2012年四川省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

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1、2012年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2012四川）设集合A=a，b，B=b，c，d，则AB=（）AbBb，c，dCa，c，dDa，b，c，d考点：并集及其运算菁优网版权全部专题：计算题分析：由题意，集合A=a，b，B=b，c，d，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项解答：解：由题意A=a，b，B=b，c，d，AB=a，b，c，d故选D点评：本题考查并集及其运算，是集合中的基本计算题，解题的关键是理解并能娴熟进行求并的计算2（5分）（2012四川）（1+x）7的绽开式中x2的系数是（）A21B

2、28C35D42考点：二项式定理菁优网版权全部专题：计算题分析：由题设，二项式（1+x）7，依据二项式定理知，x2项是绽开式的第三项，由此得绽开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式（1+x）7的绽开式中x2的系数是=21故选A点评：本题考查二项式定理的通项，娴熟把握二项式的性质是解题的关键3（5分）（2012四川）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的

3、总人数N为（）A101B808C1212D2012考点：分层抽样方法菁优网版权全部专题：计算题分析：依据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数解答：解：甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B点评：本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最常常消失的一个抽样问题，这种题目一般消失在选择或填空中，属于基础题4（5分）（2012四川）函数y=axa（a0，a1）的图象可能是（）ABCD考点：指数函数的图像变换菁优

4、网版权全部专题：函数的性质及应用分析：通过图象经过定点（1，0），排解不符合条件的选项，从而得出结论解答：解：由于当x=1时，y=0，即函数y=axa 的图象过点（1，0），故排解A、B、D故选C点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排解不符合条件的选项，是一种简洁有效的方法，属于中档题5（5分）（2012四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sinCED=（）ABCD考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义菁优网版权全部专题：三角函数的图像与性质分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角

5、关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦解答：解：法一：利用余弦定理在CED中，依据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cosCED=，sinCED=故选B法二：在CED中，依据图形可求得ED=，CE=，CDE=135，由正弦定理得，即故选B点评：本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要留意总结做题的规律6（5分）（2012四川）下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个

6、平面平行考点：命题的真假推断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权全部专题：简易规律分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排解A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排解B；利用线面平行的判定定理和性质定理可推断C正确；利用面面垂直的性质可排解D解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面=a，l，l，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线bl，在平面内存在直线cl，所以由平行公理知bc，从而由线面平行的判定定理可证明b，进而由线面平行的性

7、质定理证明得ba，从而la，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排解D故选C点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象力量，属基础题7（5分）（2012四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A且BCD考点：充分条件；平行向量与共线向量菁优网版权全部专题：简易规律分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：与共线且同向且0，A选项和C选项中和可能反向，B选项不符合0故选D点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必

8、要性，属基础题8（5分）（2012四川）若变量x，y满意约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A12B26C28D33考点：简洁线性规划菁优网版权全部专题：计算题分析：先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值解答：解：作出约束条件，所示的平面区域，作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大由可得C（4，4），此时z=28故选C点评：本题主要考查了线性规划的简洁应用，解题的关键是，明确目标函数的几何意义9（5分）（2012四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，

9、并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D考点：抛物线的简洁性质菁优网版权全部专题：计算题分析：关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xM（2，y0）|OM|=故选B点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程10（5分）（2012四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O

10、作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满意BOP=60，则A、P两点间的球面距离为（）ABCD考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算菁优网版权全部专题：计算题分析：由题意求出AP的距离，然后求出AOP，即可求解A、P两点间的球面距离解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，所以CD平面AOB，由于BOP=60，所以OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE=

11、，AP=，AP2=OP2+OA22OPOAcosAOP，cosAOP=，AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为，故选A点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算力量以及空间想象力量11（5分）（2012四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在全部这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A28条B32条C36条D48条考点：排列、组合及简洁计数问题；抛物线的标准方程菁优网版权全部专题：计算题；压轴题分析：方程变形得，若表示抛物线，则a0，b0，然后进行排列解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a0，b0，先排a，b，有种

12、，c有种，所以表示抛物线的曲线共有，又由于当b=2时，b2都等于4，所以重复的抛物线有种，所以不同的抛物线有=32条故选B点评：此题难度很大，若采纳排列组合公式计算，很简洁忽视重复的9条抛物线列举法是解决排列、组合、概率等特别有效的方法，要能娴熟运用12（5分）（2012四川）设函数f（x）=（x3）3+x1，an是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a7）=14，则a1+a2+a7=（）A0B7C14D21考点：数列与函数的综合菁优网版权全部专题：计算题；压轴题分析：依据f（x）=（x3）3+x1，可得f（x）2=（x3）3+x3，构造函数g（x）=f（x）2，从而g（x）关于

