第二章数学模型及基本概念PPT讲稿.ppt

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1、第二章数学模型及基本概念第1页，共54页，编辑于2022年，星期二2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型一一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤机械优化设计方法解决实际问题的步骤 1.1.分析分析实际问题，实际问题，建立建立优化设计的数学模型；优化设计的数学模型；分析：分析：设计的要求（设计的要求（目标目标、准则）；、准则）；设计的限制（设计的限制（约束约束）条件；）条件；设计的参数，确定设计设计的参数，确定设计变量变量。建立：机械优化设计方法相应的建立：机械优化设计方法相应的数学模型数学模型。2.2.分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（

2、优化算法优化算法）。3.3.求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析,最终确定是否选用此次计算的解。最终确定是否选用此次计算的解。第2页，共54页，编辑于2022年，星期二2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型二.二.举例举例1 1：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知：已知：轴的一端作用载荷轴的一端作用载荷 P=1000NP=1000N，扭矩，扭矩 M=100NM=100Nm m；轴长不得小于；轴长不得小于8cm8cm；材料的；材料的许用弯曲应力许用弯曲应力 w w=120MPa=120M

3、Pa，许用扭剪应力，许用扭剪应力 =80MPa=80MPa，许用挠度，许用挠度 f f=0.01cm=0.01cm；密度；密度=7.8t/m=7.8t/m，弹性模量，弹性模量E=210E=2105 5MPaMPa。分析：分析：设计目标设计目标是轴的质量最轻是轴的质量最轻 Q=1/4 dQ=1/4 d2 2 l min.l min.；要求：要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计限制设计限制条件有条件有5 5个：个：弯曲强度：弯曲强度：maxmax w w 扭转强度：扭转强度：刚度：刚度：f ff f 结构尺寸：结构尺寸：l

4、8,d 0l 8,d 0 设计设计参数中的未定参数中的未定变量变量：d d、l l第3页，共54页，编辑于2022年，星期二2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型具体化：目标函数具体化：目标函数 Q=1/4 dQ=1/4 d2 2 l min.l min.约束函数约束函数 max max =Pl/(0.1d=Pl/(0.1d3 3)w w =M/(0.2d =M/(0.2d3 3 )f=Pl f=Pl3 3/(3EJ)f/(3EJ)f l 8 l 8 d 0 d 0代入数据整理得数学模型：代入数据整理得数学模型：设：设：X=xX=x1 1,x,x2 2 T T=d,l =d,l T

5、 T min.f(x)=x min.f(x)=x1 12 2x x2 2 XRXR2 2 s.t.g s.t.g1 1(x)=8.33 x(x)=8.33 x2 2 -x x1 13 3 00 g g2 2(x)=6.25-x(x)=6.25-x1 13 3 00 g g3 3(x)=0.34 x(x)=0.34 x2 23 3-x-x1 14 4 00 g g4 4(x)=8-x(x)=8-x2 2 0 0 g g5 5(x)=-x(x)=-x1 1 00二二.举例举例1 1（续）（续）第4页，共54页，编辑于2022年，星期二2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型二.二.举例举

6、例2 2：包装箱尺寸参数设计：包装箱尺寸参数设计 已知：已知：一个体积为一个体积为5m5m3 3的薄板包装箱，其中一边长度不小于的薄板包装箱，其中一边长度不小于4m4m。分析：分析：传统设计方法传统设计方法：首先固定包装箱一边长度：首先固定包装箱一边长度 a=4m,a=4m,满足包装箱体积为满足包装箱体积为5m5m3 3的设计要求，则有很多设计方案。的设计要求，则有很多设计方案。要求：要求：使薄板耗材最少，确定包装箱的尺寸参数：长使薄板耗材最少，确定包装箱的尺寸参数：长a、宽、宽b和高和高h。优化设计方法优化设计方法：在满足包装箱的体积：在满足包装箱的体积abh=5abh=5，长度，长度a a

7、4,宽度宽度b0 b0 和和高度高度h0h0的限制条件下，确定设计参数的限制条件下，确定设计参数a a、b b、h h的值，使包装箱的表面积的值，使包装箱的表面积s s达到达到最小。最小。选择合适的优化方法对该优化设计选择合适的优化方法对该优化设计问题进行求解，得到的优化结果是：问题进行求解，得到的优化结果是：第5页，共54页，编辑于2022年，星期二2.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型机械优化设计机械优化设计数学模型的一般形式：数学模型的一般形式：设设 X=xX=x1 1,x,x2 2,x,xn n T T min.f(x)=f(x min.f(x)=f(x1 1,x,x2

