球的表面积与体积.docx

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1、球的表面积与体积几何体的表面积与体积 学案1集合的概念与运算一、课前打算：【自主梳理】1侧面积公式：，2体积公式：=，3球：，4简洁的组合体：正方体和球正方体的边长为，则其外接球的半径为正方体的边长为，则其内切球的半径为正四面体和球正四面的边长为，则其外接球的半径为【自我检测】1若一个球的体积为，则它的表面积为_2已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是3若圆锥的母线长为3cm，侧面绽开所得扇形圆心角为，则圆锥的体积为4在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径_5一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八

2、个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是6如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点动身，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路途的长为二、课堂活动：【例1】填空题：（1）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4cm和25cm，则(1)圆台的高为(2)截得此圆台的圆锥的母线长为（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.（3）三棱柱的一个侧面面积为，此侧面所对的棱与此面的距离为，则此棱柱的体积为（4）已知三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两相互垂直，OC1，OAx，OBy，若x+y=4，则已知三棱锥OABC体积的最大值是【例2】如图所示，在棱长为2的

3、正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积 【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=。（1）求棱锥P-ABCD的体积；（2）求点C到平面PBD的距离 课堂小结（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；（2）了解一些简洁组合体（如正方体和球，正四面体和球）；（3）几何体表面的最短距离问题-侧面绽开. 三、课后作业1一个球的外切正方体的全面积等于，则此球的体积为.2等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为3三个平面两两垂直，三条交线相交于，到三个

4、平面的距离分别为1、2、3，则=.4圆锥的全面积为，侧面绽开图的中心角为60，则该圆锥的体积为.5如图，三棱柱的全部棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是6如图，已知三棱锥ABCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且BAC30，M、N分别在棱AC和AD上，则BMMNNB的最小值为7如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，=2，则该多面体的体积为8已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，则高为9如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，平面，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若是的中点，求三棱锥的体积 10如图，矩形中，平面，为上的一点，且平面，求三棱锥的体积 四、纠错

5、分析错题卡题号错题缘由分析 一、课前打算：【自主梳理】12344【自我检测】112223456613二、课堂活动：【例1】填空题1（1）20（2）3（3）（4）【例2】（）连结，在中，、分别为，的中点，则（）（），且，.，即.=.【例3】解：（1）由知四边形ABCD为边长是2的正方形，,又PA平面ABCD，=.（2）设点C到平面PBD的距离为，PA平面ABCD，=.由条件，.由.得.点C到平面PBD的距离为.三、课后作业123：23456789（1）证明：，且平面，平面.（2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形.又，.在Rt中，.则，.又，.，平面.（3）是中点，到面的距离是到面距离

6、的一半.10解：连结可证三棱锥中，与底面垂直，所以所求体积为 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（2） 学习目标1.了解柱、锥、台的体积计算公式；2.能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习过程一、课前打算（预习教材P25P26，找出怀疑之处）复习1：多面体的表面积就是_加上_. 复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图分别是_、_、_；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_,_，_. 引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢

7、？ 二、新课导学探究新知新知：经过证明(有爱好的同学可以查阅祖暅原理) 柱体体积公式为：，（为底面积，为高）锥体体积公式为：，（为底面积，为高）台体体积公式为：（，分别为上、下底面面积，为高） 补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点究竟面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离. 反思：思索下列问题比较柱体和锥体的体积公式，你发觉什么结论？比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发觉三者之间的关系吗？ 典型例题例1如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，求三棱锥的体积. 变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积. 小结：求解锥体体积时,要留

8、意视察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来便利. 例2高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积. 变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积. 小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相像三角形的学问来解.动手试试练1.在中,若将绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积. 练2.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱

9、，求削去部分体积的最小值. 三、总结提升学习小结1.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上驾驭；2.求体积要留意顶点、底面、高的合理选择. 学问拓展祖暅及祖暅原理祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的宏大科学家.柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 学习评价自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原

10、来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍2.已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,，则它的体积为（）.A.B.C.D.43.各棱长均为的三棱锥中，随意一个顶点到其对应面的距离为（）.A.B.C.D.4.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为_.5.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为_. 课后作业1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14). 2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底

11、面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则= 1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积 小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔始终是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此雄伟的大金字塔，真是一个非常难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？ 要求：新课标对本节内容

