【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业 新人教A版选修4-5.doc

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1、【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业 新人教A版选修4-51.已知a1,求证: 2.已知x,y,z均为正数,求证:3.已知a2,求证:loga(a-1)0),其中r为有理数,且0r0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.6.已知a,b,c0,且互不相等,abc=1,证明7.已知ab0,求证: 8.(2013无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数.求证:9.已知a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c.若a+c=0,f(x)在-1,1上最大值为2,最小值为-,求证:a0且|Tn.答案解析1.【证明】方法一:a1,a-

2、10,且a-1a+1,0,2,a-11.loga(a-1)0,log(a+1)a0.由于=loga(a-1)loga(a+1)2,0loga(a2-1)logaa2=2,22=1,即0,loga(a-1)log(a+1)a.4.【解析】(1)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(2)由(1)知,当x(0,+)时,有f(x)f(1)=0,即xrrx+(1-r).若a1,a2中至少有一个为0,则a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,

3、又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是在中令x=,r=b1,可得b1+(1-b1),即a1b1+a2(1-b1),亦即a1b1+a2b2.综上,对a10,a20,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有a1b1+a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为:设a1,a2,an为非负实数,b1,b2,bn为正有理数.若b1+b2+bn=1,则a1b1+a2b2+anbn.用数学归纳法证明如下:()当n=1时,b1=1,有a1a1,成立.()假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1+b2+bk=1,则a1b1+a2b2+akbk.当n=k+1时,已

4、知a1,a2,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+bk+bk+1=1,此时0bk+10,于是=()=因由归纳假设可得a1+a2+ak=,从而又因(1-bk+1)+bk+1=1,由得(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,成立,由()()可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明:(3)中如果推广中指出式对n2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.5.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为ab0,故a-b0

5、,3a2-2b22a2-2b2=2(a+b)(a-b)0,所以(3a2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2.6.【证明】方法一:a,b,c0,且互不相等,abc=1.即方法二:以上三式相加,得又a,b,c互不相等,等号不成立,即7.【证明】要证原不等式组成立,只需证a+b-即证只需证即证即1,只需证1b0,1lga+lgb+lgc,只需证:lg()lg(abc),只需证:abc.abc0成立.a,b,c为不全相等的正数,上式中等号不成立.原不等式成立.方法二:a,b,c正实数,又a,b,c为不全相等的实数,abc,lg()lg(abc),即lga+lgb+lgc.9.【证明】由a+c=0得c=-a,f(x)=ax2+bx-a.假设a=0或|2.(1)由a=0,得f(x)=bx,依题意知b0,又f(x)在-1,1上是单调函数,f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|.于是|b|=2,-|b|=-,显然矛盾,故a0.(2)由|2,得|-|1且a0,因f(x)在-1,1上单调,故其最大值为|b|,最小值为-|b|,由(1)知这是不可能的,所以|2不成立.综合(1)(2)可知,假设不成立,故a0且|Tn.方法二:Tn+1-Tn=2n+1=0.Tn+1Tn.- 7 -