8、2,x,xn n)XR)XRn n s.t.g s.t.gu u(x)(x)0 u=1,2,0 u=1,2,m,m h hv v(x)=0 v=1,2,(x)=0 v=1,2,p n,p n 设计变量设计变量 目标函数目标函数 约束函数约束函数（性能约束）（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（几何约束）约束函数（几何约束）约束函数（几何约束）约束函数（几何约束）（不等式约束）（不等式约束）（等式约束（等式约束）属于属于2 2维欧氏空间维欧氏空间根据例子中的数学模型：根据例子中的数学模型：设：设：X=xX=x1 1,x,x2 2 T

9、 T=d,l =d,l T T min.f(x)=x min.f(x)=x1 12 2x x2 2 XRXR2 2 s.t.g s.t.g1 1(x)=8.33 x(x)=8.33 x2 2 -x x1 13 3 00 g g2 2(x)=6.25-x(x)=6.25-x1 13 3 00 g g3 3(x)=0.34 x(x)=0.34 x2 23 3-x-x1 14 4 00 g g4 4(x)=8-x(x)=8-x2 2 0 0 g g5 5(x)=-x(x)=-x1 1 00三三.优化设计的数学模型优化设计的数学模型第6页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三

10、大要素优化设计的三大要素一一.设计变量：设计变量：设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选确定的量。：在优化设计过程中是变化的，需要优选确定的量。设计参数设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置 运动学参数：例，位移、速度、加速度运动学参数：例，位移、速度、加速度 动力学参数：例，力、力矩、应力动力学参数：例，力、力矩、应力 其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量：非物理量：例，效率、寿命、成本例，效率、

11、寿命、成本设计变量设计变量：优化设计问题有：优化设计问题有 n n 个设计变量个设计变量 x x1 1,x,x2 2,x,xn n，用用 x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)表示，是设计向量表示，是设计向量 X X 的的 n n个分量。个分量。设计向量设计向量：用：用 X=xX=x1 1,x,x2 2,x,x n n T T 表示，表示，是定义在是定义在 n n 维欧氏空间中的一个向量。维欧氏空间中的一个向量。第7页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计点设计点:X:X(k)(k)（x x1 1(k)(k),x,x2 2(k)

12、(k),x,x n n(k)(k)）：）：是设计向量是设计向量X X(k)(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第 k k 个设计方个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间设计空间 R Rn n：以以x x1 1,x,x2 2,x,xn n 为坐标轴，构成为坐标轴，构成 n n 维欧氏实空间维欧氏实空间R Rn n。它包含。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。了所有可能的设计点，即所有设计方案。例：右图三维空间中例：右图三维空间中第第1 1设计点：设计点：X X(1)(1)=x=x1 1

13、(1)(1),x,x2 2(1)(1),x,x3 3(1)(1)T T第第2 2设计点：设计点：X X(2)(2)=x=x1 1(2)(2),x,x2 2(2)(2),x,x3 3(2)(2)T T 其中：其中：X X(2)(2)=X=X(1)(1)+X+X(1)(1)增量：增量：XX(1)(1)=x x1 1(1)(1),x x2 2(1)(1),x x3 3(1)(1)T T 即即 x x1 1(2)(2)=x=x1 1(1)(1)+x x1 1(1)(1)x x2 2(2)(2)=x=x2 2(1)(1)+x x2 2(1)(1)x x3 3(2)(2)=x=x3 3(1)(1)+x x

14、3 3(1)(1)一一.设计变量（续设计变量（续1 1）第8页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计变量的选取原则设计变量的选取原则:尽量减少设计变量的个数尽量减少设计变量的个数，就是说尽可能将那些不很活跃的参数，根据过去设，就是说尽可能将那些不很活跃的参数，根据过去设计经验或者考虑工艺、结构布置等方面的因素，可以预先取定，作为计经验或者考虑工艺、结构布置等方面的因素，可以预先取定，作为设计参数设计参数来来处理。处理。将设计指标影响较大的将设计指标影响较大的设计参数设计参数作为设计变量来处理。作为设计变量来处理。一一.设计变量（续设计变量（

