高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法利用数学归纳法解题要点素材新人教A版选修2_2.doc

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利用数学归纳法解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后一步总结表述。需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：1, 2, 3n, n+1对其中（1、2n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；对（2、3n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；由于这两组中都有（2、3、n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求nn+1过程对n=1，2，3的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。1

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