河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学试题 理（扫描版）新人教A版.doc

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1、 河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学理试题（扫描版）新人教A版 商丘市2015年 高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） DAAC DDBB CDAB二、填空题（每小题5分，共20分） （13）； （14）； （15）； （16）.三、解答题（共70分）（17）解：（）法一：设正项等差数列的首项为，公差为，则2分得 4分. 6分法二：是等差数列且，又 2分， 3分, 4分. 6分（），且，.当时，8分当时，满足上式，. 9分. 10分 .12分（18）解：（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件. 1分而小球落入袋

2、中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故, 3分从而.4分（）显然，随机变量的所有可能取值为.5分且.6分故， ， ，. 则的分布列为010分故的数学期望为. 12分（19）解：（）证明：取的中点，连接 ，.1分 又四边形是菱形，且， 是等边三角形，.2分 又 ，又，.4分 （）由，易求得， ，.5分 以为坐标原点，以，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系， 则， ，.6分 设平面的一个法向量为，则， .8分 设平面的一个法向量为，则， . 10分 ， 二面角为钝角，二面角的余弦值为.12分（20）解：（）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， 圆心到直线的距离（*

3、）1分椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，,， 代入（*）式得， ， 故所求椭圆方程为 4分（）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：， ，. 设,，则， 6分由， 当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 7分当，得. 8分将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，10分所以， 11分综上可得. 12分（21）解：（）当时，则，1分令，得或；令，得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 4分（）由题意，（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.6分（2）当时，令，有， 当时，函数在上单调递增，显然符合题

4、意.7分 当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. 9分 当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得，令，因为恒成立，故恒有，所以时，式恒成立， 综上，实数的取值范围是. 12分（22）解：（）与相切于点， . 2分 又， ， . 5分 （）四边形内接于， ， 6分 又， . 8分 ，即，. 10分（23）解：（），,3分，即.5分（）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为，所以，曲线上的点到直线的距离.10分 解法二：曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,所以，最大距离为.10分（24）解：（）不等式可化为， 1分 ，即, 2分 其解集为， ，. 5分（）由（）知， （方法一：利用基本不等式） ， ，当且仅当时，取最小值为.10分. （方法二：利用柯西不等式） ， ，当且仅当时，取最小值为.10分（方法三：消元法求二次函数的最值），当且仅当时，取最小值为.10分- 14 -