高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结.docx

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1、高三数学等差数列及其前n项和知识点总结等差数列的前n项和等差数列的前n项和教学目标1.把握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;(2)用方程思想熟识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式探讨的最值.2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟识问题,解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维

2、敏捷性与广袤性的练习,发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程,呈现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的好用性,引导学生要擅长视察生活,从生活中发觉问题,并数学地解决问题.教学建议(1)学问结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过详细的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.(2)重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图

3、运用这一方法解决一般状况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应依据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.高斯算法表现了大数学家的聪慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.(3)教法建议本节内容分为两课时,一节为公式推导及简洁应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.前项和公式的推导,建议由详细问题引入,使学生体会问题源于生活.强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思索方法与探讨方法.补充等差数列前项和的最大值、最小

4、值问题.用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.等差数列的前项和公式教学设计示例教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简洁的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.教学重点,难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪,多媒体软件,电脑.教学方法讲授法.教学过程一.新课引入提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见

5、课件展示)问题就是(板书)“”这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法特别高超,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生探讨其高超之处)高斯算法的高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组,第一个数与最终一个数一组,其次个数与倒数其次个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,快速精确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?二.讲解新课(板书)等差数列前项和公式1.公式推导(板书)问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生探讨,探讨高斯算法对一般等差数列求和的指导意义

6、.思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得,有以下等式,问题是一共有多少个,好像与的奇偶有关.这个思路好像进行不下去了.思路二:上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,两式左右分别相加,得,于是有:.这就是倒序相加法.思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.于是得到了两个公式(投影片):和.2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.3.公式的应用公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.例1.求和:(1);(2)(结果用表示)解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.例2.等差数列中前多少项的和是99

7、00?本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必需是正整数.三.小结1.推导等差数列前项和公式的思路;2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计高三数学必修五等差数列的前n项和学问点总结 高三数学必修五等差数列的前n项和学问点总结 一、等差数列及前n项和学问点汇总1.等差数列的定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项假如A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项.

8、4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，qN*).(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 留意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+an，Sn=an+an-1+a1，+得：Sn=n(a1+an)

9、/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要擅长设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a-3d，a-d，a+d，a+3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的推断方法(1)定义法：对于n2的随意自然数，验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n3，nN*)都成立;(3)通项公式法：验证an=pn+q;(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来推断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 等差

10、数列的前n项和说课稿 等差数列的前n项和说课稿 一、教材结构与内容简析本节内容选自普遍中学课程标准试验教科书(北师大版)必修5第一章第四节等差数列的前n项和第一课时，是在学生学习了等差数列定义及通项公式的基础上学习和探讨的，是进一步学习其它数列学问的基础。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着亲密的联系。 二、教学目标 依据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 认知目标：驾驭等差数列前n项和公式，能较娴熟应用等差数列前n项和公式求和。 实力目标经验公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特别到一般

11、的探讨方法，学会视察、归纳、反思。 情感目标：获得发觉的成就感，逐步养成科学严谨的学习看法，提高代数推理的实力。 三、教学重点、难点 教学重点：等差数列前n项和公式 教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路 四、教法和学法 教法：采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提，以“等差数列前n项和公式发觉”为基本探究内容，让学生的思维由问题起先，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推导，并逐步得到深化。 学法：指导学生驾驭“视察猜想推导应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对等差数列前n项和公式的探究。

12、让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。 五、教学程序 （一）创设情境，布疑激趣 “爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半。因此，我通过对实际问题的引入，使学生一起先就能对这节课所探讨的问题引起爱好，使其立即进入到探讨者的角色中来，并从这一简洁的例子进入我们今日的课题。 （二）探寻特例，提出猜想 1激发学生思维，从自身熟识的特例高斯问题入手进行探讨，发觉差数列前n项和公式。 2让学生总结得出猜想：差数列前n项和与它的首项，末项，及项数有怎样的关系? （三）找寻途径，

13、证明猜想 1让学生用倒序相加法证明差数列前n项和公式。 2与等差数列通项公式结合得另一个公式。 3运用差数列前n项和公式求解本节课问题。 （四）初步应用，深化相识 用公式也是教学的重点。为了让学生较娴熟驾驭公式，可采纳设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。 通过三道例题，主要让学生在详细问题中如何选用公式，变用公式及知三求二在数列中的应用，提高学生的计算实力 （五）小结反思，提高相识 通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法？你对此有何体会？ 1.等差数列前n项和公式:= 2公式的推证用的是倒序相加法 3在两个求和公式

14、中,各有四个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想) 意图：使学生对本节课所学学问的结构有一个清楚的相识，能抓住重点进行课后复习 （六）当堂检测 旨在了解学生对本节课学问的驾驭状况，驾驭学情，为了以后更好的进行教学。 （七）作业布置， 必做题是让学生巩固所学的学问，娴熟公式的应用。依据学生的特点，为了促进数学成果优秀学生的发展，培育他们分析问题解决问题的实力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的 六、设计理念把“数学发觉的权力”还给学生 长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花

15、大量的时间采纳题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采纳的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就手足无措. 数学是思维的体操，是培育学生分析问题、解决问题的实力及创建实力的载体.新课程提倡：强调过程，强调学生探究新学问的经验和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必需让学生追求过程的体验. 基于以上相识，在设计本节课时，老师所考虑的不是简洁地告知学生差数列前n项和公式的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发觉，从发觉公式的过程中让学生体会到：公式并不是凭空产生的，发觉公式并不都是高不行攀的事情，通过我的努力，也可以做

16、一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习爱好，也提高了他们提出问题、解决问题的实力，培育了他们的创新实力，这正是新课程所提倡的教学理念. 等差数列前n项和教案分析 等差数列前n项和教案分析 教学目标1、学问与技能（1）了解等差数列前n项和的定义，理解倒序相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想相识等差数列前n项和的公式，利用公式求Sn,a1,d,n,an；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；2、过程与方法（1）通过公式的推导和公式的运用，使学生了解

17、数学家高斯的有关贡献，体会从特别到一般，再从一般到特别的思维规律，初步形成相识问题，解决问题的一般思路和方法.（2）通过公式推导的过程教学，对学生进行思维敏捷性与广袤性的训练，发展学生的思维水平,培育学生数学思想方法。3、情感、看法、价值观（1）通过公式的推导过程，呈现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的好用性，引导学生要擅长视察生活，从生活中发觉问题，并数学地解决问题.（2）通过生动详细的现实问题，激发学生探究的爱好和欲望，树立学生求真的志气和自信念，增加学生学好数学、酷爱数学的情感。教材分析：本节内容是等差数列前n项和公式的推导和应用

18、，首先通过详细的例子给出了求等差数列前n项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题重点与难点教学重点是等差数列前n项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特别问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般状况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要等差数列前n项和公式有两种形式，应依据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前n项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想高斯算法表现了大数学家的才智和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说

19、过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上教学过程一、情境引入，问题提出：高二、二班同学为参与全校广播体操竞赛设计的竞赛队形，从前到后每行的人数分别为1，2，3，10.问全班共有共有多少位同学？若假设有100行，共有多少人呢？这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法特别高超，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生探讨其高超之处）高斯算法的高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组，第一个数与最终一个数一组，其次个数与倒数其次个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，快速精确得到了结果. 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页