15、续2 2）设计变量的向量形式设计变量的向量形式:=x xi i是是n n维向量维向量X X的第的第i i个分量，个分量，T是转置符，即表示把列向量转置为行向量。是转置符，即表示把列向量转置为行向量。第9页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计约束设计约束：设计变量值：设计变量值(设计点设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值，的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。：设计约束是设计变量的函数

16、，称为约束函数。不等式约束函数：不等式约束函数：g gu u(x)(x)0 u=1,2,0 u=1,2,m,m 等式约束数：等式约束数：h hv v(x)=0 v=1,2,(x)=0 v=1,2,p,pn n 问题：是否每个设计约束中都必须包含问题：是否每个设计约束中都必须包含 n n个设计变量？个设计变量？m+pm+p个约束呢个约束呢？不等式约束能否表达成不等式约束能否表达成 g gu u(x)0(x)0？p p 为什么必须小于为什么必须小于 n?n?例：有三个不等式约束例：有三个不等式约束 g g1 1(x)=-(x)=-x x1 1 00 g g2 2(x)=-x(x)=-x2 2 00

17、 g g3 3(x)=x(x)=x1 12 2+x+x2 22 2-1 0-1 0 再加一个等式约束再加一个等式约束 h(x)=xh(x)=x1 1-x-x2 2=0=0D D二二.约束函数约束函数第10页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素约束（曲）面约束（曲）面：对于某一个不等式约束对于某一个不等式约束 g gu u(x)(x)0 0 中，满足中，满足 g gu u(x)(x)=0 0的的 x x 点的集合构点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。成一个曲面，称为约束（曲）面。它将设计空间分成两部分：满足约束条件它将设计空间分成两部分：满

18、足约束条件 g gu u(x)(x)0 0 的部分和不满足约的部分和不满足约束条件束条件 g gu u(x)(x)0 0 的部分。的部分。设计可行域设计可行域（简称为可行域）（简称为可行域）对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域 。记作记作 D D=g u(x)0 u=1,2,mh v(x)=0 v=1,2,p问题：等式约束与约束曲面是什么关系？问题：等式约束与约束曲面是什么关系？D D 二

19、二.约束函数约束函数 （续（续1 1）第11页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素可行设计点可行设计点（内点）：（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。极限设计点极限设计点（边界点）：（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。在约束面上的点称为极限设计点。若讨论的设计点若讨论的设计点 x x(k)(k)点使得点使得 g gu u(x(x(k)(k)=0=0，则，则 g gu u(x(x(k)(k)0)0 称为称为 适时约束适时约束或起作用约束。或起作用约束。非可行设计点

20、非可行设计点（外点）：（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。二二.约束函数约束函数 （续（续2 2）问题：问题：极限设计点是否代表可行设计方案？极限设计点是否代表可行设计方案？什么约束一定是适时约束？什么约束一定是适时约束？可行域是否一定封闭？可行域是否一定封闭？第12页，共54页，编辑于2022年，星期二二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点第13页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素等式约束的特殊性等式约束的特殊性

21、：等式约束条件是对设计变量的一种特殊组合，从理论上讲，有一个等式约束条件就等式约束条件是对设计变量的一种特殊组合，从理论上讲，有一个等式约束条件就存在一个从最优化设计中消去某个设计变量的机会，即降低最优化设计问题维数的一存在一个从最优化设计中消去某个设计变量的机会，即降低最优化设计问题维数的一次机会。次机会。等式约束条件数等式约束条件数p p必须小于优化设计问题的维数必须小于优化设计问题的维数n n，若，若n np p，则由，则由n n个等式约个等式约束函数方程限制了设计方案只能有唯一的解，没有最优化的余地。束函数方程限制了设计方案只能有唯一的解，没有最优化的余地。可行域的边界一般是等式约束，

22、在二维设计空间中，等式约束表现为一条可行域的边界一般是等式约束，在二维设计空间中，等式约束表现为一条曲线，在三维设计空间中，等式约束一般表现为一张曲面。曲线，在三维设计空间中，等式约束一般表现为一张曲面。二二.约束函数约束函数 （续（续3 3）第14页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素目标函数目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则准则来来评价当前设计点（解）的最优性。评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称

