作估计，在甲村所犯的错误会略小于在乙村所犯的错误。本讲稿第一百一十六页，共一百二十八页（二）根据分组资料求四分位差。1、计算累计向上次数2、求出Q1和Q3的位置 Q1的位置=Q3的位置=3、参考累计次数分布，找出Q1和Q3的位置相对应的组4、从所属组中，计算Q1和Q

46、3的近似数值，公式如下：L1=Q1组的下限 L3=Q3组的下限 f1=Q1组的次数 f3=Q3组的次数 d1=Q1组的组距 d3=Q3组的组距 Sm1=Q1组以前的累计次数 Sm3=Q3组以前的累计次数本讲稿第一百一十七页，共一百二十八页例如：调查某地区212个乡，目的是要知道每个乡育龄妇女（1544岁）落实计划生育的比率。收集资料后，将212个乡分为八组如下：节育率%乡（个）向上累计5以下 16 16515 38 541525 40 942535 30 1243545 23 1474555 24 1715565 19 19065以上 22 212合计 212 本讲稿第一百一十八页，共一百二十

47、八页本讲稿第一百一十九页，共一百二十八页第四节第四节 偏度与峰度偏度与峰度一、偏度一、偏度（一）偏度的含义（一）偏度的含义 偏度又称偏态，是指变量数列中频数分布曲线的非对称程度。通常用偏态系数 表示。（二）偏度的种类（二）偏度的种类 1、右偏（正偏）分布（图图6-6）。2、左偏（负偏）分布（图图6-5）。本讲稿第一百二十页，共一百二十八页偏态分布示意图偏态分布示意图右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布图图图图6-66-6左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布图图图图6-56-5本讲稿第一百二十一页，共一百二十八页（三）偏态系数的计算公式（三）偏态系数的计算公式本讲稿第一百二十二页，共一百二十八页 例例6

48、-30 2003年下学期某班50名学生按统计学期终考试成绩分组资料如下表：表表6-18按成绩 分组（分）人数（人）f x xf 60以下 6070 7080 8090 90以上 1 5 26 14 45565758595553251950119038052984523468611561216710985702480219652279841142805210633614334084 5039003450600792450 要求：计算该班学生按期考成绩分组分布的偏态系数和峰态系数。本讲稿第一百二十三页，共一百二十八页本讲稿第一百二十四页，共一百二十八页二、峰二、峰 度度 （一）峰度的含义（一）峰度的含义 峰度又称峰态，是指频数分布曲线顶端的尖峭程度。一般用符号 表示。（二）风度的种类（二）风度的种类 1、常态峰度（）。2、尖顶峰度（图图6-7）。3、平顶峰度（图图6-8）。本讲稿第一百二十五页，共一百二十八页峰态分布示意图峰态分布示意图平顶峰度平顶峰度平顶峰度平顶峰度尖顶峰度尖顶峰度尖顶峰度尖顶峰度 图图6-7 图图6-8本讲稿第一百二十六页，共一百二十八页（三）峰态系数的计算公式（三）峰态系数的计算公式本讲稿第一百二十七页，共一百二十八页结结 束束本讲稿第一百二十八页，共一百二十八页