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1、第四章动量1本讲稿第一页，共三十六页第四章动量第四章动量（一）动量与动量定理（一）动量与动量定理牛顿第二定律牛顿第二定律作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。一、动量一、动量定义动量：定义动量：2本讲稿第二页，共三十六页第四章动量第四章动量二、质点动量定理二、质点动量定理由由定义定义 dI=Fdt 为力的元冲量，则冲量为力的元冲量，则冲量 I 为力对时间的积分为力对时间的积分 即力对质点的冲量等于质点动量的增加，这就是质点即力对质点的冲量等于质点动量的增加，这就是质点动量定理。动量定理。动量定理微分形式动量定理积分形式动量定理说明，力在时间上

2、的积累作用产动量定理说明，力在时间上的积累作用产生的效果是使质点的动量增加。生的效果是使质点的动量增加。3本讲稿第三页，共三十六页第四章动量第四章动量三、质点系动量定理三、质点系动量定理1.1.对两质点系统对两质点系统(如图如图)内力：内力：外力：外力：12考虑牛顿笫三定律，考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)(1)+(2)得得:质点质点质点质点4本讲稿第四页，共三十六页第四章动量第四章动量2.2.对多质点系统对多质点系统 质点系的动量定理质点系的动量定理作用于系统的所有外力在一段时间内作用于系统的所有外力在一段时间内的总冲量等于系统动量的增量。的总冲量等于系统动量的增量。设质点组由设质点组由N个

3、质点组成，对笫个质点组成，对笫 i 个质点应用动量定理，有个质点应用动量定理，有对所有质点的动量定理表达式求和，则有对所有质点的动量定理表达式求和，则有由于所有内力的矢量和为零，即由于所有内力的矢量和为零，即5本讲稿第五页，共三十六页第四章动量第四章动量(1)(1)只有外力对系统总动量的增量有贡献；只有外力对系统总动量的增量有贡献；(2)(2)系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点 的动量发生变化；的动量发生变化；说明：说明：动量定理与牛顿定律的关系：动量定理与牛顿定律的关系：对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，对一个质点，牛顿定律表示的

4、是力的瞬时效应，而动量定理表示的是力对时间的积累效果；而动量定理表示的是力对时间的积累效果；牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系，牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系，而动量定理可适用于质点系；而动量定理可适用于质点系；牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系。要在非牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系。要在非 惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。在无限小的时间间隔内：在无限小的时间间隔内：质点系动量定理的微分形式6本讲稿第六页，共三十六页第四章动量第四章动量解：解：如图，建立坐标系如图，建立坐标系,令线密度令线密度 ,则在某时刻则在某时刻例

5、题例题4.4.柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度与落下距离之间关系与落下距离之间关系.根据根据 得得yOy分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理 求解求解.7本讲稿第七页，共三十六页第四章动量第四章动量两端同乘以两端同乘以y：两端积分：两端积分：得：得：yOy8本讲稿第八页，共三十六页第四章动量第四章动量（二）（二）质心与质心运动定理质心与质心运动定理一、质心一、质心质点系动量定理的微分形式：质点系动量定理的微分形式：对质点系而言存在一个特殊点对质点系而言存在一个特殊点 c ，满足，满足其中其中

6、 MM为体系总质量；为体系总质量；是该特殊点的加速是该特殊点的加速 度，度，c 称为称为质心质心。抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火9本讲稿第九页，共三十六页 质心位置及其求法：质心位置及其求法：（1 1）两个质点组成的体系）两个质点组成的体系令令第四章动量第四章动量10本讲稿第十页，共三十六页第四章动量第四章动量 可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权权”与质点的与质点的质量分布有关质量分布有关.（2 2）n个质点系统个质点系统分量形式分量形式11本讲稿第十一页，共三十六页第四章动量第四章动量 对质量连续分布