23、为目标函数，也称为评价函这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。数、准则函数、价值函数。多目标函数多目标函数：由于评价准则的由于评价准则的非唯一性非唯一性，目标函数可以是一个，目标函数可以是一个单目标函数，也可以是多单目标函数，也可以是多个个称为多目标函数。称为多目标函数。单目标函数的表达式为：单目标函数的表达式为：f(x)=f(xf(x)=f(x1 1,x,x2 2,x,xn n)多目标函数的表达式为：多目标函数的表达式为：f(x)=f(x)=1 1f f1 1(x)+(x)+2 2f f2 2(x)+(x)+q qf fq q(x)(x

24、)=其中：其中：f f1 1(x)(x)，f f2 2(x)(x)，f fq q(x)(x)代表代表 q q 个分设计目标；个分设计目标；1 1，2 2，q q 代表代表 q q 个加权系数。个加权系数。三三.目标函数目标函数第15页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素说明说明：f(x)f(x)必须是必须是x x的函数，应随设计点的变化的函数，应随设计点的变化f(x)f(x)的值上升、下降；的值上升、下降；f(x)f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计

25、算方法计算。其它数值计算方法计算。f(x)f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。例如，销轴的质量：例如，销轴的质量：Q=1/4dQ=1/4d2 2ll，1/41/4是常数，是常数，目标函数可简化为目标函数可简化为 f(x)=df(x)=d2 2 l=xl=x1 12 2x x2 2问题：问题：f(x)f(x)是否一定应包含所有的设计变量是否一定应包含所有的设计变量？f(x)f(x)若是越大越好，则应如何处理？若是越大越好，则应如何处理？分目标函数分目标函数f f1 1(x)(x)，f f2 2(x)(x)，f fq q(x)(x

26、)中，有些是越小越好，中，有些是越小越好，有些是越大越好，则又应如何处理？有些是越大越好，则又应如何处理？三三.目标函数目标函数(续）续）第16页，共54页，编辑于2022年，星期二2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素通常根据设计准则建立通常根据设计准则建立：在机构优化设计中，这种准则可以是运动学和动力学的性质，如运动误差，在机构优化设计中，这种准则可以是运动学和动力学的性质，如运动误差，主动力和约束反力的最大值，振动特性等主动力和约束反力的最大值，振动特性等 在零件和部件设计中，设计准则可以用重量、体积、效率、可靠在零件和部件设计中，设计准则可以用重量、体积、效率、可靠 性、

27、承载能力表示性、承载能力表示 对于产品设计，可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目标。对于产品设计，可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目标。在一般情况下，这些设计指标与设计变量之间都有明显的的函数关系。在一般情况下，这些设计指标与设计变量之间都有明显的的函数关系。三三.目标函数目标函数(续续2 2）第17页，共54页，编辑于2022年，星期二2.3 2.3 优化设计的分类优化设计的分类一一.按模型性质分：按模型性质分：确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）动态优化问题（随时间变化，系统响应变化）动态优化问题（随时间变化

28、，系统响应变化）不确定型优化问题（随机优化问题）不确定型优化问题（随机优化问题）二二.按设计变量性质分按设计变量性质分 连续变量、连续变量、离散变量、离散变量、随机变量随机变量三三.按约束情况分按约束情况分1.1.按有无约束分：按有无约束分：无约束优化问题无约束优化问题 约束优化问题约束优化问题 2.2.按约束性质分：按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）区域约束（几何约束、边界约束）性能约束（功能约束、性态约束）性能约束（功能约束、性态约束）第18页，共54页，编辑于2022年，星期二2.32.3 优化设计的分类（续）优化设计的分类（续）四四.按目标函数和约束函数的特性分：按目标函数和

29、约束函数的特性分：线性规划问题线性规划问题 非线性规划问题非线性规划问题 几何规划问题几何规划问题 二次规划问题二次规划问题五五.按目标函数的个数分：按目标函数的个数分：单目标优化问题单目标优化问题 双目标优化问题双目标优化问题 多目标优化问题多目标优化问题第19页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础一一.等值（线）面：等值（线）面：对于可计算的函数对于可计算的函数 f(x)f(x)，给定一个设计点，给定一个设计点 X X(k)(k)(x(x1 1(k)(k),x,x2 2(k)(k),x,xn n (k)(k)，f(x)f(x)总总有一个定值

