人教版高一数学《函数单调性的运用》教案.docx

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1、人教版高一数学函数单调性的运用教案高一数学教案：函数的单调性教学设计 高一数学教案：函数的单调性教学设计 一、本节内容在教材中的地位与作用： 函数的单调性系人教版中学数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与推断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性探讨了一些函数的增减性这节内容是初中有关内容的深化、延长和提高这节通过对详细函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的精确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的教材中推断函数的增减性，既有从图像上进行视察的直观方法，又有依据其定义进行逻辑推理的严格方法，最终将两种方法统一起来，形成依据视察图像得出猜想结论，

2、进而用推理证明猜想的体系函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的学问是前一节内容函数的概念和图像学问的持续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简洁性质，是今后探讨指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等详细问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来探讨函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个中学数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性探讨也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能依据函数的图象视察出“随着自变量的增大，

3、函数值增大”的改变趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性推断而不能进行“思辩”的理性相识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要留意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能快速驾驭代数证明的格式，要留意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的仿照渐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的详细要求以及基于教材内容的详细分析，制定本节课的教学目标为： 1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和探讨函数的性质。 2

4、.理解并驾驭函数的单调性及其几何意义，驾驭用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用学问解决问题的实力。 3.能够用函数的性质解决生活中简洁的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增加学生学习函数的紧迫感，激发其主动性。 在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于老师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简洁函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、推断、结论”过程学生不易驾驭。所以对教学的重点、难点确定如下： 教学重点：函数的单调性的推断与证明； 教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证

5、明简洁函数的单调性。 四、教材内容简析： 本节主要内容如下： (1)单调性的相关定义：一般地，设函数的定义域为I，区间AI：假如对于区间A内的随意两个值，当时都有，那么就说在区间A上是增加（削减）的。此时，A是单调递增（递减）区间。 注：关键词：“区间AI：”、“随意”、“都”。区间AI表明推断函数单调性首先推断函数的定义域，“随意”表明不行以用两个特定的值来确定函数是增函数还是减函数，但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数，“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。 假如函数在定义域的某个子集上是增加或削减的，那么就称这个函数在这个子集上具有单调性。假如函数在定义域是增加或削减的，那

6、么就分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。 (2)单调性的推断与证明： 单调性的推断：图像法、定义法；（注：两个单调区间的“并”不肯定是单调区间。） 单调性的证明步骤归结为五个步骤：取值、作差与变形、推断、结论。 五、教学过程设计： 教学 环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明 新 授 课 7 分 钟 了解单调函数、单调区间的概念 能运用函数单调性的概念结合图象推断函数的单调性并写出单调区间 2.单调函数、单调区间 老师口述：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。假如函数在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数在这个区间上具有单

7、调性。这一区间叫做的单调增（减）区间。 假如函数在定义域的某个子集上是增加的或是削减的，那么就称函数在这个子集上具有单调性。假如函数在整个定义域内是增加的或是削减的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。 问题3：（如图）定义在区间上 的函数的图象，依据图象 说出的单调区间，以及在 每一单调区间上，是单调 增函数还是单调减函数。(移动鼠标 到图像上视察会出现单调区间) 介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。 使学生进一步熟识函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步推断函数的单调性；并培育学生运用数学语言进行正确表达的实力。 谈 话 法 题目及图形的给出用课件演示

8、。 注： 对函数的单调减区间学生易错写成 的形式，要特殊加以澄清，并举反例加以说明 教学 环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明 新 授 课 12 分 钟 能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性 能敏捷运用概念证题 3.函数单调性的推断与证明 我们来看例题: 例1：说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。 解析：画出图形，并通过图形让学生自己讲出过程。 板书：具体过程。 老师过渡语言： 要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行视察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它须要依据函数单调性的定义进行证明。我们来看一个例题： 例2：画出的图像，推

9、断它的 单调性，并加以证明。 解析：画出图形，让学生归纳。 下面利用定义证明：（略） 思索沟通:请同学们试想，依据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？ 师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）取值：设是给定区间上的随意两个值，且； （2）作差与变形：作差，变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）； （3）推断：确定的符号； （4）结论。 接下来，我们再来看一个例题： 例3：推断在（-，0）的单调 性，并加以证明。 分析:先画图，利用图像来推断，再利用定义来证明单调性。（让学生自己动手） 变式训练：将本题中的定义域改为(0，+ ),你能否给出解答吗？ 渗透用图象法

10、来推断函数的单调性思想方法 提出问题、创设情境，培育学生主动思索、快速把握问题实质的良好思维品质。 加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格式 培育学生归纳总结的实力 培育学生自己动手的实力 谈 话 法 讲 授 法 讨 论 法 例1的图用课件演示 上升下降。 注：1.请学生说 出：将例1中分子上的1改为k时的单调区间。 2.通过以上的分析， 能否说例1中的函数 在定义域 内是削减的？ 在讲授完，用课件展示过程。 注：例题中的留意点： 解题格式 防止循环论证 作差同“0”比较 总结：利用图象法推断函数的单调性，利用定义法证明(步骤：取值，作差与变形，推断，结论)。 在讲授完，用课件展示过程。

