2018_2019学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习新人教A版必修2.doc

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】 知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,4,5平行公理与等角定理2,8,13异面直线所成的角3,6,7,9,10,11,121.(2018陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条(C)(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥PABC中,PC与AB所成的角为70,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则FEG等于(D)(A)20(B)70(C)110(D)70或110解析:因为E,F,G分别为PA,PB,A

2、C的中点,所以EFAB,EGPC,所以FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70,所以FEG为70或110.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是(C)(A)30(B)45(C)60(D)120解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EMAD,FMBC,则EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰MEF中,过点M作MHEF于H,在RtMHE中,EM=1,EH=EF=,则sinEMH=,于是EMH=6

3、0,则EMF=2EMH=120.所以异面直线AD,BC所成的角为EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面,内,且=c,那么直线c一定(C)(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a与b异面,但ac,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若ac,bc,则ab,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(C)(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面

4、直线(D)AE与B1C1所成的角为60解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,ABC为正三角形,所以AEBC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BCDE,因此ABC是异面直线DE与AB所成的角,

5、又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故异面直线DE与AB所成的角为45.答案:457.如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1CC1,所以AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,AB1B=45.(2)连接B1C,易得EFB1C,所以AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则AB1C为正三角形,所以AB1C=60.答案:(1)45(2)608.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成

6、60的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60角,所以HGF=60或120.设AEAB=x,则=x.又BC=a,所以EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EFEHsin 60=axa(1-x)=a2(-x2+x)=a2-(x-)2+.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将ABC沿D

7、E,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为(B)(A)90(B)60(C)45(D)0解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJAD,HGDF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又ADF=60,所以HG与IJ所成的角为60.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知正确.ABCM,不正确.正确.MNCD.不正确.答案:11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1

8、的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MNAC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1.又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1AC,得到MNAC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B平面CC1D1D,C平面CC1D1D.所

9、以BC平面CC1D1D,这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又BEF中,EBF=45,所以BE与CG所成的角为45.(2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以AFH为等边三角形,又依题意知O为AH

10、的中点,所以HFO=30,即FO与BD所成的角是30.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且=,=.(1)若=,判断四边形EFGH的形状;(2)若,判断四边形EFGH的形状;(3)若=,且EGHF,求的值.解:(1)因为=,所以EHBD,且EH=BD. 又因为=.所以FGBD,且FG=BD. 又=,所以EHFG(公理4).因此=时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若,由,知EHFG,但EHFG,因此时,四边形EFGH为梯形.(3)因为=,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EGHF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.7