30、有一个定值c c 与之对应；而当与之对应；而当f(x)f(x)取定值取定值 c c 时，则有无限多个设计点时，则有无限多个设计点X X(i)(i)(x(x1 1(i)(i),x x2 2(i)(i),x,xn n(i)(i)（i=1,2,i=1,2,）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值等值面面。当当 c c 取取c c1 1,c,c2 2,等值等值时，就获得一族曲面族，时，就获得一族曲面族，称为称为等值面族等值面族。当当f(x)f(x)是二维时，获得是二维时，获得一族等值线族；一族等值线族；当当f(x)f(x)是三维时，获得一是三维时，获得一族等值面

31、族；族等值面族；当当f(x)f(x)大于三维时，获大于三维时，获得一族超等值面族。得一族超等值面族。第20页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等值线的等值线的“心心”（以二维为例）一个一个“心心”：是单峰函数的：是单峰函数的极（小）值点极（小）值点，是全局极（小）值点。，是全局极（小）值点。没有没有“心心”：例，线性函数的等值线是平行的，无：例，线性函数的等值线是平行的，无“心心”，认为极值点在无穷，认为极值点在无穷远处。远处。多个多个“心心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（

32、小）值点，必须通过比较各个极值点和须通过比较各个极值点和“鞍点鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。点。一一.等值（线）面：等值（线）面：第21页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础无约束最优解和约束最优解无约束最优解和约束最优解 对于无约束最优化问题，最优解就是目标函数的极值点，实际上就对于无约束最优化问题，最优解就是目标函数的极值点，实际上就是目标函数等值线的中心。是目标函数等值线的中心。对于约束最优化问题，最优点往往是目标函数等值超曲面与约束超曲面对于约束最优化问题，最优点往往是目标函数等值

33、超曲面与约束超曲面的一个切点，而且可能在两个以上约束超曲面的交集上的一个切点，而且可能在两个以上约束超曲面的交集上一一.等值（线）面：等值（线）面：局部最优解和全局最优解局部最优解和全局最优解第22页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等值线的形状等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；等值线的疏密等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。等值线的疏密定性反应函数值变化率。严重非

34、线性函数严重非线性函数病态函数的等值线族病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。线族。一一.等值（线）面：等值（线）面：第23页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等值线的分布规律与目标函数变化规律之间的关系等值线的分布规律与目标函数变化规律之间的关系：对于求目标函数极小化问题来说，愈靠近极值点的等值对于求目标函数极小化问题来说，愈靠近极值点的等值线线（面面）所代表的）所代表的目标函数值愈小。目标函数值愈小。在极值点附近的等值线呈现椭圆形状，其中心就是极值点。在极值点附近的等值线呈现椭

35、圆形状，其中心就是极值点。等值线举例（二维优化设计问题）等值线举例（二维优化设计问题）：一一.等值（线）面：等值（线）面：令目标函数值等于一系列常数值：令目标函数值等于一系列常数值：则在设计平面上得到以点则在设计平面上得到以点(2(2，0)0)为圆心，为圆心，以以 为半径的一族同心圆为半径的一族同心圆,曲线族中曲线族中某一条曲线上的各点都具有相同的目某一条曲线上的各点都具有相同的目标函数值。标函数值。第24页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二维优化问题的几何描述二维优化问题的几何描述：例：对二维优化问题例：对二维优化问题一一.等值（线）面：

36、等值（线）面：进行几何描述进行几何描述约束线、可行域、目标函数等值线、约束极值点约束线、可行域、目标函数等值线、约束极值点第25页，共54页，编辑于2022年，星期二设设 ，是设计空间是设计空间 中的任意中的任意两个向量，则有：两个向量，则有：(1)(1)x xi i=y yi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)时，称时，称x x与与y y相等相等;(2)(2)x x与与y y的和、差定义：的和、差定义：(3)(3)向量与实数向量与实数 的乘积定义为：的乘积定义为：(4)(4)当当 时，称时，称x x为零向量。为零向量。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：

37、向量与矩阵：向量向量：第26页，共54页，编辑于2022年，星期二(1)(1)向量的模：向量的模：(2)(2)向量向量x x与与y y之间的距离：之间的距离：(3)(3)向量向量x x与与y y的内积：的内积：(4)(4)非零向量非零向量x x与与y y的之间的夹角：的之间的夹角：(5)(5)在实空间在实空间 中，称中，称 为欧氏空间，记作为欧氏空间，记作 。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：欧式空间欧式空间：第27页，共54页，编辑于2022年，星期二(1).(1).设设 为为 中的中的m m个向量个向量(mnmn)，若有不全为零，若有不全为零

