高中数学4.1坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系同步测控苏教版选修4_4.doc

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1、4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控我夯基，我达标1.设点M的直角坐标为（-1，3），则它的柱坐标是（ ）A.（2，3） B.（2，3） C.（2，3） D.（2，3）解析：=2，=，z=3,M的柱坐标为（2，3）.答案：C2.设点M的直角坐标为（-1，-1，），则它的球坐标为（ ）A.（2，） B.（2，）C.（2，） D.（2，）解析：由坐标变换公式，得r=2,cos=,=.tan=-=1,=.M的球坐标为（2，）.答案：B3.已知点M的球坐标为（4，），则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案：（-2，2，2）（2，2）.4.设点M的柱坐标为

2、（2，7），则它的直角坐标为_.解析：=2,=,z=7,x=cos=2cos=,y=sin=2sin=1.点M的直角坐标为（，1，7）.答案：（，1，7）5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程=表示空间的_.解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥面6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45，70），点B的坐标为（R，45，160），求A、B两点的球面距离.思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到AOB中去分析，只要求得AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离.解：如图，由点A、B的球坐标可知，

3、BOO=45，AOO=45，这两个点都在北纬90-45=45圈上.设纬度圈的圆心为O，地球中心为O，则xOQ=70,xOH=160，AOB=160-70=90.OB=R，OB=OA=R.AB=R.则AO=BO=AB=R.AOB=60.=2R=R.即A、B两点间的球面距离为R.我综合，我发展7.已知点P的柱坐标为（，5），点B的球坐标为（，），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（ ）A.P点（5，1，1），B点（，）B.P点（1，1，5），B点（，）C.P点（，），B点（1，1，5）D.P点（1，1，5），B点（，）解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记

4、住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),则x=sincos=,y=sinsin=,z=cos=.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,).选B.答案：B8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A1（4，0，5），C1（6，5），则此长方体外接球的体积为_.解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标A1(4,0,5),C1(

5、6,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5.则对角线长为.那么球的体积为()3=.答案：9.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan，A）、B（25，-arctan,B）,求出这两个截面间的距离.思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在RtAOO1和RtBOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.解：由已知,OA=OB=25,AOO1=arctan,BOO1=-arctan,即在AOO1中,tanAOO1=；在BOO2中,BOO2=arctan,tanBOO2=.OA=25,OO1=7；又OB=25,O

6、O2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即两个截面间的距离O1O2为27.10.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，）、B（R，），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？思路分析：我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,),B(R,),可知AOO1=BOO1=.又xOC=,xOD=,COD=-=.AO1B=COD=.在RtOO1B中,O1O

7、B=,OB=R,O1B=R.同理，O1A=R.AO1B=,AB=R.在AOB中,AB=OB=OA=R,AOB=.则经过A,B两地的球面距离为R.即走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为R.我创新，我超越11.结晶体的基本单位称为晶胞，图（1）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，如图（2），建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.思路分析：在空间直角坐标系中,我们需要找点的x,y,z；在柱坐标系中,需要找到,z；在球坐标系中,需要找到r,.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下

8、层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,0),(,),(1,),(,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,0),(1,0),(,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,0),(arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,0),(,arctan,),(,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,1),(1,1),(,1).6