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1、第十三章动静法本讲稿第一页，共三十八页水土学院理论力学课程组本讲稿第二页，共三十八页第十三章第十三章 达朗伯原理达朗伯原理 达朗伯原理达朗伯原理 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化本讲稿第三页，共三十八页 引引 言言 前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问

2、题动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫，因此这种方法又叫动静法动静法。由。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。因此动静法在工程中被广泛使用。本讲稿第四页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 设质量为设质量为 的质点的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点时作用于质点M上的主动力为上的主动力为 ，约束反力为，约束反力为 ，其，其加速度为加速度为 。根据动力学基本方程有根据动力学基本方程有将上式改写成将上式改写成令令于是，假想于是，假想 是一个力，称之为质点的是一个力，称之为质

3、点的惯性力惯性力。的的大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与其加速度的方向相反其加速度的方向相反。本讲稿第五页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 一、质点的达朗伯原理一、质点的达朗伯原理则有则有即：即：即：即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平

4、衡力系力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是。这就是。这就是。这就是质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理。本讲稿第六页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理例例1 球磨机的滚筒以匀角速度球磨机的滚筒以匀角速度球磨机的滚筒以匀角速度球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴绕水平轴绕水平轴绕水平轴O O转动，转动，转动，转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨

5、迹自由落下，定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为 ，试，试，试，试求钢球的脱离角求钢球的脱离角求钢球的脱离角求钢球的脱离角 。解：解：解：解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为钢

6、球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为惯性力惯性力惯性力惯性力 的大小为的大小为的大小为的大小为 假想地加上惯性力，由达朗伯原理假想地加上惯性力，由达朗伯原理假想地加上惯性力，由达朗伯原理假想地加上惯性力，由达朗伯原理本讲稿第七页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理解得：解得：这就是钢球在任一位置这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力，时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时，显然当钢球脱离筒壁时，由此可求出其脱，由此可求出其脱离角离角 为为本讲稿第八页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理 设非自由质点系由

7、设非自由质点系由设非自由质点系由设非自由质点系由 个质点组成，其中第个质点组成，其中第个质点组成，其中第个质点组成，其中第 个质点的个质点的个质点的个质点的质量为质量为质量为质量为 ，其加速度为，其加速度为，其加速度为，其加速度为 ，作用在此质点上的外力的合力为，作用在此质点上的外力的合力为，作用在此质点上的外力的合力为，作用在此质点上的外力的合力为 ，内力的合力为，内力的合力为，内力的合力为，内力的合力为 。在该质点上假想地加上惯性力。在该质点上假想地加上惯性力。在该质点上假想地加上惯性力。在该质点上假想地加上惯性力 ，则由质点的达朗伯原理，有，则由质点的达朗伯原理，有，则由质点的达朗伯原理

8、，有，则由质点的达朗伯原理，有 对整个质点系来讲，有对整个质点系来讲，有对整个质点系来讲，有对整个质点系来讲，有n n个这样的力系，将这些力系叠加，将构个这样的力系，将这些力系叠加，将构个这样的力系，将这些力系叠加，将构个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点系的平衡条件是力系的主矢和对任意点系的平衡条件是力系的主矢和对任意点系的平衡条件

9、是力系的主矢和对任意点O O的主矩分别等于零，即的主矩分别等于零，即的主矩分别等于零，即的主矩分别等于零，即本讲稿第九页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有值反向，因此有 和和 ；而剩下的；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设束反力系。设 、分别为作用在第分别为作用在第 个质点上的个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得即：即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有在质点

10、系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系系构成形式上的平衡力系。这就是质点系的。这就是质点系的。这就是质点系的。这就是质点系的达朗伯原理达朗伯原理。本讲稿第十页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 例例2 重重重重P P，长，长，长，长l l的等截面均质细杆的等截面均质细杆的等截面均质细杆的等截面均质细杆ABAB，其，其，其，其A A端铰接于铅直轴端铰接于铅直轴端铰接于铅直轴端铰接于铅直轴ACAC上，并以匀角速度上，并以匀角速度上，并以匀角速度上，并以匀角速度 绕该绕该绕该绕该

