棱柱棱锥的面积和体积精选文档.ppt

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1、棱柱棱锥的面积和体棱柱棱锥的面积和体积积本讲稿第一页，共二十六页棱柱的侧面积和体积棱柱的侧面积和体积：S直棱柱侧直棱柱侧=ch,S斜斜棱柱侧棱柱侧=cl,V柱体柱体Sh hSLSS本讲稿第二页，共二十六页柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体等底面积等高的几个柱体被平行于平面被平行于平面的平面所截的平面所截截面面积始终相等截面面积始终相等体体积积相相等等V长方体长方体abcV柱体柱体Sh 本讲稿第三页，共二十六页定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h2S2hShS取任意两个锥体，它们取任意两个锥体，它们的底面积为的底面

2、积为S S，高都是，高都是h h平行于平面平行于平面的任一平面去截的任一平面去截截面面积始终相等截面面积始终相等两个锥体体积相等两个锥体体积相等本讲稿第四页，共二十六页定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S2hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S S，高都是，高都是h h。把这两个锥体把这两个锥体放在同一个平面放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平平行的同一个平面内，面内，用平行于平面用平行于平面的任一平面去截它们，的任一平面去截它们，截面分别与

3、底面相似，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离分别是h1，截面面积分别是S1，S2根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。本讲稿第五页，共二十六页锥体的体积公式锥体的体积公式 定理三：如果一个锥体的底面积是定理三：如果一个锥体的底面积是S S，高是高是h h，那么它的体积是，那么它的体积是 V V锥体锥体 Sh Sh本讲稿第六页，共二十六页 棱锥的侧面积和体积棱锥的侧面积和体积1 1、正棱锥的侧面积：、正棱锥的侧面积：S=chS=ch2 2、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。3 3、如果一个棱锥的底面积是、如果一个棱锥的底面

4、积是S,S,高是高是h h，那么它的体积是那么它的体积是 V V锥体锥体 Sh Sh本讲稿第七页，共二十六页例1：三棱柱的底面是边长为5的等边三角形，其中一条侧棱与底面两边都成600的角，侧棱长为4，求三棱柱的侧面积。ABCABC本讲稿第八页，共二十六页例例2.2.如图是一石柱如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四石柱顶上部是一个正四 棱锥棱锥,下部是一个正四棱柱下部是一个正四棱柱.已知正四已知正四 棱柱底面边长棱柱底面边长0.50.5米米,高高1 1米米,正四棱锥正四棱锥 的高是的高是0.30.3米米.石料比重石料比重d d为每一立方米为每一立方米 2400 2400千克千克.求这个石柱的重量求

5、这个石柱的重量.本讲稿第九页，共二十六页解解:V棱锥棱锥=V棱柱棱柱=所以石柱的重量所以石柱的重量 P=(V棱柱棱柱+V棱锥棱锥)d=660(千克千克).0.5米米1米米0.3米米本讲稿第十页，共二十六页例例3.3.在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中中,AC=BC=13,AB=10,AC=BC=13,AB=10，三个，三个侧面与底面所成的二面角均为侧面与底面所成的二面角均为6060o o,VO,VO平面平面ABC,ABC,交平面交平面ABCABC于于O.OO.O在三角形内部。在三角形内部。BACVEOFD(2)(2)求：求：三棱锥的高三棱锥的高.(3)(3)求：求：三棱锥的体积三棱锥的体积

6、.(1)(1)求证：求证：O O是是 ABC ABC的内心的内心.本讲稿第十一页，共二十六页 OD为为VD在平面在平面ABC内的射影内的射影,根据三垂线根据三垂线定理定理,得得VDAB.于是于是VDO为侧面为侧面VAB与底面所成二与底面所成二面角的平面角，面角的平面角，VDO=60o.同理同理VEO=VFO=60o.CV解解:（1）过过O在平面在平面ABC 内分别作内分别作AB、AC、BC的垂线的垂线,D、F、E为垂足为垂足.连结连结VD、VF、VE.AEOFDB 因为因为VO平面平面ABC,OD AB,显然显然 OD=OE=OF=VOctg60o,即点即点O到到ABC三边距离相等三边距离相等

7、.因此因此 O是是ABC的内心的内心.本讲稿第十二页，共二十六页CVEOFDAB本讲稿第十三页，共二十六页例例4.4.已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为角为120120o o,底面边长底面边长a,a,求它的高、体积求它的高、体积.ABCDSEO本讲稿第十四页，共二十六页ABCDSEO解解：连结连结ACAC、BDBD交于交于O O，连结，连结SOSO，则则SOSO为正四棱锥的高为正四棱锥的高.过过B B作作BESC,EBESC,E为垂足为垂足.连结连结DE,DE,则则DEBDEB为二面角为二面角D-SC-BD-SC-B的平面角的平面角,所以所以DEB=120D