13、（3，0）对称，利用f（a1）+f（a2）+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+g（a7）=0，从而g（a4）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2+a7的值解答：解：f（x）=（x3）3+x1，f（x）2=（x3）3+x3，令g（x）=f（x）2g（x）关于（3，0）对称f（a1）+f（a2）+f（a7）=14f（a1）2+f（a2）2+f（a7）2=0g（a1）+g（a2）+g（a7）=0g（a4）为g（x）与x轴的交点由于g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3a1+a2+a7=7a4=21，故选D点评：本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，需要肯定的

14、基本功二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分把答案填在答题纸的相应位置上）13（4分）（2012四川）函数的定义域是（，）（用区间表示）考点：函数的定义域及其求法菁优网版权全部专题：计算题分析：结合函数的表达式可得不等式12x0的解集即为所求解答：解：12x0x函数的定义域为（，）故答案为（，）点评：本题主要考查了依据函数的解析式求函数的定义域，属常考题，较易解题的关键是依据函数的解析式得出12x0的解集即为所求！14（4分）（2012四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90考点：异面直线及其所成的角

15、菁优网版权全部专题：计算题分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即A1MDN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90，故答案为：90点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采纳了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要留意有关点，向量坐标的精确否则简洁由于计算失误而出错15（4分）（2012四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于

16、点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是考点：椭圆的简洁性质菁优网版权全部专题：计算题；压轴题分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率解答：解：设椭圆的右焦点E如图：由椭圆的定义得：FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当AB过点E时取等号；FAB的周长：AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；FAB的周长的最大值是4a=12a=3；e=故答案：点评：本题主要考察椭圆的简洁性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，

17、圆锥曲线的定义往往是解题的突破口16（4分）（2012四川）设a，b为正实数，现有下列命题：若a2b2=1，则ab1；若，则ab1；若，则|ab|1；若|a3b3|=1，则|ab|1其中的真命题有（写出全部真命题的编号）考点：命题的真假推断与应用菁优网版权全部专题：简易规律分析：将a2b2=1，分解变形为（a+1）（a1）=b2，即可证明a1b，即ab1；可通过举反例的方法证明其错误性；若ab，去掉肯定值，将a3b3=1分解变形为（a1）（a2+1+a）=b3，即可证明ab1，同理当ab时也可证明ba1，从而命题正确解答：解：若a2b2=1，则a21=b2，即（a+1）（a1）=b2，a+1a

18、1，a1ba+1，即ab1，正确；若，可取a=7，b=，则ab1，错误；若，则可取a=9，b=4，而|ab|=51，错误；由|a3b3|=1，若ab0，则a3b3=1，即a31=b3，即（a1）（a2+1+a）=b3，a2+1+ab2，a1b，即ab1若0ab，则b3a3=1，即b31=a3，即（b1）（b2+1+b）=a3，b2+1+ba2，b1a，即ba1|ab|1，正确故答案为点评：本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理力量，有肯定难度，属中档题三、解答题（本大题共6个小题，共74分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17

19、（12分）（2012四川）某居民小区有两个相互独立的平安防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；互斥大事的概率加法公式；相互独立大事的概率乘法公式菁优网版权全部专题：概率与统计分析：（）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立大事的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（）利用相互独立大事的概率公式，即可求得结论解答：解：（）设“至少有一个系统不发生故障”为大事C，则

20、；（）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为大事D，那么P（D）=点评：本题主要考查相互独立大事、独立重复试验、互斥大事的概念与计算，考查运用概率学问与方法解决实际问题的力量18（12分）（2012四川）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和值域；（）若，求sin2的值考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法菁优网版权全部专题：三角函数的图像与性质分析：（）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；（）由可求得cos（+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2的值解答：解：（）由已知，f（x）=

21、sincos=（1+cosx）sinx=cos（x+）函数f（x）的最小正周期为2，值域为，（）由（）知，f（）=cos（+）=，cos（+）=，sin2=cos（+2）=cos2（+）=12=1=点评：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础学问，考查运算力量，考查化归与转化等数学思想，属于中档题19（12分）（2012四川）如图，在三棱锥PABC中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上（）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（）求二面角BAPC的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法菁优网版权全