11、轴转动，如图。求角速度轴转动，如图。求角速度轴转动，如图。求角速度轴转动，如图。求角速度 与角与角与角与角 的关系。的关系。的关系。的关系。解：解：解：解：以杆以杆以杆以杆ABAB为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。杆杆杆杆ABAB匀速转动，杆上距匀速转动，杆上距匀速转动，杆上距匀速转动，杆上距A A点点点点 的微元的微元的微元的微元段段段段 的加速度的大小为的加速度的大小为的加速度的大小为的加速度的大小为 微元段的质量微元段的质量微元段的质量微元段的质量 。在该微元段。在该微元段。在该微元段。在该微元段虚加惯性力虚加惯性力虚加惯性力虚加惯性

12、力 ，的大小为的大小为的大小为的大小为本讲稿第十一页，共三十八页13.1达 朗 伯 原 理 于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为 设力设力设力设力 的作用点到点的作用点到点的作用点到点的作用点到点A A的距离为的距离为的距离为的距离为d d，由合力矩定理，有由合力矩定理，有由合力矩定理，有由合力矩定理，有即即即即 假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理本讲稿第十二页，共三十八页13.1达 朗

13、 伯 原 理代入代入 的数值，有的数值，有故有故有或或或或本讲稿第十三页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。果。果。果。首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点MMi i的的的的质量为质量为质量为质量为mmi i，加速度为，加速度为，加速度为，加速度为 ，

14、刚体的质量为，刚体的质量为，刚体的质量为，刚体的质量为MM，质心的加速，质心的加速，质心的加速，质心的加速度为度为度为度为 ，则惯性力系的主矢为，则惯性力系的主矢为，则惯性力系的主矢为，则惯性力系的主矢为由质心的矢径表达式知由质心的矢径表达式知由质心的矢径表达式知由质心的矢径表达式知 ，将其两边对时间求，将其两边对时间求，将其两边对时间求，将其两边对时间求两阶导数，有两阶导数，有两阶导数，有两阶导数，有于是有于是有此式表明：无论刚体作什么运动，此式表明：无论刚体作什么运动，此式表明：无论刚体作什么运动，此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主矢都等于刚体的质量与惯性力系的主矢都等于刚体的质量

15、与惯性力系的主矢都等于刚体的质量与惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。本讲稿第十四页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平

16、动、定轴转动和外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。平面运动讨论惯性力系的简化结果。平面运动讨论惯性力系的简化结果。平面运动讨论惯性力系的简化结果。一、刚体作平动一、刚体作平动 如图所示，将惯性力系向刚体的质心如图所示，将惯性力系向刚体的质心如图所示，将惯性力系向刚体的质心如图所示，将惯性力系向刚体的质心C C简简简简化，惯性力系的主矩为化，惯性力系的主矩为化，惯性力系的主矩为化，惯性力系的主矩为式中，式中，式中，式中，是质心是质心是质心是质心C C的矢径，由于的矢径，由于的矢径，由于的矢径，

17、由于C C为简化中心，显然为简化中心，显然为简化中心，显然为简化中心，显然 ，于是有，于是有，于是有，于是有综上可得综上可得综上可得综上可得结论结论结论结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通过质心的合力过质心的合力过质心的合力过质心的合力 ，合力，合力，合力，合力 的大小等于刚体的质量与其质的大小等于刚体的质量与其质的大小等于刚体的质量与其质的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反。心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反。心加速度大小的乘

18、积，方向与质心加速度的方向相反。心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反。本讲稿第十五页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 二、刚体绕定轴转动二、刚体绕定轴转动二、刚体绕定轴转动二、刚体绕定轴转动 如图所示，具有质量对称面且绕垂直如图所示，具有质量对称面且绕垂直如图所示，具有质量对称面且绕垂直如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为点的惯性力的分量的大小为点的惯性力的分量的大小为点的惯性力的分量的大小为方向如图所示。该惯性力系

