角平分线的性质（第1课时）教学设计.docx

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1、角平分线的性质（第1课时）教学设计角的平分线的性质（第2课时）导学设计 角的平分线的性质（第2课时）导学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 角的平分线的性质定理的逆定理 （二）内容解析 本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上，进一步探讨角平分线性质定理的逆命题是否正确 教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在马路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在马路和铁路夹角的平分线上教科书没有干脆给出答案，而是从另一个角度引导，将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍旧成立？这就引出了“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”

2、接着让学生利用三角形全等证明这个结论 本节课学习的内容是全等三角形学问的运用和持续，是今后学习圆的内心的基础 基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理 二、目标和目标解析 （一）目标 1探究并证明角平分线性质定理的逆定理 2会用角平分线性质定理的逆定理解决问题 （二）目标解析 达成目标1的标记是：学生能精确表述角平分线性质定理的逆定理的内容能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“HL”判定方法和三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理 达成目标2的标记是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明与角相等的有关简洁问题 三、教学问题诊断分析 本节课的学习中，学生在分清角的平

3、分线的判定的条件和结论，并进行严格的逻辑证明过程中经常感到困难例如，在用符号语言表述判定条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”其主要缘由是角的平分线的判定是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有肯定的隐藏性教学时，老师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证 基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理 四、教学过程设计 （一）引言 上节课我们已经学习了角的平分线的性质，假如把它的题设和结论调换位置，得到的命题还是真命题吗？ 【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理 （二）探究角平分线的判定定理 问题1写出角的平分线的性质的逆命题 师生活动：老师提

4、出问题，学生独立思索 追问1：上述逆命题成立吗？你能证明这个结论的正确性吗？ 已知：如图，QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上 证明：QDOA，QEOB， QDO和QEO都是直角 在RtQDO和RtQEO中， RtQDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上 师生活动：老师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，假如学生感到困难，可以让学生将命题写成“假如那么”的形式，最终让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 用几何语言表示为： QDOA，

5、QEOB，QDQE， 点Q在AOB的平分线上 师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理 让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合 （1）角平分线上随意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性） （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性） 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合 问题2比较分析角平分线的性质和判定，填写下表： 角平分线的性质角平分线的判定图形已知结论 师生活动：学生独立完成表格，老师点评补充 【设计意图】让学生通过视察、猜想、推理证明角平分线的判定

6、定理，体会探讨几何问题的基本思路通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生体会类比的思想反思判定，可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷 （三）巩固应用 1如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条高速马路的距离相等，离两条马路交叉处500m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000） 分析：依据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点P在两条马路形成的夹角的平分线上，设马路的交点为点O，计算可知OP=2.5cm 2如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P 求证：点P到三边AB、BC、C

7、A的距离相等 分析：由题中条件可知，本题可以采纳角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段 证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F， BM是ABC的角平分线且点P在BM上， PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理PFPE PD=PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 追问：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ PD=PF，PDAB，PFAC， 点P在A的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上） 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 3如图，已知ABC的外角CBD和BCE的

8、平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 分析：由题中条件可知，本题可以采纳角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点F到三边的垂线段 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M， 点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC， FGFM 又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC， FMFH FGFH 点F在DAE的平分线上 师生活动：学生独立思索，然后小组沟通，派代表回答，老师适时点拔，并板演证明过程此时老师主要关注学生是否能够想到如何构造协助线，并精确地描述协助线的作法 【设计意图】通过训练，提高学生运用角的平分线的性质和判定解决问题的实力，培育学生的推理实力 （四）小

9、结与反思 1角平分线的性质定理和判定定理有什么区分和联系？ 2应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做协助线？ 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，建立学问之间的联系 （五）课后作业 教科书第50页练习第1、2题 五、目标检测设计 1如图，在ABC中，A=90，C=50，点D在AC上，AD=2cm，DEBC于E，且DE=2cm，则ABD= 2平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点有（） A4个B3个C2个D1个 3如图，已知BE平分ABC，CE平分ACD交BE于点E，求证：AE平分FAC 角平分线的性质 教学目标1.了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。2.经验操作，推理等活

10、动，探究角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思索和表达。 教材分析重点：角平分线性质的探究。难点：角平分线性质的应用。 教学方法：预学-探究-精导-提升 教学过程一创设问题情境，预学角平分线的性质阅读课本P128-P129，并完成预学检测。 二合作探究如图，OC为AOB的角平分线,P为OC上随意一点。提问：1.如何画出AOB的平分线？2.若点P到角两边的距离分别为PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能说明为什么吗？让学生活动起来，通过测量，比较，得出结论。老师激励学生大胆揣测，确定它们的发觉。 归纳：角平分线上随意一点到角两边的距离相等。 三想一想，巩固角平分线的

