2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例应用案巩固提升新人教B版选修2_2.doc

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1、2.3.2 数学归纳法应用举例 A基础达标1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D6解析：选C.当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选C.2一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k的取值无关D以上答案都不对解析：选B.因为n2时成立，若nk取2时，nk2为偶数也成立，即该命题对所有正偶数都成立3用数学归纳法证明“当n为正奇

2、数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN)解析：选B.nN且为奇数，由假设n2k1(kN)时成立推证出n2k1(kN)时成立，就完成了归纳递推4用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：选D.当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)

3、(k22)(k1)2，故选D.5若k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面的个数为()Af(k)k1 Bf(k)kCf(k)k1 Df(k)k2解析：选A.由k棱柱到k1棱柱，底面对角线增加k21k1条，所以增加了(k1)个对角面6用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证n_答案：37用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式左边的分母可知，由nk到nk1左边多出了这一项答案：8对任意nN，34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整

4、除，故a5.答案：59证明：1(nN)证明：当n1时，左边1，右边，等式成立假设当nk(kN且k1)时等式成立即1.则当nk1时，左边1，所以当nk1时等式也成立，由知，对一切nN等式都成立10已知数列an中，a15，Sn1an(n2且nN)(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式解：(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a320.猜想：an.(2)证明：当n2时，a252225成立假设当nk(k2且kN)时猜想成立，即ak52k2，则nk1时，ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故当nk1时，猜想也成立由可知，对

5、n2且nN，都有an52n2.于是数列an的通项公式为anB能力提升11已知123332433n3n13n(nab)对一切nN都成立，那么a，b的值为()Aa，b BabCa0，b Da，b解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n1，2验证，易知选A.法二：因为123332433n3n13n(nab)对一切nN都成立，所以当n1，2时有即解得12用数学归纳法证明“当nN时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为_，从nk到nk1时需增添的项是_解析：当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125

6、(k1)1.答案：1222232425k25k125k225k325k413平面内有n(n2，nN)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f(n).证明：(1)当n2时，两条直线有一个交点，f(2)1，命题成立(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即f(k).那么当nk1时，第k1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k1)f(k)kk，即当nk1时命题也成立根据(1)和(2)，可知命题对任何n2，nN成立14(选做题)设函数yf(x)，对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN)的表达式并用数学归纳法证明解：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200，得f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114；f(3)f(21)f(2)f(1)2219；f(4)f(31)f(3)f(1)23116.(3)由(2)可猜想f(n)n2(nN)用数学归纳法证明如下：当n1时，f(1)112显然成立假设当nk(kN)时，猜想成立，即f(k)k2，则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2，故当nk1时，猜想也成立由，可得对一切nN都有f(n)n2成立5