第四章大数定律与中心极限定理精选文档.ppt

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1、第四章 大数定律与中心极限定理本讲稿第一页，共二十八页4.1 特征函数（了解）定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称(t)=E(eitX)为 X 的特征函数.(必定存在)(1)离散随机变量时，(2)连续随机变量时，(t)是 p(x)的傅里叶变换，该变换用处很广也很有效（复变函数）本讲稿第二页，共二十八页特征函数的作用特征函数是深入研究概率论问题有力的数学分析工具，其作用在于：简便证明分布的可加性（将卷积运算化成乘法运算 ）简化矩运算：.本讲稿第三页，共二十八页特征函数的主要性质具有一致连续性、非负定性与分布函数一一对应。也就是说：描述一个 分布可以通过三个函数F(x)，p(x)，(t)从 三

2、个角度发挥不同的优势本讲稿第四页，共二十八页4.2 大数定律定理4.2.1（伯努利大数定律）设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A)=p,则对任意的 0，有或本讲稿第五页，共二十八页温馨提示：频率容易获取，概率一般是理论值.实验：鱼塘中鱼数的估计-捕鱼 讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；为“用频率表示概率”提供理论依据，由此 产生了非常适用的随机模拟方法；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.本讲稿第六页，共二十八页蒙特卡罗随机模拟计算定积分解：设X，Y均服从(0,1)上均匀分布即J=P，而概率P可以用频率取代，生成n个

3、随机数(xk,yk)，满足yk 0，有则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y,记为本讲稿第十一页，共二十八页依概率收敛的性质定理4.3.1 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.本讲稿第十二页，共二十八页4.3.2 按分布收敛、弱收敛对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.定义4.3.2 若在 F(x)的连续点上都有则称Fn(x)弱收敛于 F(x)，记为相应记按分布收敛本讲稿第十三页，共二十八页依概率收敛与按分布收敛的关系定理4.3.2 定理4.3.3 1 1、判断弱收敛的方法判断弱收敛的方法定理4.3.4 2 2、辛钦大数定律的证明思路、辛钦大数定律的

4、证明思路欲证:只须证：本讲稿第十四页，共二十八页4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布,本指出极限分布为正态分布.4.4.1 独立随机变量和设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为本讲稿第十五页，共二十八页4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为 20，则当 n 充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析本讲稿第十六页，共二十八页例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋

5、味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)本讲稿第十七页，共二十八页例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故=0.99979本讲稿第十八页，共二十八页4.4.3 二项分布的正态近似定理4.4

6、.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例.本讲稿第十九页，共二十八页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注 意 点(1)本讲稿第二十页，共二十八页 中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求y；iii)已知 y 和概率，求 n.i)已知 n 和 y，求概率；本讲稿第二十一页，共二十八页一、给定 n 和 y，求概率例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解

7、：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.本讲稿第二十二页，共二十八页二、给定 n 和概率，求 y例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得本讲稿第二十三页，共二十八页三、给定 y 和概率，求 n例4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目

8、的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n=271本讲稿第二十四页，共二十八页例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 0，有林德贝格条件则本讲稿第二十六页，共二十八页李雅普诺夫中心极限定理定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.本讲稿第二十七页，共二十八页例4.4.7 设 X1,X2,.,X99相互独立,且服从不同的 0-1分布试求解:设 X100,X101,.相互独立,且与X99同分布,则可以验证Xn满足=1的李雅普诺夫条件，且由此得本讲稿第二十八页，共二十八页