浅谈初中数学教学中分类讨论思想的渗透.doc

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1、浅谈初中数学教学中分类讨论思想的渗透四川省峨边民族中学孙容分类讨论思想是重要的数学思想方法之一，在我们的初中数学教材中，很多定义，概念，性质，定理及问题的解答都广泛涉及分类讨论思想。同时也是近些年中考数学命题的热点问题，突出考查学生思维的严谨性和周密性，对学生分析问题和解决问题的能力要求都很高。这就要求我们教师在平时的教学中充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法，结合教学目标，按照学生认知发展规律，有目的、有意识地渗透分类讨论思想，让学生经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程，培养学生全面观察问题、灵活处理问题的能力，从而培养学生形成良好的数学思维。下面结合一些例题的解答谈

2、谈自己粗浅的看法：例 1、已知|a|=|b|,则（）A.a=bB.a=bC.a=bD.以上答案都不对此题考查学生对绝对值概念的理解与掌握，绝对值的概念本身就包含了分类的思想，所以当遇到绝对值符号里面有字母参与运算时，就要注意是否需要分类讨论。例 2、已知 a(a-3)=1，则 a=_。此题考查学生对幂指数的认识与掌握，要使得一个底数和指数都含有字母的指数幂等于 1，需要从它底数的特殊取值和指数的特殊取值两个方面来考虑。当底数 a 的值等于1 时，指数（a-3）都为偶数，则 a(a-3)=1;当指数（a-3）=0 时，底数 a=30，则 a(a-3)=1。综上可知，a 的值为1 或 3。例 3、

3、已知 A、B、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M 为线段 AB的中点，线段 BC=3cm，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长。此题结合线段中点的概念考查学生线段和差的计算，解答此题需要分点 C在线段 AB 上和点 C 在线段 AB 的延长线上两种情况进行讨论。做完后还可引导学生思考，若 AB=2cm 呢？再继续若 AB=m,BC=n 呢？例 4、已知 x,y 是直角三角形两边的长，且满足|x2-4|+|y2-5y+6|=0，则第三边长为_。此题中直角三角形的直角边和斜边不明确，需要分类讨论。由题意可知 x=2,y=2;或 x=2,y=3,所以分当两直角边为 2,

4、2 时；当两直角边为 2,3 时；当一直角边为 2，斜边为 3 时三种情况进行讨论，求第三边长。例 5、在ABC 中，B=25，AD 是 BC 边上的高，并且 AD2=BDBC，求BCA的度数。因未指明三角形的形状，故需分类讨论。当ABC 的高在形内时，由 AD2=BDBC 得ABDCAD，进而可以证明ABC 为直角三角形。由 B25，可知BAD65。所以BCABAD65。当高 AD 在形外时，ABC 为钝角三角形，由 AD2=BDBC 得ABDCAD 所以BCAD25BCACADADC2590115。三角形的高线因三角形的形状不同它所在的位置不同，所以在遇到和三角形的高线有关的问题时，要注意

5、三角形的形状是否确定。例 6、如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=2，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP=3一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点发发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边EFG，使EFG 和矩形 ABCD在射线 PA 的同侧设运动的时间为 t 秒（t0）（1）当等边EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）

6、在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使AOH 是等腰三角形？若存大，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由此题考查学生对相似三角形的判定与性质，根据实际问题列二次函数关系式，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识的综合掌握。问题 2 是中考中的动态热点问题，在动态问题中，随着点，线或图形的运动变化而产生的系列问题，几乎都和分类讨论思想有关。本题需按照等边EFG 和矩形 AB

7、CD 重叠部分的图形特点，分为 0t1，1t3，3t4，4t6 四种情况，分别写出函数关系式；当 0t1 时，S=2t+4；当 1t3 时，S=t2+3t+；当 3t4 时，S=4t+20；当 4t6 时，S=t212t+36问题 3 是寻求等腰三角形的存在性问题，在等腰三角形的相关问题中，当腰和底边不确定时，需要我们进行分类讨论。如：已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。已知等腰三角形的一个内角为 75，则其顶角为（）等。本题当AOH 是等腰三角形时，分为 AH=AO，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求 t 的值在 RtAB

8、C 中，tanCAB=，CAB=30，又HEO=60，HAE=AHE=30，AE=HE=3t 或 t3，1）当 AH=AO=3 时，（如图），过点 E 作 EMAH 于 M，则 AM=AH=，在 RtAME 中，cosMAE，即 cos30=，AE=，即 3t=或 t3=，t=3或 t=3+，2）当 HA=HO 时，（如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE，又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1，即 3t=1 或 t3=1，t=2 或 t=4；3）当 OH=OA 时，（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点 E 和点 O 重合，

9、AE=3，即 3t=3 或 t3=3，t=6（舍去）或 t=0；综上所述，存在 5 个这样的 t 值，使AOH 是等腰三角形，即 t=3或 t=3+或 t=2 或 t=2 或 t=0例 7、如图 11，已知抛物线过点 A（0，6），B（2，0），C（7，52）.（1）求抛物线的解析式；（2）若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点，F 与 E关于 D 对称，求证：CFE=AFE；（3）在 y 轴上是否存在这样的点 P，使AFP 与FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点 P 的坐标；若没有，请说明理由.本题综合考查待定系数法求函数解析式，三角形的全等，相似等知识。在三角

10、形的相似问题中，如果对应的角或边不确定，需分类讨论。对本题问题 3 的解答：有问题1，2 可知 C 的坐标为（7，52），F 坐标为（4，8）2253 5387422CF 又 A 的 坐 标 为（0，6），则226842 53FA，又 DF=6，若AFPDEFEFAO，则有PAF=AFE，又由（2）可知DFC=AFEPAF=DFC若AFP1FCD则1PAAFDFCF,即12 5363 532PA,解得 P1A=8.O P1=86=2P1 的坐标为（0，2）.OABE图 11DFCxNM若AFP2FDC则2P AAFCFDF,即22 5363 532P A,解得 P2A=532.O P2=532

11、6=412.P2 的坐标为（0，412）.所以符合条件的点 P 的坐标有两个，分别是 P1（0，2），P2（0，412）.分类讨论思想在代数中，主要是一些字母的取值不确定需要分类讨论，在几何中主要是一些点和图形的位置不确定需要分类讨论。通过分类讨论的，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。学生在平时的练习或考试中，要正确地解答数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路。在解题的过程中，如何让学生学会运用分类讨论的数学思想，是教学的一个很重要的任务，以上这些题目都能很好地体现分类思想，在平时的训练中，要有意识地组织学生进行必要的解题训练，设计这类具有探索性的范例进行教学，通过解题和反思活动，从具体数学问题和范例中总结、归纳解题方法，挖掘隐含在教学内容中的分类讨论的数学思想。在学生对题目进行分析和思考的数学思维活动中，引导学生悟出思想方法，养成良好的数学学习习惯。