22、部专题：综合题分析：解法一（）连接OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成的角设AB中点为D，连接PD，CD不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4在RTOCP中求解（）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解解法二（）设AB中点为D，连接CD以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz利用与平面ABC的一个法向量夹角求解（）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解解答：解法一（）连接OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成的角 设AB中点为D，连接PD，CD由于AB

23、=BC=CA，所以CDAB，由于APB=90，PAB=60，所以PAD为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4所以CD=2，OC=在RTOCP中，tanOCP=故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（）由（）知，以O为原点，建立空间直角坐标系则=（1，0，），=（2，2，0）设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=，则y=1，z=1，所以=（，1，1）设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cos=故二面角BAPC的大小为arccos解法二：（）设AB中点为D，连接CD由于O在AB上，且O为P在平面A

24、BC内的射影，所以PO平面ABC，所以POAB，且POCD由于AB=BC=CA，所以CDAB，设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（1，2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin=故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（）由（）知，=（1，0，），=（2，2，0）设平面APC的一个法向量为

25、=（x，y，z），则由得出即，取x=，则y=1，z=1，所以=（，1，1）设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cos=故二面角BAPC的大小为arccos点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础学问，考查思维力量、空间想象力量，并考查应用向量学问解决数学问题力量20（12分）（2012四川）已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立（）求数列an的通项公式；（）设a10，=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和菁优网版权全部专题：计算题分析：（I）

26、由题意，n=1时，由已知可知a1（a12）=0，分类争论：由a1=0，及a10，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a10且=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，a1（a12）=0若取a1=0，则Sn=0，an=SnSn1=0an=0（n1）若a10，则，当n2时，2an=，两式相减可得，2an2an1=anan=2an1，从而可得数列an是等比数列an=a12n1=综上可得，当a1=0时，an=0，当a10时，（II）当a10且=100时，令由（I）可知bn是单调递减的等差数列，公差为lg2b1b2b6=0当n7时，数列的前6项和最大点评：本题主要考

27、查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了肯定的规律运算与推理的力量21（12分）（2012四川）如图，动点M与两定点A（1，0）、B（1，0）构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C（）求轨迹C的方程；（）设直线y=x+m（m0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|PR|，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权全部专题：综合题；压轴题分析：（）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（）直线y=x+m与4x2y24=0（x1）联

28、立，消元可得3x22mxm23=0，结合题设（m0）可知，m0且m1设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用，即可确定的取值范围解答：解：（）设M（x，y），则kMA=，kMB=直线MA、MB的斜率之积为4，4x2y24=0又x=1时，必有一个斜率不存在，故x1综上点M的轨迹方程为4x2y24=0（x1）（）直线y=x+m与4x2y24=0（x1）联立，消元可得3x22mxm24=0=16m2+480当1或1是方程的根时，m的值为1或1，结合题设（m0）可知，m0且m1设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），|PQ|PR|，xR=，xQ=，=m0且m1，且4，且的取值范围是（1，）（，

29、3）点评：本题以斜率为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维力量，运算力量，考查思维的严谨性22（14分）（2012四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求对全部n都有成立的a的最小值；（）当0a1时，比较与的大小，并说明理由考点：圆锥曲线的综合；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权全部专题：综合题；压轴题分析：（）依据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（）由（）知f（n）=an，则成立的充要条件是an2n+1，即

30、知，an2n+1对全部n成立，当a=3，n1时，an=3n=（1+2）n1+=2n+1，当n=0时，an=2n+1，由此可得a的最小值；（）由（）知f（k）=ak，证明当0x1时，即可证明：解答：解：（）抛物线与x轴正半轴相交于点A，A（）对求导得y=2x抛物线在点A处的切线方程为，f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，f（n）=an；（）由（）知f（n）=an，则成立的充要条件是an2n+1即知，an2n+1对全部n成立，特殊的，取n=1得到a3当a=3，n1时，an=3n=（1+2）n1+=2n+1当n=0时，an=2n+1a=3时，对全部n都有成立a的最小值为3；（）由（）知f（k）=ak，下面证明：首先证明：当0x1时，设函数g（x）=6x（x2x）+1，0x1，则g（x）=18x（x）当0x时，g（x）0；当时，g（x）0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0当0x1时，g（x）0，由0a1知0ak1，因此，从而=6（a+a2+an）=点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题18