19、对转轴方向如图所示。该惯性力系对转轴方向如图所示。该惯性力系对转轴方向如图所示。该惯性力系对转轴O O的主矩为的主矩为的主矩为的主矩为由于由于由于由于 通过通过通过通过O O点，则有点，则有点，则有点，则有 ，所以，所以，所以，所以故故本讲稿第十六页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 现在现在现在现在讨论讨论讨论讨论以下以下以下以下三种特殊情况三种特殊情况三种特殊情况三种特殊情况：2 2、当刚体作、当刚体作、当刚体作、当刚体作匀速转动匀速转动匀速转动匀速转动时，时，时，时，若转轴不过质心，若转轴不过质心，若转轴不过质心，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力惯性力系简化为一惯性力惯性力系简

20、化为一惯性力惯性力系简化为一惯性力 ，且，且，且，且 ，同时力，同时力，同时力，同时力的作用线通过转轴的作用线通过转轴的作用线通过转轴的作用线通过转轴OO。1 1、当、当、当、当转轴通过质心转轴通过质心转轴通过质心转轴通过质心C C时，时，时，时，。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3 3、当刚体作、当刚体作、当刚体作、当刚体作匀速转动且转轴通过质心匀速转动且转轴通过质心匀速转动且转轴通过质心匀速转动且转轴通过质心C C 时，时，时，时，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。，

21、惯性力系自成平衡力系。综上可得综上可得综上可得综上可得结论结论结论结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为通过转轴通过转轴通过转轴通过转轴OO的一个惯性力的一个惯性力的一个惯性力的一个惯性力 和一个惯性力偶和一个惯性力偶和一个惯性力偶和一个惯性力偶 。力。力。力。力 的的的的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向

22、相反；力偶心加速度的方向相反；力偶心加速度的方向相反；力偶心加速度的方向相反；力偶 的矩等于刚体对转轴的转动的矩等于刚体对转轴的转动的矩等于刚体对转轴的转动的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。本讲稿第十七页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动 如图所示，设刚体作平面运动，取质心如图所示，设刚体作平面运动，取质心如图所示，设刚体作平面运动，取质心如图所示，

23、设刚体作平面运动，取质心C C为基为基为基为基点，这时可将刚体平面运动分解为随同质心的平动和绕点，这时可将刚体平面运动分解为随同质心的平动和绕点，这时可将刚体平面运动分解为随同质心的平动和绕点，这时可将刚体平面运动分解为随同质心的平动和绕质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心C C简化，得简化，得简化，得简化，得将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心C

24、C简化，注意到转轴通过简化，注意到转轴通过简化，注意到转轴通过简化，注意到转轴通过质心，得质心，得质心，得质心，得 将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心C C简简简简化的结果化的结果化的结果化的结果本讲稿第十八页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运在用达朗伯原理

25、求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运动形式，动形式，动形式，动形式，正确虚加惯性力和惯性力偶正确虚加惯性力和惯性力偶正确虚加惯性力和惯性力偶正确虚加惯性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。，然后再列平衡方程求解。，然后再列平衡方程求解。，然后再列平衡方程求解。综上可得综上可得综上可得综上可得结论结论结论结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为平面运动刚体的惯性力系，可以简化为平面运动刚体的惯性力系，可以简化为平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过质心通过质心通过质心通过质心C C的一个惯性力的一个惯性力的一个惯性力的一个惯性力 和一个惯性力偶和一个惯性力偶和一个惯性力偶和一个惯性力偶 。力

26、。力。力。力 的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶质心加速度的方向相反；力偶质心加速度的方向相反；力偶质心加速度的方向相反；力偶 的矩等于刚体对过质心轴的矩等于刚体对过质心轴的矩等于刚体对过质心轴的矩等于刚体对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转的转动惯量与其角加速度大小的