38、的的m m个数个数 ，i i=1,2,=1,2,，m m，使，使 成立，称向量组成立，称向量组 是线性相关的。是线性相关的。(2).(2).若若 中一组向量中一组向量 线性相关，线性相关，中任一向量中任一向量x x都都 可表示为可表示为 则称则称 为为 的一组基。的一组基。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：向量的线性相关与基向量的线性相关与基：设设 ，则有：，则有：设设 ，为实数，则有：为实数，则有：矩阵矩阵：第28页，共54页，编辑于2022年，星期二当当m=n时，时，A称为称为n阶方阵，阶方阵，aii,i=1n,称为方阵的主对角元素。称为方阵的

39、主对角元素。|称为方阵称为方阵的行列式，且有：的行列式，且有：在在n阶方阵阶方阵A中，当主对角元素均为，其余各元素都为零，则称为单位方阵中，当主对角元素均为，其余各元素都为零，则称为单位方阵E。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：方阵方阵：对于对于n阶方阵阶方阵A,B，如果如果AB=E，则称，则称B为为A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 ，而且可推得：，而且可推得：当当n阶方阵各元素阶方阵各元素aii=aji，i,j=1n,称称A A为对称方阵。为对称方阵。第29页，共54页，编辑于2022年，星期二二次型：含有二次型：含有n n个变量个变量x x1 1

40、,x x2 2,x xn n的二次齐次函数的二次齐次函数上式也可表达为：上式也可表达为：对于任意的非零向量，恒有对于任意的非零向量，恒有 ，则称，则称f(X)为正二次型，为正二次型，A为正定矩阵。为正定矩阵。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：二次型与正定矩阵二次型与正定矩阵：函数的偏导数函数的偏导数：偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率，连续可微的偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率，连续可微的n维函数维函数 ，在点，在点 的一阶偏导数表示为：的一阶偏导数表示为：，第30页，共54页，编辑于2022年，星期二方向导数方向导数：二维问题中，二维问

41、题中，f(xf(x1 1,x,x2 2)在在 X X(0)(0)点沿方向点沿方向 s s的方向导数为：的方向导数为：其中：其中：是是 X X(0)(0)点的梯度。点的梯度。S S 为为s s方向的单位向量，方向的单位向量，。为为 S S 的方向角的方向角,方向导数方向导数为方向余弦。为方向余弦。为梯度为梯度在方向在方向 s s 上的投影。上的投影。三三.梯度梯度2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础第31页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础梯度的性质：梯度的性质：梯度是梯度是 X X(0)(0)点处最大的方向导数；点处最大的方向导

42、数；梯度的方向是过点的等值线的法线方向；梯度的方向是过点的等值线的法线方向；梯度是梯度是X X(0)(0)点处的局部性质；点处的局部性质；梯度指向函数变化率最大的方向；梯度指向函数变化率最大的方向；正梯度方向是函数值最速上升的方向，正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是负梯度方向是函数值最速下降的方向。函数值最速下降的方向。对于对于 n n 维问题的梯度维问题的梯度三三.梯度梯度第32页，共54页，编辑于2022年，星期二例例2-1 求二元函数求二元函数 在在 处的梯度和梯度的模处的梯度和梯度的模解：由梯度的定义可得：解：由梯度的定义可得：将将 代入上式得到：代入上式得到：x2P21x

43、12 的模为：的模为：梯度的单位向量为：梯度的单位向量为：第33页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础n n 维函数维函数 f(x)f(x)在在 x x(k)(k)点的台劳展开式点的台劳展开式:二阶近似式：二阶近似式：其中：增量其中：增量 X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)T梯度梯度 Hesse Hesse 矩阵矩阵四四.Hesse.Hesse 矩阵与正定矩阵与正定第34页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础Hesse Hesse 矩阵的特性：是实对称矩阵。矩阵的特性：是实对称矩阵。矩