7、的物体，其质心位矢由上式推广得对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得分量形式为分量形式为（3 3）若一个物体由）若一个物体由A、B两部分组成，质心位矢的分两部分组成，质心位矢的分量表达式分别改写为量表达式分别改写为X方向：方向：12本讲稿第十二页，共三十六页第四章动量第四章动量同样同样 Y、Z方向质心位置分别为方向质心位置分别为 质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力学概念。学概念。13本讲稿第十三页，共三十六页第四

8、章动量第四章动量例题例题4.4.求半径为求半径为 a 的均质半圆球的质心的均质半圆球的质心解：如图，以球心解：如图，以球心 O 为原点建立坐标系为原点建立坐标系.将半球体划分为若干将半球体划分为若干半径为半径为 r 厚为厚为 dz 的平板状薄圆，体积元为的平板状薄圆，体积元为 dV而而设设 ，则，则xaq qzO14本讲稿第十四页，共三十六页第四章动量第四章动量例题例题4.4.如图在半径为如图在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为半径为R/2/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心解：选择如图坐标系，考虑对称性，余解：选

9、择如图坐标系，考虑对称性，余下部分质心的下部分质心的y坐标为零，仅需求坐标为零，仅需求x坐标坐标大圆板质量为大圆板质量为 ，质心坐标为质心坐标为小圆板质量为小圆板质量为 ，质心坐标为质心坐标为余下的质量为余下的质量为 ，质心坐标用，质心坐标用 表示，则表示，则Oxy15本讲稿第十五页，共三十六页第四章动量第四章动量二、体系动量定理与质心运动定理二、体系动量定理与质心运动定理引入质心概念，质点系动量则可表示为引入质心概念，质点系动量则可表示为体系动量定理可写成体系动量定理可写成上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式16本讲稿第十六页，共三十六页第四章动量第四

10、章动量(3)(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。从这个意义不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的运动，而是质心的运动。上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一定条件下可以看成质点的物理基础；而质心的存在，正是任意物体在一定条件下可以看成质点的物理基础；上式表明上式表明:(2)(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在

11、大尺度范围内也将是正确的；也将是正确的；(1)(1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立；量方程，运动的独立性同样成立；(4)(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。17本讲稿第十七页，共三十六页第四章动量第四章动量说明：说明：说明：说明：2.2.物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的运动与质心系相对固定参照系的运动。运动与质心系相对固定参照系的运动。3.3.质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用。质心坐标系在讨

12、论质点系的力学问题中十分有用。1.1.对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系其质心坐标系为惯性系；其质心坐标系为惯性系；对于受外力作用的体系，则是非惯性系。对于受外力作用的体系，则是非惯性系。三、质心坐标系三、质心坐标系 把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为质心坐标系。（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为质心坐标系。18本讲稿第十八页，共三十六页第四章动量第四章动量例题例题4.4.一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬一根完全柔软的质量均匀分布

13、的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触挂着，其下端刚与地面接触.此时放开绳子，从静止此时放开绳子，从静止状态开始下落状态开始下落.已知绳子质量为已知绳子质量为 m,长为长为 l，求下落，求下落到所剩长度为到所剩长度为 z 时，地面对这段绳子的作用力时，地面对这段绳子的作用力.解：解法一（质心法）解：解法一（质心法）把绳子看作一质点系。当绳子下落把绳子看作一质点系。当绳子下落到剩长度为到剩长度为 z 时，其质心高度和速度时，其质心高度和速度分别为分别为 所谓完全柔软的绳子所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即与一个质点自

14、由下落的速度相同，即z zOz z19本讲稿第十九页，共三十六页第四章动量第四章动量由此可得质心加速度为由此可得质心加速度为 设地板对上段绳子的作用力为设地板对上段绳子的作用力为F，对整根绳子应用质心，对整根绳子应用质心运动定理，则有运动定理，则有20本讲稿第二十页，共三十六页第四章动量第四章动量忽略二级小量，并考虑忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为内落地绳子的长度为-vdt，可得，可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为 绳子上端的下落速度为绳子上端的下落速度为 ，而紧靠地面的，而紧靠地面的质元质元 dm 与地面相碰时其