11、教学 环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明 课 堂 练 习 7 分 钟 进一步巩固函数单调性的概念及证明函数单调性的方法 练习： 1.定义在R上的函数对随意两个不等实数a,b,总有 成立，则必有 （ ） A. 函数是先增后减函数; B. 函数是先减后增函数; C. 是R上的减函数； D. 是R上的增函数。 2.设函数是R上的减函 数，求a的范围。 3.函数 在上是增函数，在上是减函 数，则（） A.-1 B.7 C.3 D. 4.求证：函数在区间上是单调增函数。 刚好反馈，检查学问的落实状况 练 习 法 结果在课件上展示出来 课 后 小 结 2 分 钟 强调教学目标突出

12、教学重点 本节课重点要理解函数单调性及相关概念，驾驭 函数单调性的推断(图象法)与证明(定义法)的方法与 步骤（取值，作差与变形，推断，结论）；通过学习,增加数形结合的意识与实力，学会从感性到理性，从详细到抽象的探讨问题的方法。 使学生在头脑中的学问结构得到提炼、帮助驾驭重点内容 谈 话 法 让学生来小结、回顾 布 置 作 业 1 分 钟 课后进一步驾驭、巩固概念方法 课本习题2-3 A组：2，4，5 课后思索： 函数在上是增函数，试求出a的取值范围。 培育学生独立解决问题的实力 课后思索要求较 高作为选做题 教学 后记 本课是让学生通过视察函数图象的基础上，从特别到一般的方法归纳出 函数单调

13、性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、 步骤及留意点。这篇教学设计完整，思路清楚案例首先通过实例阐述了 函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义， 充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的 精神例题与练习由浅入深，完整，全面练习的设计有新意，有深度， 为学生数学思维实力、创建实力的培育供应了平台它的特点体现在如 下几个方面： 1.强调对基本概念和基本思想的理解和驾驭 由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉在数学中要引导 学生经验从详细实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质 2.注意联系，提高对数学整体的相

14、识 数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力在中学数学的教学中， 要注意数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系， 数学与其他学科的联系 3、注意数学学问与实际的联系，发展学生的应用意识和实力 在数学教学中，应注意发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学学问， 引导学生应用数学学问解决实际问题，经验探究、解决问题的过程，体会数 学的应用价值，帮助学生相识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是 有用的，我要用数学，我能用数学 但是，在真正教学中也出现了一些问题： 1.时间的限制上难以把握；2.学生的单调性的证明过程写的不够完备。 六、板书设计： 函数的单调性 1、 函数单调性

15、定义： 2、 单调函数、单调区间： 3、 函数单调性的推断与证明方法： 例1：说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。 例2：画出的图像，推断它的 单调性，并加以证明。 例3：推断在（-，0） 的单调性，并加以证明。 练习答案： 教学 环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学 方法 说明 导入 新课 1 分 钟 利用生活中的实例引出课 题 老师引言： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。 （而后将其引申到函数中图像的上升与下降，接着板书课题：函数的单调性） 明确学习内容且向学生渗透探讨函数问题的一般方法。

16、 讲 授 法 用课件演示 新 授 课 15分 钟 对函数的单调性有感性的相识 1.函数的单调性 问题1：在2022年抗击非典型性肺炎时，卫 生部门对疫情进行了通报，下图(课件中)是 北京市从4月21日至5月19日期间每日新 增病例的改变统计图。从图看出，形势从何 日起先好转？ 问题2：一次函数y=kx+b中，当k0时，y 的值随x的值的增大而 ；当k 时，y的值随x的值的增大而 。 思索沟通：对于下图(课件中)给出的函数值y随自变量x值的改变状况吗？(移动鼠标到图像上视察会出现y随x值的改变状况) 给出实例: 用鼠标拖动红点左右移动，你会发觉图像中点的坐标有何改变吗？你能找出其中的规律吗？怎样

17、用数学语言表达函数值的增减改变吗？ 考察学生的视察实力，培育学生的数学表达实力让学生自己分析。 演 示 法 用课件演示 对函数图象的增、减状况用几何画板演示，增加直观性、提高学生爱好 用课件演示 理解增、减函数的定义 从上推广到一般状况，给出一般图形，要求转化成符号语言,此时提出“单调增函数、单调减函数”两名词；让学生自己总结单调增、减函数的详细定义。 板书： 一般地，设函数的定义域为I，区间AI：假如对于区间A内的随意两个值，当时都有 ， 那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 思索沟通：你认为增、减函数定义中的关键 词是什么？ 让学生自己去领悟、思索、概念。 强化教学重点，加强对学问的记

