高中数学第二章函数第2节对函数的进一步认识第2课时基础知识素材北师大版必修1.doc

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1、2.2 函数的表示法1掌握函数的三种表示方法，会选择适当的方法表示函数2掌握求函数解析式的一般方法3了解简单的分段函数，并能简单应用1函数的表示法(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是_取的值，第二行是对应的_，这种用_的形式表示两个变量之间_的方法，称为列表法 列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系(2)图像法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为_，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数yf(x)的图像，这种用_把两个变量间的_表示出来的方法，称为图像法 图像法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋

2、势，比如心电图等(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的_(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法 解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示【做一做1】 已知函数f(x1)3x2，则f(x)的解析式是( )Af(x)3x2 Bf(x)3x1Cf(x)3x1 Df(x)3x42分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的_的函数 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的

3、并集生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系【做一做2】 函数f(x)则f 的值为( )A. B1 C. D2答案：1(1)自变量函数值表格函数关系(2)纵坐标图像函数关系(3)解析表达式【做一做1】 C设x1t，则xt1，则f(t)3(t1)23t1，则f(x)3x1.2对应关系【做一做2】 A 如何画分段函数的图像？剖析：画分段函数的图像要先分析分段函数的定义域，遵循定义域优先的原则例如：画函数y的图像步骤：画整个二次函数y(x1)2的图像，再取其在区间(，0上的图像，其他

4、部分删去不要；画一次函数yx的图像，再取其在区间(0，)上的图像，其他部分删去不要；这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像，如图所示由此可得，画分段函数y(D1，D2，两两交集是空集)的图像的步骤是：画整个函数yf1(x)的图像，再取其在区间D1上的图像，其他部分删去不要；画整个函数yf2(x)的图像，再取其在区间D2上的图像，其他部分删去不要；依次画下去；将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像题型一 求函数的解析式【例1】 已知f(x)是一次函数，且ff(x)9x4，求f(x)的解析式分析：解答本题可利用待定系数法，设f(x)kxb(k0)，再根据题设条件列方程组求解待定系数k，b.反

5、思：本题以f(x)为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法【例2】 已知f(1)x2，求f(x)分析：本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用解答本题可在“x2”中配凑出“1”或将“1”整体换元来求解反思：换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式【例3】 已知2ff(x)x(x0)，求f(x)分析：已知x和互为倒数，故可在等式2ff(x)x中令x取的值，得到关于f(x)，f的另一个等式，把f(x)与f看成未知数

6、，通过解方程组求得f(x)反思：对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，解方程组得函数f(x)的解析式类似于解二元一次方程组，故称为方程组法题型二 分段函数【例4】 已知函数f(x) (1)画出函数的图像；(2)根据已知条件分别求f(1)，f(3)，ff(3)，fff(3)的值分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式(1)函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的函数关系，因而可利用常见函数的图像作图(2)根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值反思：分段函数

7、的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系对于分段函数，各个分段的“端点”要注意处理好题型三 函数的图像【例5】 作出下列函数的图像(1)y1x(xZ)； (2)y2x24x3(0x3)分析：(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响反思：1.图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图2作图像时，应标出某些关键点例如，图像的顶点、端点、与坐标

8、轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点题型四 应用问题【例6】 如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域分析：可由题意将长方体的高度和底面正方形的边长表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制反思：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义，如本题中单从解析式上看，使解析式有意义的xR，但问题的实际意义xa，且t，这就是实际问题对自变量的制约答案：【例1】 解：设f(x)kxb

9、(k0)，则ff(x)k(kxb)bk2xkbb9x4.解得k3，b1或k3，b2.f(x)3x1或f(x)3x2.【例2】 解：方法一(配凑法)：f(1)x2(1)21(11)，f(x)x21(x1)方法二(换元法)：令1t(t1)，则x(t1)2(t1)，f(t)(t1)22t21(t1)f(x)x21(x1)【例3】 解：f(x)2fx，令x取的值，得f2f(x).于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)(x0)【例4】 解：(1)分别画出yx2(x0)，y1(x0)，y0(x0)的图像，即得所求函数的图像如图所示(2)f(1)121，f(3)0，ff(3)f(0)1，fff(3)ff

10、(0)f(1)121.【例5】 解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y1x上(xZ，yZ)，这些点都为整数点，如图所示为函数图像的一部分 图 图(2)0x3，这个函数的图像是抛物线y2x24x3介于0x3之间的一段弧，且y2x24x32(x1)25，当x0时，y3；当x3时，y3，如图所示【例6】 解：依题意知，长方体铁盒高为x，底面正方形的边长为(2a2x)，则V(2a2x)2x4x(ax)2.a0，0x.铁盒容积V4x(ax)2，定义域为. 1 已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为( )x1234f(x)3241A1 B2 C3 D42函数f(x)的图像是( )3(

11、2011山东寿光高一期中)若f(x)，则方程f(4x)x的根是( )A. B C2 D24已知f(x1)x21，则f(x)_.5已知函数f(x)(1)求ff()的值；(2)若f(a)3，求a的值答案：1D2Cf(x)应选C.3Af(4x)x，4x14x2.4x24x10.x.4x22x2设x1t，则xt1，所以f(t)(t1)21，即f(x)(x1)21x22x2.5分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论解：(1)12，f()()23.而32，f f()f(3)236.(2)当a1时，f(a)a2，又f(a)3，a1(舍去)；当1a2时，f(a)a2，又f(a)3，a，其中舍去，a；当a2时，f(a)2a，又f(a)3，a(舍去)综上所述，a.6