平面向量的正交分解和坐标表示及运算.docx

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1、平面向量的正交分解和坐标表示及运算3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示 3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示【学情分析】：本小节首先把平面对量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在探讨的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面对量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发觉规律，培育学生的探究创新实力。【教学目标】：（1）学问与技能：驾驭空间向量基本定理，会推断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，驾驭空间向量基本定理（3）情感看法与价值观：相识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基

2、上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地运用【教学难点】：空间向量的分解【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一温故知新回顾平面对量的正交分解和平面对量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理二新课讲授1空间向量的正交分解设，是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间随意一个向量，设Q为点P在，所确定的平面上的正投影，由平面对量基本定理可知，在，所确定的平面上，存在实数z，使得而在，所确定的平面上，由平面对量基本定理可知，存在有序实数对，使得从而以平面对量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。由此可知，对空间任一向量，存在一个

3、有序实数组，使得，称，为向量在，上的分向量。2空间向量的基本定理假如三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使由此定理，若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底假如空间一个基底的三个基向量两两相互垂直，那么这个基底叫做正交基底，特殊地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使记推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使留意介绍单位正交基、正交基、基的特别与一般的关系，以帮助学生理解

4、概念。三典例讲练例1如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解： 向量的分解过程中留意向量的运算的正确运用。四练习巩固1、如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解：课本P94练习1、2、3五拓展与提高1设A、B、C、D是空间随意四个点，令u，v，w，则u、v、w三个向量（）A互不相等B至多有两个相等C至少有两个相等D有且只有两个相等2若a、b、c是空间的一个基底，下列各组la、mb、nc(lmn0)；a+2b、2b+3c、3a9c；a+2b、b+2c、c+2a；a+3b、3b+2c、2a+4c中，仍能构成

5、空间基底的是（）ABCD充分相识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。六小结1正交分解的推导和空间向量基本定理2如何将向量用坐标表示3随意空间向量在某组基底下的分解七作业课本P97习题3.1第6题 练习与测试：（基础题）1如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解： 2设向量是空间一个基底，则肯定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）ABCD3设A、B、C、D是空间随意四个点，令u，v，w，则u、v、w三个向量（）A互不相等B至多有两个相等C至少有两个相等D有且只有两个相等4若a、b、c是空间的一个基底，下列各组la、mb、n

6、c(lmn0)；a+2b、2b+3c、3a9c；a+2b、b+2c、c+2a；a+3b、3b+2c、2a+4c中，仍能构成空间基底的是（）ABCD5设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满意，则BCD是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定6已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz7在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则 （中等题）8已知四面体中，两两相互垂直，则下列结论中，不肯定成立的是（）(1).(2).(3).(4).不肯定成立的是. 9,已知非零向量不共线，假如，求证：A、B、C、D共面。 平

7、面对量坐标表示 平面对量坐标表示年级高一学科数学课题平面对量坐标表示授课时间撰写人学习重点平面对量的坐标运算 学习难点对平面对量坐标运算的理解学习目标1.会用坐标表示平面对量的加减与数乘运算；2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标； 教学过程一自主学习思索1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则x1iy1j，x2iy2j，依据向量的线性运算性质，向量，（R）如何分别用基底i、j表示？思索2：依据向量的坐标表示，向量，的坐标分别如何？();();().两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积

8、的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思索3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？ 二师生互动例1已知，求和. 例2已知平行四边形的顶点，试求顶点的坐标. 变式：若与的交点为，试求点的坐标. 练1.已知向量的坐标，求，的坐标.练2.已知、两点的坐标，求，的坐标. 三巩固练习1.若向量与向量相等，则（）A.B.C.D.2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）A.B.C.D.3.已知，则等于（）A.B.C.D.4.设点，且，则点的坐标为.5.作用于原点的两力，为使它们平衡，则需加力.6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为_。A(7,4)B(5,4

9、)C(7,14)D(5,14)7已知点，及，求点、的坐标。 四课后反思 五课后巩固练习1.若点、，且，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？ 2.已知向量，试用来表示. 中学数学必修四2.3.2平面对量的正交分解和坐标表示导学案 2.3.2平面对量的正交分解和坐标表示【学习目标】1.了解平面对量基本定理；理解平面对量的坐标的概念；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步驾驭应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在详细问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【新知自学】学问回顾：1平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平

10、面内的任一向量，有且只有一对实数1，2；使得给定基底，分解形式惟一.1，2由，唯一确定.2.向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角，当=，、同向；当=，、反向（同向、反向通称平行）；当=，称与垂直，记作。新知梳理：由前面学问知道，平面中的随意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个相互垂直的向量来表示，这样能给我们探讨向量带来很多便利。1平面对量的正交分解：把向量分解为两个的向量。思索：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？2平面对量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为

11、基底.任作一个向量，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数、，使得=x+y1我们把叫做向量的（直角）坐标，记作=(x,y)2其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特殊地，=(1,0)=(0,1)，=(0,0).3.在平面直角坐标系中,一个平面对量和其坐标是一一对应的。如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作=，则点的位置由唯一确定.设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.对点练习：1.如图，向量、是两个相互垂直的单位向量，向量与的夹角是30，且|=4，以向量、为基底，向量=_ 2.在平面直角坐标系下，起点是坐标原点

12、，终点A落在直线上，且模长为1的向量的坐标是_ 【合作探究】典例精析：例1：请写出图中向量,的坐标 变式1：请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）. 例2:如图所示，用基底、分别表示向量、并求出它们的坐标。 变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，求向量的坐标 【课堂小结】向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。【当堂达标】1、已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力的实际大小是_，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力的坐标表示是_ 2、若，（

13、，为单位向量），则的坐标（x，y）就是_的坐标，即若=（x，y），则点A的坐标就是_。 3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量的坐标。 【课时作业】1设、是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，则OAB的面积等于（）A、15B、10C、7.5D、52、在平面直角坐标系中，A（2,3），B(-3,4)，如图所示，x轴，y轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是_2+3;3+4;-5+;5-. 3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BCOA，OC=6，则用坐标表示下列向量：_；_；_；_； 4.在直角坐标系xoy中，向量的方向如图所示，且，分别写

14、出他们的坐标。 5.如图，已知O为坐标原点，点A在第一象限，求向量的坐标。 【延长探究】在平面直角坐标系中，A（1,1），B（-2,4），则向量的坐标是_ 平面对量的基本定理及坐标表示 平面对量的基本定理及坐标表示第4课时2.3.1平面对量基本定理教学目的：（1）了解平面对量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步驾驭应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面对量基本定理.教学难点：平面对量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1实数与

15、向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=2运算定律结合律：()=()；安排律：(+)=+，(+)=+3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=.二、讲解新课：平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2.探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.1，2是被，唯一确定的数量三、讲解范例：例

16、1已知向量，求作向量2.5+3.例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是随意一点，求证：+=4例4（1）如图，不共线，=t(tR)用，表示.（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2肯定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平

17、面内的任一向量a都有a=e1+ue2(、uR)2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满意(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c=1a+2b(1，2R)，若c与b共线，则1=.5.已知10，20，e1、e2是一组基底，且a=1e1+2e2，则a与e1_，a与e2_(填共线或不共线).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记： 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页