15、动量由与地面相碰时其动量由 vdm 变为零变为零.故若设该质元受到的支故若设该质元受到的支持力为持力为 ，根据质点动量定理有，根据质点动量定理有解法二：（动量法）解法二：（动量法）21本讲稿第二十一页，共三十六页第四章动量第四章动量（三）（三）动量守恒定律动量守恒定律恒矢量恒矢量说明：说明：一、动量守恒定律一、动量守恒定律由体系动量定理由体系动量定理1 1、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分配有重要作用。当体系所受外力矢量和为零时分配有重要作用。当体系所受外力矢量和为零时,但由于内力作用，可以有但由于内力作用，可以有若若 ，则，则2

16、2本讲稿第二十二页，共三十六页第四章动量第四章动量4 4、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适用范围更广用范围更广.尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立成立，但动量守恒定律仍然成立.2 2、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒：、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒：3 3、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力冲量很小有限，过程时间很短，

17、外力冲量很小.而其间内力很大，体系而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题；动量再分配问题；23本讲稿第二十三页，共三十六页第四章动量第四章动量例题例题4.5 4.5 质量为质量为M=500kg=500kg、长为、长为4m4m的木船浮在静止水面的木船浮在静止水面上，一质量为上，一质量为m=50kg=50kg的人站在船尾的人站在船尾.此人以时快时慢的此人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，问

18、船相对岸移动了多少不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距离距离?设船与水之间的摩擦忽略设船与水之间的摩擦忽略.分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为零，质心在水平方向的位置保持不变零，质心在水平方向的位置保持不变,故宜用质心概念求解故宜用质心概念求解.解：解法一（质心法）解：解法一（质心法）取取x x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的行走方向为行走方向为x正方向正方向.人在船尾时，体系质心的人在船尾时，体系质心的x坐标坐标 为为24本讲稿第二十四页，共三十六页第四章

19、动量第四章动量 当人走到船头后，设船的中心坐标为当人走到船头后，设船的中心坐标为x，则体系质心坐标为则体系质心坐标为质心水平位置不变，即质心水平位置不变，即 ，故，故L Lx x0 00 0 x x25本讲稿第二十五页，共三十六页第四章动量第四章动量再设再设u u为人对船的速度，则为人对船的速度，则如图，人在如图，人在 时间内从船的一端时间内从船的一端走到另一端，距离为走到另一端，距离为L,人和船对岸的人和船对岸的移动距离分别为移动距离分别为 ，则可写出，则可写出下面三个运动学关系式下面三个运动学关系式解法二（动量守恒法）解法二（动量守恒法）在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故在水平方向上系

20、统不受外力，动量守恒，故 其中其中 分别为某时刻人和船对岸的速度分别为某时刻人和船对岸的速度.L Lv v26本讲稿第二十六页，共三十六页第四章动量第四章动量由式（由式（1 1）得）得 ，并代入式（，并代入式（2 2），得），得27本讲稿第二十七页，共三十六页第四章动量第四章动量 所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量。对这样体系的所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量。对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程。在元过程中，其组成是确定的，质量是不运动过程可以分解为一系列元过程。在元过程中，其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量变的，体系动量变化服从体

21、系动量定理。由此即可导出主体的运动方程。定理。由此即可导出主体的运动方程。一、一、变质量物体的运动变质量物体的运动（三）（三）变质量物体的运动变质量物体的运动u u u u这里讨论的变质量物体，并非相对论中质量随运动速度而变的相对论情况例子：喷射高速气流的火箭，质量渐增的滚动雪球，吸附水汽的下落雨滴例子：喷射高速气流的火箭，质量渐增的滚动雪球，吸附水汽的下落雨滴等等28本讲稿第二十八页，共三十六页第四章动量第四章动量这就是变质量质点（即主体）运动方程变质量动量定理（密舍这就是变质量质点（即主体）运动方程变质量动量定理（密舍而斯基方程）而斯基方程）令令 ，则，则 ，上式取极限得，上式取极限得即即

