概率论多维随机变量及其分布函数精选文档.ppt

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1、概率论多维随机变量及其分布函数本讲稿第一页，共三十六页3.1 3.1 二维二维随机变量随机变量一、二维一、二维随机变量随机变量及其分布函数及其分布函数二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布四、两个常用的分布本讲稿第二页，共三十六页1.定义定义一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数若若 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e，设设 X=X(e)和和 Y=Y(e)是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做，叫做二维随机向量二

2、维随机向量，或，或二维二维随机变量。随机变量。图示图示本讲稿第三页，共三十六页注意事项注意事项(1)向量向量(X,Y)是一个整体是一个整体,其性质不仅与其性质不仅与 X、Y 有关有关,而且而且还依赖于这两个随机变量的相互关系还依赖于这两个随机变量的相互关系.(2)向量向量(X,Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点从几何上看可以作为一个平面上随机点.2.实例实例实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿童区学前儿童的发育情况的发育情况,则儿童的身高则儿童的身高 H 和和体重体重 W 就构成二维随

3、机变量就构成二维随机变量(H,W).本讲稿第四页，共三十六页3.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义分布函数的定义(2)分布函数的几何意义分布函数的几何意义本讲稿第五页，共三十六页且有且有(3)分布函数的性质分布函数的性质本讲稿第六页，共三十六页证证某一二元函数是二维随机变量分布函数某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。该函数具有以上四条性质。可以证明可以证明本讲稿第七页，共三十六页(4)一个重要的公式一个重要的公式(X,Y)yxox1x2y1y2(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)则则本讲稿第八页，共三十六页4.n 维随机

4、变量维随机变量(2)n维随机变量的联合分布函数维随机变量的联合分布函数(1)定义定义为联合分布函数为联合分布函数.本讲稿第九页，共三十六页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量1.定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可所取的可能值是有限对或无限可列多对列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律本讲稿第十页，共三十六页二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合分布律也可表示为的联合分布律也可表示为3.联合分布律的性质联合分布律的性质本讲稿第十一页，共三十六页例例1解解由乘法

5、公式得由乘法公式得本讲稿第十二页，共三十六页本讲稿第十三页，共三十六页抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例例2从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠笔的盒子支绿色圆珠笔的盒子里里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和分别表示抽出的蓝笔数和红笔数红笔数,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解(X,Y )所取的可能值是所取的可能值是抽取一支蓝笔抽取一支蓝笔,一支红笔一支红笔本讲稿第十四页，共三十六页综合之所求分布律为综合之所求分布律为本讲稿第十五页，共三十六页4.二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型

6、随机变量的联合分布函数一般不好写出！一般不好写出！本讲稿第十六页，共三十六页(X,Y )的可能取值为的可能取值为例例3一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从中任取一个从中任取一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每次取球时设每次取球时,各球被取到的可各球被取到的可能性相等能性相等,以以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字的数字,求求 (X,Y)的分布律与分布函数的分布律与分布函数.解解故故(X,Y )的分布律为的分布律为本讲稿第十七页，共三十六页下面求分布函数下面求分布函数.本讲稿第十八页，共三十

7、六页本讲稿第十九页，共三十六页所以所以(X,Y)的分布函数为的分布函数为本讲稿第二十页，共三十六页练习练习解解本讲稿第二十一页，共三十六页离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为说明说明本讲稿第二十二页，共三十六页三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1.定义定义使得对于任意的使得对于任意的 x,y有有本讲稿第二十三页，共三十六页2.性质性质按定义，概率密度按定义，概率密度 f(x,y)具有以下性质：具有以下性质：在几何上在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表表示空间的一个曲面，上式即表示示 P(X,Y)G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲

8、面为底，以曲面 z=f(x,y)为顶为顶的柱体体积的柱体体积本讲稿第二十四页，共三十六页例例4解解本讲稿第二十五页，共三十六页(2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有例例4解解本讲稿第二十六页，共三十六页例例5解解x+y=1x=1y=2将将(X,Y)看作是平面上随机看作是平面上随机点的坐标点的坐标,本讲稿第二十七页，共三十六页例例6解解 按性质，按性质，用极坐标系计算用极坐标系计算本讲稿第二十八页，共三十六页例例6解解(2)本讲稿第二十九页，共三十六页四、两个常用的分布四、两个常用的分布1.均匀分布均匀分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其

9、面积为其面积为 S,若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.定义定义均匀分布几何意义均匀分布几何意义(几何概型几何概型)本讲稿第三十页，共三十六页 已知随机变量已知随机变量(X,Y)在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域.试求试求(X,Y)的分布密度及分布函数的分布密度及分布函数,例例7解解D本讲稿第三十一页，共三十六页本讲稿第三十二页，共三十六页所以所以(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为本讲稿第三十三页，共三十六页2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度本讲稿第三十四页，共三十六页二维正态分布的图形二维正态分布的图形本讲稿第三十五页，共三十六页1.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数3.二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度小结小结4.均匀分布、二维正态分布均匀分布、二维正态分布本讲稿第三十六页，共三十六页