44、阵正定的充要条件：矩阵正定的充要条件：主子式主子式 det(ait)det(ait)0 0当主子式当主子式 det(ait)0 det(ait)0 时，矩阵半正定时，矩阵半正定 det(ait)det(ait)0 0时，矩阵负定时，矩阵负定 det(ait)0det(ait)0时，矩阵半负定时，矩阵半负定Hesse Hesse 矩阵的正定性：矩阵的正定性：H(x*)H(x*)正定，正定，是是 x*x*为全局极小值点的充分条件为全局极小值点的充分条件；H(x*)H(x*)半正定半正定,是是 x*x*为局部极小值点的充分条件；为局部极小值点的充分条件；H(x*)H(x*)负定，负定，是是 x*x*

45、为全局极大值点的充分条件；为全局极大值点的充分条件；H(x*)H(x*)半负定半负定,是是 x*x*为局部极大值点的充分条件。为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。四四.Hesse.Hesse 矩阵与正定矩阵与正定第35页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础凸集：凸集：设设 D D为欧氏空间为欧氏空间R Rn n 中中X X的集合，即的集合，即 DRDRn n,XD,XD，若，若D D域内任意两个点域内任意

46、两个点x x(1)(1)，x x(2)(2)的连线上的各点都的连线上的各点都属于属于 D D域，则的集合域，则的集合 D D称为称为 R Rn n 内的一个凸集。否内的一个凸集。否则，为非凸集。则，为非凸集。凸函数：凸函数：f(x)f(x)是定义在是定义在 n n 维欧氏空间中，凸集上的维欧氏空间中，凸集上的函数，同时函数，同时x x(1)(1)DD，x x(2)(2)DD，0,10,1，当，当下式成立时，下式成立时，则称则称f(x)f(x)为定义在凸集为定义在凸集D D上的凸函数。上的凸函数。f x(1)+(1-)x(2)f(x(1)+(1-)f(x(2)当上式中的当上式中的为时，为时，f(

47、x)f(x)是严格凸函数。是严格凸函数。五五.函数的凸性函数的凸性第36页，共54页，编辑于2022年，星期二2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础判别函数为凸函数的凸性条件判别函数为凸函数的凸性条件：按梯度判断凸性：设按梯度判断凸性：设f(x)f(x)是定义在凸集是定义在凸集 D D上具有连续一阶导数的函数，则上具有连续一阶导数的函数，则f(x)f(x)在在D D上为凸函数的充要条件是：对于任意的上为凸函数的充要条件是：对于任意的 x x(1)(1),x,x(2)(2)D D 都有都有 成立。成立。按二阶偏导数判断凸性：设按二阶偏导数判断凸性：设f(x)f(x)是定义在凸集是定义

48、在凸集D D上具有连续二阶导数的函上具有连续二阶导数的函数，则数，则f(x)f(x)在在D D上为凸函数的充要条件是：上为凸函数的充要条件是：f(x)f(x)的的HesseHesse矩阵处处半正定。若矩阵处处半正定。若HesseHesse矩阵处处正定，则矩阵处处正定，则f(x)f(x)为严格凸函数。为严格凸函数。凸函数的基本性质凸函数的基本性质：若若f(x)f(x)是定义在凸集是定义在凸集D D上的严格凸函数，则上的严格凸函数，则f(x)f(x)在在D D上的一个极小点，也就是上的一个极小点，也就是全局最小点。全局最小点。凸函数的线性组合仍然为凸函数。凸函数的线性组合仍然为凸函数。f1(x)f

49、2(x)设设x x(1)(1),x,x(2)(2)为凸函数为凸函数 f(x)f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。最小点。五五.函数的凸性函数的凸性第37页，共54页，编辑于2022年，星期二2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件一一.优化设计最优解优化设计最优解无约束优化设计问题最优解：无约束优化设计问题最优解：约束优化设计问题最优解约束优化设计问题最优解：不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点 x*=x

50、x*=x1 1*,x*,x2 2*,*,x,x n n*和最优值和最优值 f(x*)f(x*)构成无约束问题最优解。构成无约束问题最优解。满足约束条件，使目标函数达到最满足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量，小值的一组设计变量，即最优点即最优点 x*=x*=xx1 1*,x*,x2 2*,*,x,x n n*和最优值和最优值 f(x*)f(x*)构成约束问题最优解。构成约束问题最优解。第38页，共54页，编辑于2022年，星期二2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件二二.无约束问题的极值条件无约束问题的极值条件必要条件：必要条件：充分条件