22、 如图，在如图，在t 时刻，主体时刻，主体m与附体与附体 是分离的是分离的.经过经过 时间，附体并时间，附体并入主体入主体.于是，由质点系的动量定理，有于是，由质点系的动量定理，有dm对主体的冲击力29本讲稿第二十九页，共三十六页第四章动量第四章动量说明：说明：方程中外力方程中外力 ，附体对主体的作用力为，附体对主体的作用力为 .当当u=v 时，可得时，可得方程虽形式上与牛顿笫二定律一样，但注意方程虽形式上与牛顿笫二定律一样，但注意m是变量是变量.当当u=0时，方程变为时，方程变为 上式是在上式是在 的情况下导出的，但当的情况下导出的，但当 时，时，结论仍然正确结论仍然正确.30本讲稿第三十页

23、，共三十六页第四章动量第四章动量例例 题题 4 4.6 6 雨雨滴滴自自由由下下落落时时质质量量为为m0，在在下下落落过过程程中中，单单位位时时间间凝凝聚聚的的水水汽汽质质量量为为。试试求求雨雨滴滴经经过过时时间间t t下下落落的的距距离离。（忽忽略略空空气气阻阻力力）解：设水汽附着于雨滴前的速度解：设水汽附着于雨滴前的速度u=0，利用变质量动量定，利用变质量动量定理（见说明）理（见说明）对此积分，并利用初始条件对此积分，并利用初始条件 t=0 时，时，v=0，得，得再次积分，并利用初始条件再次积分，并利用初始条件 t=0 时，时，x=0，得，得这就是雨滴经时间这就是雨滴经时间 t 下落的距离

24、。下落的距离。31本讲稿第三十一页，共三十六页第四章动量第四章动量 二、火箭飞行原理二、火箭飞行原理MM-dm根据变质量质点运动方程，有根据变质量质点运动方程，有由于是一维运动，由于是一维运动，且与，且与v 的方向相反，得的方向相反，得设火箭喷出的气体相对速度设火箭喷出的气体相对速度 沿火箭轨道切向，且为沿火箭轨道切向，且为常量常量 ；火箭飞行中不受外；火箭飞行中不受外力作用；火箭起始质量为力作用；火箭起始质量为M,燃料烧尽后质量为燃料烧尽后质量为m.此时此时 v=?32本讲稿第三十二页，共三十六页第四章动量第四章动量注意，上式中注意，上式中dm0，积分得积分得通常通常 ，故，故 至多可至多可

25、 。实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，情况要复杂得多情况要复杂得多.要提高要提高 ，可以用多级火箭。对于二级火箭，可以用多级火箭。对于二级火箭 可达可达33本讲稿第三十三页，共三十六页固体火箭推进原理示意图固体火箭推进原理示意图液体火箭推进原理示意图液体火箭推进原理示意图火箭火箭“接力接力”的三种形式的三种形式串联式串联式并联式并联式混联式混联式第四章动量第四章动量34本讲稿第三十四页，共三十六页第四章动量第四章动量长征三号甲运载长征三号甲运载火箭示意图火箭示意图长征二号长征二号F型运载火箭示型运载火箭示意图意图（神七（神七

26、 ）法国法国“阿丽亚阿丽亚娜娜”运运载火箭载火箭 美国大美国大力神号力神号运载火运载火箭箭(“旅旅行者行者”探测器探测器)35本讲稿第三十五页，共三十六页第四章动量第四章动量本章基本要求本章基本要求 进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它 们的矢量性们的矢量性.进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特 别是二维问题别是二维问题.理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方 法，初步掌握利用质心概念处理问题法，初步掌握利用质心概念处理问题.理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算.36本讲稿第三十六页，共三十六页