27、乘积，转向与角加速度的转向相反。向相反。向相反。向相反。本讲稿第十九页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 例例3 如图所示，均质杆如图所示，均质杆如图所示，均质杆如图所示，均质杆ABAB的质量的质量的质量的质量 ，长，长，长，长 ，A A点以铰链连接于点以铰链连接于点以铰链连接于点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速小车上。不计摩擦，当小车以加速小车上。不计摩擦，当小车以加速小车上。不计摩擦，当小车以加速度度度度 向左运动时，求向左运动时，求向左运动时，求向左运动时，求D D处处处处和铰和铰和铰和铰A A处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。解：解：解：解：以杆为研

28、究对象，受力如图，建以杆为研究对象，受力如图，建以杆为研究对象，受力如图，建以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。立如图坐标。立如图坐标。立如图坐标。杆作平动，惯性力的大小为杆作平动，惯性力的大小为杆作平动，惯性力的大小为杆作平动，惯性力的大小为 。假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理于是得本讲稿第二十页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 代入数据，解之得：代入数据，解之得：代入数据，解之得：代入数据，解之得：本讲稿第二十一页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化

29、例例4 均质悬臂梁均质悬臂梁均质悬臂梁均质悬臂梁ABAB长长长长l l，重，重，重，重WW，B B端端端端与重与重与重与重G G、半径为、半径为、半径为、半径为r r的均质圆轮铰接。在的均质圆轮铰接。在的均质圆轮铰接。在的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为圆轮上作用一矩为圆轮上作用一矩为圆轮上作用一矩为MM的力偶，借助于细的力偶，借助于细的力偶，借助于细的力偶，借助于细绳提升重为绳提升重为绳提升重为绳提升重为P P的重物的重物的重物的重物C C。试求固定端。试求固定端。试求固定端。试求固定端A A的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。解：解：解：解：先以轮和重物为研究对象，受力如图。先

30、以轮和重物为研究对象，受力如图。先以轮和重物为研究对象，受力如图。先以轮和重物为研究对象，受力如图。轮的惯性力系向转轴简化，则轮的惯性力系向转轴简化，则轮的惯性力系向转轴简化，则轮的惯性力系向转轴简化，则 物体物体物体物体C C的惯性力的大小为的惯性力的大小为的惯性力的大小为的惯性力的大小为方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理本讲稿第二十二页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 将将 ，代入，解之得代入，解之得 再

31、以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。假想地加上惯性力，则由质点系的假想地加上惯性力，则由质点系的假想地加上惯性力，则由质点系的假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理达朗伯原理达朗伯原理达朗伯原理本讲稿第二十三页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 将将 ，及及 代入，解得代入，解得本讲稿第二十四页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 例例5 质量为质量为质量为质量为mm ，长为，长为，长为，长为l l 的均质直杆的均质直杆的均质直杆的均质直杆ABAB的

32、的的的一端一端一端一端A A焊接于半径为焊接于半径为焊接于半径为焊接于半径为r r的圆盘边缘上，如图。的圆盘边缘上，如图。的圆盘边缘上，如图。的圆盘边缘上，如图。今圆盘以角加速度今圆盘以角加速度今圆盘以角加速度今圆盘以角加速度 绕其中心绕其中心绕其中心绕其中心O O转动。求圆转动。求圆转动。求圆转动。求圆盘开始转动时，盘开始转动时，盘开始转动时，盘开始转动时，ABAB杆上焊接点杆上焊接点杆上焊接点杆上焊接点A A处的约束处的约束处的约束处的约束反力。反力。反力。反力。解：解：解：解：以杆为研究对象，受以杆为研究对象，受以杆为研究对象，受以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐

33、标。力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。杆杆杆杆ABAB作定轴转动，在开始转动作定轴转动，在开始转动作定轴转动，在开始转动作定轴转动，在开始转动的瞬时，质心的加速度为的瞬时，质心的加速度为的瞬时，质心的加速度为的瞬时，质心的加速度为本讲稿第二十五页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 惯性力偶的矩为惯性力偶的矩为惯性力偶的矩为惯性力偶的矩为方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达