18、忆 把握概念的本质 演 示 法与 谈 话 法 讲 授 法 让学生口述 老师板书 关键词：“随意” 、“都”。 函数的单调性 数学必修1：函数的单调性教学目标：理解函数的单调性教学重点：函数单调性的概念和判定教学过程：1、过对函数、及的视察提出有关函数单调性的问题.2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念3、例1、如图是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，依据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间上是增函数。留意：1单调区间的书写2各单调区间之间的关系以上是通过视察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比

19、较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样依据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2、证明函数在R上是增函数。证明：设是R上的随意两个实数，且，则，所以，在R上是增函数。例3、证明函数在上是减函数。证明：设是上的随意两个实数，且，则由，得，且于是所以，在上是减函数。利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值（2）计算、（3）对比符号（4）结论 课堂练习：教材第50页练习A、B小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法课后作业：第57页习题2-1A第5题 高一数学教案：函数单调性与奇偶性教学设计 高一数学教案：函数单调性与奇偶性教学设计 教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的

20、概念,驾驭有关证明和推断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度相识单调性和奇偶性. (3)能借助图象推断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义推断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证实力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育学生的视察,归纳,抽象的实力,同时渗透数形结合,从特别到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论探讨,增学生对数学美的体验,培育乐于求索的精神,形成科学,严谨的探讨看法. 教学建议 一、学问结

21、构 （1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系. （2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与相识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,驾驭单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观视察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用精确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形

22、成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的实力是比较弱的,很多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 三、教法建议 （1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟识的一次函数,二次函数.反比例函数图象动身,回忆图象的增减性,从这点感性相识动身,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来说明,引导学生发觉自变量与函数值的的改变规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,随

23、意,都有)的理解与必要性的相识就可以融入其中,将概念的形成与相识结合起来. （2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生根据步骤去做,就必需让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特殊是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律. 函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 的图象为例,让自变量互为相反数,视察对应的函数值的改变规律,先从详细数值 起先,渐渐让x在数轴上动起来,视察随意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经验了这样的过程,再得到等式 时,就比较简单体会它代表的是多数多个等式,是个恒等式.

24、关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发觉定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件. 函数的奇偶性教学设计方案 教学目标 1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义推断简洁函数的奇偶性. 2.在奇偶性概念形成过程中,培育学生的视察,归纳实力,同时渗透数形结合和特别到一般的思想方法. 3.在学生感受数学美的同时,激发学习的爱好,培育学生乐于求索的精神. 教学重点,难点 重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的推断 难点是对概念的相识 教学用具 投影仪,计算机 教学方法 引导发觉法 教学过程 一. 引

25、入新课 前面我们已经探讨了函数的单调性 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量改变而改变的性质,今日我们接着探讨函数的另一特性质.从什么角度呢?将从对称的角度来探讨函数的性质. 对称我们大家都很熟识,在生活中有许多对称,在数学中也能发觉许多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特殊是函数中有没有对称问题呢? (学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时老师可以引导学生把函数详细化,如 和 等.) 结合图象提出这些对称是我们在初中探讨的关于 轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾探讨过关于 轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于

26、 轴对称的吗? 学生经过思索,能找出缘由,由于函数是映射,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不行能关于 轴对称.最终提出我们今日将重点探讨图象关于 轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量改变而改变的性质,今日我们接着探讨函数的另一特性质.从什么角度呢?将从对称的角度来探讨函数的性质. 对称我们大家都很熟识,在生活中有许多对称,在数学中也能发觉许多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特殊是函数中有没有对称问题呢? 再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件? 可以用(6)协助说明

27、充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论. (3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书) 由学生小结推断奇偶性的步骤之后,老师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明. 函数单调性 年级高一 学科数学 课题 函数的单调性（2） 授课时间 撰写人 刘报 学习重点 函数单调性证明 学习难点 函数单调性应用及证明 学习目标 1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和探讨函数的性质.3.函数单调性证明 教学过程 一自主

28、学习 1.指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.2函数的最小值为，的最大值为. 3：先完成下表， 函数 最高点 最低点 , , 4设函数y=f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意：对于随意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的。 仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义 二师生互动 例1一枚炮弹放射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的改变规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？ 变式：经过多少秒后炮弹落地？ 试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？ 例2求在区间3，6上

29、的最大值和最小值. 变式：求的最大值和最小值. 练一练函数的最小值为，最大值为.假如是呢？ 三巩固练习 1.函数的最大值是（）.A.1B.0C.1D.22.函数的最小值是（）.A.0B.1C.2D.33.函数的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值 3，则在区间上，当时，有最值为.5.函数的最大值为，最小值为.6.用多种方法求函数最小值. 四课后反思 五课后巩固练习 1.作出函数的简图，探讨当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值（1）；（2）；（3）.2.已知函数在区间是增函数，则实数a的取值范围 第27页 共27页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页