11、性质三条马路两两相交，为更好的使马路得到维护，确定在三角区建立一个马路维护站，那么这个维护站应当建在哪里？才能使维护站到三条马路的距离都相等？三做一做，拓展课题如图，P为ABC的外角平分线上一点，且PEAB,PDAC，E,D分别是垂足，摸索索BE与PB+PD的大小关系。让学生充分探讨，激励学生自主完成。老师归纳：因为射线AP是ABC的外角CAE平分线，所以PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）所以PB+PD=PB+PE又PB+PEBE（三角形两边之和大于第三边）所以PB+PDBE 思索：若CP也平分ABC中的ACB的外角，则射线BP有怎样的性质？点P又有怎样的位置？ 四课堂练习课本P1

12、30练习 五小结本节课学习了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，反过来，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 六作业1.课本P130习题A组T1,T22.基础训练同步练习。3.选作拓展题。 七课后反思：新旧教法对比：新教法更有利于培育学生合作学习的实力。学生对于角平分线的性质可以倒背如流，但就是简单把到角两边的距离看错，在以后的教学中要多加强对距离的相识。 学案学习目标：1了解角平分线的性质。2并运用角平分线的性质解决一些实际问题。 预学检测：1角平分线上随意一点到相等。2如图，已知1=2，DEAB，DF

13、AC，垂足分别为E、F，则DE_DF已知DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则1_2 学点训练：1如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D下列结论中错误的是()APC=PDBOC=ODCCPO=DPODOC=PC2如图，ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC=10cm，则DBE的周长等于()A10cmB8cmC6cmD9cm巩固练习：已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC求证：BC=AB+AD 拓展提升：如图，P为ABC的外角平分线上一点，且PEAB,PDAC，E,D分别是垂足，摸索索BE与PB+PD的

14、大小关系。 角的平分线的性质 12.3角的平分线的性质 1角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点P在AOB的角平分线上，PDOA，PEOB，PDPE.谈重点角平分线的性质的理解和应用(1)运用角的平分线的性质有两个条件：点在角的平分线上；过这一点作角的两边的垂线段结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等(3)假如已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等【例1】如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D.若CD

15、2cm，则点D到直线AB的距离是_cm.解析：因为点D在ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长答案：22角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示，PDOA，PEOB，PDPE，点P在AOB的角平分线上(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要缘由是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，肯定要留意“距离”必需有垂

16、直的条件【例2】如图所示，BECF，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分BAC.证明：BFAC，ABCE，DEBDFC90.在BDE和CDF中，DEBDFC，BDECDF，BECF，BDECDF(AAS)DEDF.又BFAC，ABCE，AD平分BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)3运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中经常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，肯定要把实际问题

17、中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，经常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，假如出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后依据已知某点到角两边的距离相等，则经常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能依据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的

18、性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，依据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可【例3】如图，某考古队为进行探讨，找寻一座古城遗址依据资料记载，该城在森林旁边，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m依据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址

19、你能运用学过的学问在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试(比例尺为1100000)解：如图作法：(1)以点C为圆心，以随意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.(2)按比例尺计算得古塔与P的图上距离为3cm，以古塔为圆心，以3cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求【例4】如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处此时，这位民警发觉有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在凝视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？解：连接PA，PB.点P到BE，AF，

20、AB的距离相等，PA，PB分别是FAB，EBA的角平分线，即PBA12EBA，PAB12FAB.BEAF，EBAFAB180.PBAPAB12(EBAFAB)90.APB180(PBAPAB)1809090，即民警的视线转过的角度为90.【例5】如图，AP，CP分别是ABC的外角MAC与NCA的平分线，它们相交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F，求证：BP为MBN的平分线分析：要证BP为MBN的平分线，只需证PDPF，而AP，CP为外角平分线，故可过点P作PEAC于点E，依据角平分线的性质有PDPE，PFPE，所以PFPD.因此BP为MBN的平分线证明：过点P作PEAC于点E.AP，CP分

21、别是MAC与NCA的平分线，PDBM于点D，PFBN于点F，PDPE，PFPE(角平分线上的点到角两边的距离相等)PDPF.又PDBM于点D，PFBN于点F，点P在MBN的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)BP为MBN的平分线6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，经常用到角的平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是找寻角的平分线的一种比较简洁的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要

22、作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线肯定过此交点三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个【例6】如下图所示，三条马路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现安排修建一个商品超市，要求这个超市到三条马路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；ACB，ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在CAB的平分线上，且到马路l1，l2，l3的距离相等；同理还有BAC，BCA的外角平分线的交点；BAC，CBA的外角平分线的交点，因此满意条件的点共有4个作法：(1)如右图所示，作出ABC两内角BAC，ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出ACB，ABC的外角平分线的交点O2，BAC，BCA的外角平分线的交点O3，BAC，CBA的外角平分线的交点O4；故满意条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页