34、朗伯原理 将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为本讲稿第二十六页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 由几何关系由几何关系由几何关系由几何关系将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得本讲稿第二十七页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 例例例例6 6 重重重重P P、半径为、半径为、半径为、半径为r r的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为的的的的斜面向下滚动。求圆轮不滑动

35、的最小摩擦斜面向下滚动。求圆轮不滑动的最小摩擦斜面向下滚动。求圆轮不滑动的最小摩擦斜面向下滚动。求圆轮不滑动的最小摩擦系数及轮心系数及轮心系数及轮心系数及轮心C C的加速度。的加速度。的加速度。的加速度。解解解解：以圆轮为研究对象，受力如图，：以圆轮为研究对象，受力如图，：以圆轮为研究对象，受力如图，：以圆轮为研究对象，受力如图，建立如图坐标。建立如图坐标。建立如图坐标。建立如图坐标。圆轮作平面运动，轮心作直线运动，圆轮作平面运动，轮心作直线运动，圆轮作平面运动，轮心作直线运动，圆轮作平面运动，轮心作直线运动，则则则则 将惯性力系向质心简化，惯性力将惯性力系向质心简化，惯性力将惯性力系向质心简

36、化，惯性力将惯性力系向质心简化，惯性力和惯性力偶矩的大小为和惯性力偶矩的大小为和惯性力偶矩的大小为和惯性力偶矩的大小为方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。本讲稿第二十八页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理得得得得解之得解之得解之得解之得 由于圆轮没有滑动，则由于圆轮没有滑动，则由于圆轮没有滑动，则由于圆轮没有滑动，则 ，即，即，即，即由此得由此得所以，圆轮不滑动时，最小摩

37、擦系数所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数本讲稿第二十九页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 例例7 均质杆的质量为均质杆的质量为均质杆的质量为均质杆的质量为mm，长为，长为，长为，长为2 2l l，一端放在光，一端放在光，一端放在光，一端放在光滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当BDBD绳切断的瞬时，绳切断的瞬时，绳切断的瞬时，绳切断的瞬时，B B点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度AEAE绳的拉力及地

38、面绳的拉力及地面绳的拉力及地面绳的拉力及地面的反力。的反力。的反力。的反力。解：解：解：解：以以以以ABAB杆为研究对象，在杆为研究对象，在杆为研究对象，在杆为研究对象，在BDBD绳切断的绳切断的绳切断的绳切断的瞬时，受力如图，建立如图坐标。瞬时，受力如图，建立如图坐标。瞬时，受力如图，建立如图坐标。瞬时，受力如图，建立如图坐标。杆杆杆杆ABAB作平面运动，如图，以作平面运动，如图，以作平面运动，如图，以作平面运动，如图，以B B点为基点，点为基点，点为基点，点为基点，则则则则C C点的加速度为点的加速度为点的加速度为点的加速度为其中其中其中其中 将惯性力系向质心将惯性力系向质心将惯性力系向质

39、心将惯性力系向质心C C简化，得一惯性力简化，得一惯性力简化，得一惯性力简化，得一惯性力 ，其中，其中，其中，其中 ，和一和一和一和一惯性力偶，其力偶的矩：惯性力偶，其力偶的矩：惯性力偶，其力偶的矩：惯性力偶，其力偶的矩：本讲稿第三十页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。方向如图所示。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理点系的达朗伯原理点系的达朗伯原理点系的达朗伯原理即即即即（2）即即即即（1）即即即即（3）本讲稿第三十一页，共三十八