8、EB=120o o.本讲稿第十五页，共二十六页ASBCDEO连结连结OE,本讲稿第十六页，共二十六页例例5.5.如图三棱锥如图三棱锥V-ABCV-ABC中中,D,D为为BCBC上一点上一点,E,E为为 AV AV上一点上一点,BCED,BCAV,ED AV,BCED,BCAV,ED AV,已知已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求求:三棱锥的体积三棱锥的体积.VABCDE本讲稿第十七页，共二十六页NEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：本讲稿第十八页，共二十六页EVABCDBC=6,ED=4,AV=8.本讲稿第十九

9、页，共二十六页例例6、如如图图,在在长长方方体体ABCD-A1B1C1D1中中,G为为A1B1上的点上的点,E、F在棱在棱AB上上,H在在C1D1上上.(1).若若点点G在在A1B1上上滑滑动动,H在在C1D1上上滑滑动动,线线段段EF在在AB上滑动上滑动,则则VH-EFG的值有何变化的值有何变化?(2).若若点点G滑滑动动到到B1,E、F滑滑动动到到A、B点点,H滑滑动动到到D1点点,则则VH-EFG体积为多少体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF本讲稿第二十页，共二十六页 A D B CE 证明：在平面证明：在平面BCDBCD内，作内，作DE BCDE BC，垂足为，垂足为E E，连

10、接连接AE,DEAE,DE就是就是AEAE在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。根据三垂线定理，根据三垂线定理，AE BCAE BC。AED AED。例例7 7：已知：三棱锥：已知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD，侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos S SAB CAB C ADcos ADcos BC BC AEcos AEcos AD ADV V三棱锥三棱锥 S SB CD B CD AD AD BC BC DE DE AD AD本讲稿第二十一页，共

11、二十六页例例8 8：已知：已知:三棱锥三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD，侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos A D B CE 问题问题1 1、ADcosADcos有什么几何意义？有什么几何意义？F 结论：结论：V V三棱锥三棱锥 S SAB C AB C DF DF 本讲稿第二十二页，共二十六页例例9 9、已知：三棱锥、已知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD，侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求

12、证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos A D B CE 结论：结论：V V三棱锥三棱锥V VC-AEDC-AEDV VB-AEDB-AED 问题问题2、解答过程中的、解答过程中的 BC BC AEcos AEcos AD AD其中其中 AEcos AEcos AD AD可表示什么意思？可表示什么意思？AEcosEDSAED EDAD 又又BE与与CE都垂直平面都垂直平面AED，故，故BE、CE分别是三棱锥分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。的高。分析：分析：本讲稿第二十三页，共二十六页练习练习1 1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，将长方体沿相邻

13、三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）（请列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？问题问题2、如果这是一、如果这是一 个平行六面个平行六面 体呢？或者体呢？或者 四棱柱呢？四棱柱呢？本讲稿第二十四页，共二十六页练习练习2:2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥到一个正三棱锥A-BCDA-BCD，求它的体积是正方体体，求它的体积是正方体体积的几分之几？积的几分之几？C D AB 问题问题

14、2、如果改为、如果改为求求 棱长为棱长为a a的正四面的正四面 体体A-BCDA-BCD的体积。的体积。你能有几种解法？你能有几种解法？问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？解一、补形，将三棱解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。锥补成一个正方体。解二、利用体积公式解二、利用体积公式 V四面体四面体 SBCDh 解三、将四面体分割为解三、将四面体分割为 三棱锥三棱锥C-ABE和三棱和三棱 锥锥D-ABEE本讲稿第二十五页，共二十六页 练习：练习：1 1、四面体、四面体O-ABCO-ABC中，除中，除OCOC外其余的棱长均为外其余的棱长均为 1 1，且，且OCOC与平面与平面ABCABC所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 ，求此四面体的体积。求此四面体的体积。2 2、三棱锥、三棱锥P-ABCP-ABC中，已知中，已知PABCPABC，PAPABCBCa a，PA,BC PA,BC的公垂线段为的公垂线段为EF(EEF(E、F F分别在分别在PAPA、BCBC 上上)，且，且EFEFh h，求三棱锥的体积。，求三棱锥的体积。本讲稿第二十六页，共二十六页