12、要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简洁的应用即可. 一、【学习目标】 1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）， 提高学生的空间想象实力和几何直观实力，培育学生的应用意 识，增加学生学习数学的爱好； 2、驾驭简洁几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算实力， 培育学生转化、化归以及类比的实力. 【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习. 二、【自学内容和要求及自学过程】 1、阅读教材2325页内容，回答问题（柱、锥、台表面积） 1在

13、初中，我们已经学习了正方体和长方体 的表面积，以及它们的绽开图，你知道上述几何体的绽开图与其表面积的关系吗？ 2棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的绽开图是什么？如何计算它们的表面积？ 3如何依据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？ 4联系圆柱、圆锥的侧面绽开图，你能想象圆台侧面绽开图的形态，并且画出它吗？假如圆台的上、下底面半径分别是r,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？ 结论：1正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2棱柱的侧面绽开图是平行四边形

14、，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面绽开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面绽开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.3它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面绽开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积干脆应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面绽开图是矩形，圆锥的侧面绽开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面绽开图是一个矩形.假如圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为r2,侧面面积为2rl.因此，圆柱的表面积S=2r2+2rl=2r(r+l).圆锥的侧面绽开图是一个扇形.假如圆锥的底面半径

15、为r,母线长为l，那么它的表面积S=r2+rl=r(r+l).4圆台的侧面绽开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. 思索：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？ 练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则全部小正方体的表面积是. 【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导. 2、阅读教材第2527页内容，回答问题（柱、锥、台体积） 5回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一

16、成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？ 6比较柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)； V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)； V台体=h(S,S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发觉三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特别”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特别”形式？ 结论：5棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=r2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的

17、体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S+S)h,其中S，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.留意：不要求推导公式，也不要求记忆.6柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特别”的台体.当S=0时，台体的体积公式变为锥体的

18、体积公式;当S=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特别”形式. 柱体和锥体可以看作由台体改变得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很简单得出它们之间的体积关系,如图： 练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是；已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面

19、的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积；：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（依据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC.结果：1/6) 【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材实行了干脆给出的模式，老师不要过多的渗入推导，加重学生负担. 三、【作业】 1、必做题：教材第29页习题1.3A组第1、2、3题； 2、选做题：养路处建立圆锥形仓库用于存储食盐（供溶化高速马路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径

20、为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）. 四、【小结】 这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到娴熟的应用公式解题的目的. 五、【教学反思】 这节课原来是一课时的内容，但是上课时发觉一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，其次课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的

21、，不能为了完成课时任务而增加教学量. 对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题. 事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有刚好的制止，只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是依据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应当出现的，但是我不想损害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近非常钟的时间

22、，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔. 其实自己心里面觉得很难过，不想发火，但是还是发火了.

23、不找别人的缘由，先找找自己的缘由，我觉得恰当的处理应当是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的留意，并没有太大的恶意，而我却损害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没有什么恶意，但是我损害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要吸取教训，不能再犯. 以后，我要吸取这个教训，肯定不能损害学生的自尊心. 可以说，这一节课因为这一个发火，一节原来胜利的课，变成了失败的课. 很愧疚.高一数学教案：球的体积和表面积教学设计 高一数学教案：球的体积和表面积教学设计 一、教学目标 学问与技能 通过对球的体积和面积公式的推导，了解

24、推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割求和化为精确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学学问。 能运用球的面积和体积公式敏捷解决实际问题。 培育学生的空间思维实力和空间想象实力。 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式R3和面积公式R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了肯定的了解，提高了空间思维实力和空间想象实力，增加了我们探究问题和解决问题的信念。 二、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导

25、体积和面积公式中空间想象实力的形成。 三、学法和教学用具 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象实力，了解并初步驾驭“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 教学用具：投影仪 四、教学设计 创设情景 老师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样绽开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思索。 老师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 探究新知 1球的体积： 假如用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到许多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“

26、小圆片”近似于圆柱形态，所以它的体积也近似于圆柱形态，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割求和化为精确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割 如图：把半球的垂直于底面的半径作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3) 2球的表面积： 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不行展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍旧用“分割、求近似和，

27、再由近似和转化为精确和”方法推导。 思索：推导过程是以什么量作为等量变换的？ 半径为R的球的表面积为 R2 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元） 典例分析 课本P47 例4和P29例5 巩固深化、反馈矫正 正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。 （答案： ；3 ：1） 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积。 （答案：2500cm2） 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径 课堂小结 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为精确和”的解题方法。 评价设计 作业 P30 练习1、3 ，B（1） 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页