40、页13.2刚体惯性力系的简化 以以以以B B为基点，则为基点，则为基点，则为基点，则A A点的加速度为点的加速度为点的加速度为点的加速度为其中其中其中其中 将上式投影到本将上式投影到本将上式投影到本将上式投影到本 轴上得轴上得轴上得轴上得即即即即（4 4）联立求解（联立求解（联立求解（联立求解（1 1）-（4 4）式，得）式，得）式，得）式，得本讲稿第三十二页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 例例8 如图所示，均质杆如图所示，均质杆如图所示，均质杆如图所示，均质杆ABAB长为长为长为长为l l，重为重为重为重为Q Q，上端，上端，上端，上端B B靠在半径为靠在半径为靠在半径为靠在半径为R

41、 R的光滑圆的光滑圆的光滑圆的光滑圆弧上（弧上（弧上（弧上（R R=l l ），下端），下端），下端），下端A A以铰链和均质圆轮以铰链和均质圆轮以铰链和均质圆轮以铰链和均质圆轮中心中心中心中心A A相连，圆轮重相连，圆轮重相连，圆轮重相连，圆轮重P P，半径为，半径为，半径为，半径为r r，放在，放在，放在，放在粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 =

42、45=45，求此瞬时，求此瞬时，求此瞬时，求此瞬时A A点的加速度。点的加速度。点的加速度。点的加速度。解：解：解：解：设系统运动的初瞬时，圆轮中设系统运动的初瞬时，圆轮中设系统运动的初瞬时，圆轮中设系统运动的初瞬时，圆轮中心的加速度为心的加速度为心的加速度为心的加速度为 ，角加速度为，角加速度为，角加速度为，角加速度为 ；ABAB杆的角加速度为杆的角加速度为杆的角加速度为杆的角加速度为 ，质心质心质心质心C C的加速度的加速度的加速度的加速度为为为为 、。如图。如图。如图。如图。轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯轮和杆均作平面

43、运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为性力和惯性力偶的矩的大小分别为性力和惯性力偶的矩的大小分别为性力和惯性力偶的矩的大小分别为本讲稿第三十三页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 先以先以先以先以整体整体为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理偶，则由质点系的达朗伯原理偶，则由质点系的达朗伯原理偶，则由质点系的达朗伯原理(1)(1)本讲稿第三十四

44、页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 再以再以再以再以ABAB为研究对象，受力如图。假为研究对象，受力如图。假为研究对象，受力如图。假为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理的达朗伯原理的达朗伯原理的达朗伯原理（2）ABAB杆作平面运动，先以杆作平面运动，先以杆作平面运动，先以杆作平面运动，先以B B点为基点，则点为基点，则点为基点，则点为基点，则A A点的加速度为点的加速度为点的加速度为点的加速度为其中其中其中其中其加速度合成矢量图如图所示。其加速度

45、合成矢量图如图所示。其加速度合成矢量图如图所示。其加速度合成矢量图如图所示。将其投影于将其投影于将其投影于将其投影于 轴，得轴，得轴，得轴，得（3）本讲稿第三十五页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 再以再以再以再以A A为基点，则为基点，则为基点，则为基点，则C C点的加速度为点的加速度为点的加速度为点的加速度为其中其中其中其中，加速度合成矢量图如图。加速度合成矢量图如图。加速度合成矢量图如图。加速度合成矢量图如图。将其投影于将其投影于将其投影于将其投影于 、轴，得轴，得轴，得轴，得（4）（5）由式由式由式由式(3)(3)、(4)(4)、(5)(5)可将可将可将可将 、a aC Cx x、a aC Cy y、都化为、都化为、都化为、都化为a aA A的函数，即的函数，即的函数，即的函数，即本讲稿第三十六页，共三十八页13.2刚体惯性力系的简化 将其代入式（将其代入式（将其代入式（将其代入式（1 1）、（）、（）、（）、（2 2），并取），并取），并取），并取 ，联立该，联立该，联立该，联立该两方程可解得两方程可解得两方程可解得两方程可解得本讲稿第三十七页，共三十八页水土学院理论力学课程组第一章第一章 力学基本知识和物体的受力分析力学基本知识和物体的受力分析THETHEENDEND本讲稿第三十八页，共三十八页