【复习方略】（湖北专用）2014高中数学 证明不等式的基本方法课时训练 文 新人教A版.doc

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1、课时提升作业(六十三)一、选择题1.设a+b0,则()(A)b2a2ab(B)a2b2-ab(C)a2-ab-abb22.(2013咸宁模拟)若abc,则()(A)大于0(B)小于0(C)小于或等于0(D)大于或等于03.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc0,则的值()(A)一定是正数(B)一定是负数(C)可能是0(D)正、负不能确定4.若x2+xy+y2=1,且x,yR,则n=x2+y2的取值范围是()(A)00,x=,则有()(A)xy(B)xy(C)xy(D)x2,b2,则a+b与ab的大小关系是()(A)a+bab(B)a+bb1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),

2、则()(A)RPQ(B)PQR(C)QPR(D)PRQ8.(2013武汉模拟)设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,若M=(-1)(-1)(-1),则必有()(A)0M(B)M1(C)1M8(D)M89.“”是“|x-y|2a;a2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.其中,恒成立的有()(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个11.设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是()(A)(a+b)()4(B)a3+b32ab2(C)a2+b2+22a+2b(D)二、填空题12.若x3或y-1,M=x2+y2-6x+2y,N=-10,则M与N的大小关系是.13.已知

3、等比数列an的各项均为正数,且公比q1,若则P与Q的大小关系为.14.A=与(nN*)的大小关系为.15.设ab0,下面四个不等式中,正确命题的序号是.|a+b|a|;|a+b|b|;|a+b|a|-|b|.三、解答题16.(2013荆州模拟)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3.(2)若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明,如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.答案解析1.【解析】选D.根据题意,设a=-3,b=2,a2=9,-ab=6,b2=4,a2-abb2,故选D.2.【解析】选A.方法一:,又abc,

4、a-b0,a-c0,b-c0,0.方法二:abc,a-cb-c0,0,故选A.3.【解析】选B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,且a2+b2+c20(由abc0知a,b,c均不为0),ab+bc+ca0,因此0,ab(b-a)0,ab2a2b,x3y3,xy.6.【解析】选B.方法一:a2,b2,a-11,b-11,(a-1)(b-1)1,即ab-a-b0,aba+b,故选B.方法二:a2,b2,01,即01,0a+bb1,lgalgb0,R=lg()lg=(lga+lgb)=Q.PQ0,b0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,是的等差中项,则P

5、,Q,R按从大到小的排列顺序为.【解析】由已知P=,Q=,即R=,显然PQ,又=,QR,PQR.答案:PQR8.【解析】选D.由已知得M=【变式备选】已知a,b(0,+),且a+b=1,求证:(1)8.(2)a2+b2.(3) 8.(4) (a+)2+(b+)2.(5)(a+)(b+).(6)2.【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab或,因此只要利用a+b=1得出ab及的范围,就能够证出以上六个不等式.【证明】由得ab4.(1)=(a+b)()+22+4=4+4=8,8.(2)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2=,a2+b2.(3)8,8.(4)由(2)、(3)

6、的结论,知(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+4+8=,(a+)2+(b+)2.(5)方法一:欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,即证4(ab)2-33ab+80,即证ab或ab8.a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立.1=a+b2,ab,从而得证.方法二:a+b=1,a0,b0,a+b2,ab,(a+)(b+)-=0.(a+)(b+).方法三:a+b=1,a0,b0,a+b2,ab,1-ab1-=(1-ab)2,即(a+)(b+).(6)方法一:x0,y0,x+y2,2(x+y)(x+y)+2=()2,由此得: =方法二:要证即证()28,即证2(a+b)+

7、2+28,a+b=1,从而只需证2,即证2,只需证ab,而a0,b0,1=a+b2,ab显然成立,故原不等式成立.9.【解析】选A.|x-y|=|(x-1)-(y-1)|x-1|+|y-1|=1.是|x-y|1的充分条件,取则有|x-y|=1,但|y-1|=不满足|y-1|,不是|x-y|0,a2+22a恒成立.(a2+b2)-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)20,(当且仅当a=1,b=-1时等号成立)a2+b22(a-b-1)不恒成立.(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2d2+b2c2-2abcd=(ad-bc)20,(a2+

8、b2)(c2+d2)(ac+bd)2不恒成立.11.【解析】选B.a0,b0,由(a+b) 2+2=4,知A恒成立;知D恒成立.a2+b2+22()2+2=+2,知C恒成立.12.【解析】M-N=x2+y2-6x+2y+10=(x-3)2+(y+1)2又x3或y-1,M-N=(x-3)2+(y+1)20,即MN.答案:MN【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较法.2.作商比较法(1)

9、作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时,常用作商比较法.(3)利用作商比较法时,要注意分母的符号.13.【解析】由等比数列的性质得a2a9=a4a7,由已知a20,a90,a2a9,P=.答案:PQ14.【解析】当n=1时,A=1,当n1时,A=1+综上可知,A.答案:A15.【解析】ab0,a,b同号,|a+b|=|a|+|b|,和正确.答案:16.【解析】(1)因为x是正数,由基本不等式知,x+12,1+x22x,x3+12,故(x+1)(x2+1)(x3+1)22x2=8x3(当x=1时等号成立).(2)若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3仍然成立.由(1)知,当x0时,不等式成立;当x0时,8x30.而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1) 2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)0,此时不等式仍然成立.- 9 -