高一数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案人教版.docx

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1、高一数学平面向量的基本定理及坐标表示学案人教版高二数学平面对量基本定理及坐标表示32.3.4平面对量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面对量共线的坐标表示；（2）驾驭平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会依据向量的坐标，推断向量是否共线.教学重点：平面对量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的精确性教学过程：一、复习引入：1平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一

2、向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.1，2是被，唯一确定的数量2平面对量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特殊地，.2平面对量的坐标运算（1）若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。（2）若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。3练习：1若M(3，

3、-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标2若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=.3已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求证：四边形ABCD是梯形.？二、讲解新课：1、思索：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.由=得，(x1，y1)=(x2，y2)消去，x1y2-x2y1=0()的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去时能不能两式相除？（不能y1，y2有可能为0，x2，y2中至少有一个不为0）（2）能不能写成？（不能。x1，x2有可能为0）(3)向量共线有哪两种形式？

4、()三、讲解范例：例1已知=(4，2)，=(6，y)，且，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试推断A，B，C三点之间的位置关系.思索：你还有其它方法吗？例3若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x解：=(-1，x)与=(-x，2)共线(-1)2-x(-x)=0x=与方向相同x=例4已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？解：=(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)又22-41=0又=(1-(-1)，5-(-1)=(2，6)，=(2，4)，24-260与不

5、平行A，B，C不共线AB与CD不重合ABCD例5设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.思索：（1）中P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？若P1P：PP2=如何求点P的坐标？四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。五、小结：（1）平面对量共线的坐标表示；（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）向量共线的坐标表示.六、课后作业：习案二十二。思索：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（C）A.6B.5C

6、.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（B）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且ab，则y=3.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为6.已知ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=5高考数学（理科）一轮复习平面对量的基本定理及坐标表示学案 学案26平面对量的

7、基本定理及坐标表示导学目标：1.了解平面对量的基本定理及其意义.2.驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面对量共线的条件自主梳理1平面对量基本定理定理：假如e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的随意向量a，_一对实数1，2，使a_.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组_2夹角（1）已知两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的_(2)向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_.(3)假如向量a与b的夹角是_，我们说a与b垂直，记作_3把一个向量

8、分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解4在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序数对_叫做向量a的_，记作a_，其中x叫a在_上的坐标，y叫a在_上的坐标5平面对量的坐标运算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab_，ab_，a_.（2）已知A（），B（），则ABOBOA(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标6若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是_7(1)P1(x

9、1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为_(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则P1P2P3的重心P的坐标为_自我检测1(2022福建)若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2设a32，sin，bcos，13，且ab，则锐角为()A30B45C60D753.（2022马鞍山模拟）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），OCcab，若C点在函数ysin12x的图象上，则实数等于()A.52B.32C52D324(2022陕西)已知向量a(2，1)，b(1，m)，

10、c(1，2)，若(ab)c，则m_.5.（2022安徽）给定两个长度为1的平面对量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是_.探究点一平面对量基本定理的应用例1如图所示，在OAB中，OC14OA，OD12OB，AD与BC交于点M，设OAa，OBb，以a、b为基底表示OM. 变式迁移1（2022厦门模拟）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|OB|1，|OC|23，若OCOAOB(、R)，则的值为_探究点二平面对量的坐标运算例2已知A（-2，4），B

11、（3，-1），C（-3，-4），且CM3CA，CN2CB，试求点M，N和MN的坐标 变式迁移2已知点A（1，-2），若向量|AB与a(2,3)同向，|AB|213，则点B的坐标为_探究点三在向量平行下求参数问题例3(2022嘉兴模拟)已知平面内三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满意ambnc的实数m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k. 变式迁移3(2022江西)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.1在解决详细问题时，合理地选择基底会给解题带来便利在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量

12、，最终可以依据须要随意留下两个即可，这样思索问题要简洁得多2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y)向量OA点A(x，y)要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1,2)，B(3,4)，则AB(2,2)(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知a,b是不共线的向量，若AB1ab，ACa2b，(1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A121B121C1

13、210D12102.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若OPaOP1bOP2，且点P落在第部分，则实数a，b满意()Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b03(2022湛江月考)设两个向量a(2，2cos2)和bm，m2sin，其中、m、为实数若a2b，则m的取值范围是()A6,1B4,8C(，1D1,64.设02时，已知两个向量OP1(cos，sin)，OP2(2sin，2cos)，则向量P1P2长度的最大值是()A.2B.3C32D235.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD等于()A(

14、2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6.（2022烟台模拟）如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为_7在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为_8.(2022天津)在四边形ABCD中，ABDC(1,1)，1|BA|BA1|BC|BC3|BD|BD，则四边形ABCD的面积为_三、解答题(共38分)9.（12分）已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1

15、）、（1，2），并且AE13AC，BF13BC.求证：EFAB. 10(12分)(2022宣城模拟)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m(a，b)，向量n(cosA，cosB)，向量p(22sinBC2，2sinA)，若mn，p29，求证：ABC为等边三角形 11.（14分）如图，在边长为1的正ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AEmAB，AFnAC，m，n(0,1)设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：mn；（2）若m+n=1,求的最小值 答案自主梳理1不共线有且只有1e12e2基底2.(1)夹角(2)0，0(3)2ab3.相互垂

16、直4.(x，y)坐标(x，y)x轴y轴5.(1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)终点始点6x1y2x2y107.(1)x1x22，y1y22(2)x1x2x33，y1y2y33自我检测1A由x4知|a|42325；由|a|x2325，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件2Bab，3213sincos0，sin21,290，45.3Acab(6，42)，代入ysin12x得，42sin21，解得52.41解析ab(1，m1)，由(ab)c，得12(m1)(1)0，所以m1.52解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120，sin1

17、20)，即B(12，32)设,则OA(cos，sin)OCxOAyOB(x,0)y2，32y(cos，sin)xy2cos，32ysin.xsin3cos，y2sin3，xy3sincos2sin(30)0120，3030150.xy有最大值2，当60时取最大值课堂活动区例1解题导引本题利用方程的思想，设OM=ma+nb，通过建立关于m、n的方程求解，同时留意体会应用向量法解决平面几何问题的方法.解设OMmanb(m，nR)，则AMOMOA(m1)anb，ADODOA12baa12b.因为A，M，D三点共线，所以m11n12，即m2n1.而CMOMOCm14anb，CBOBOCb14a14ab

18、，因为C，M，B三点共线，所以m1414n1，即4mn1.由m2n1，4mn1，解得m17，n37.所以OM17a37b.变式迁移16解析如右图，OCODOEOAOB在OCD中，COD30，OCDCOB90，可求|OD|4，同理可求|OE|2，4，2，6.例2解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，CA(1,8)，CB(6,3)CM3CA(3,24)，CN2CB(12,6)设M（x，y），则CM(x3，y4)(3,24)，x33，y424，x0，y20.M(0,20)同理可得N（9，2），因此MN=（9，18）.?所求M（0，20），N（9，2），MN(9，18)变式迁移2(5,4)解析向

19、量AB与a同向，设AB(2t,3t)(t0)由|AB|213，4t29t2413.t24.t0，t2.AB(4,6)设B为(x，y)，x14，y26.x5，y4.例3解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)m4n3，2mn2，解之得m59，n89.(2)(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)2(5)(2k)0，k1613.变式迁移35解析ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，3k163，k5.课后练习区1CA、B、C三点共线AB与AC共线ABkAC1k，k21，1210.2.B由于点P落在第部分，且O

20、PaOP1bOP2，则依据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a0，b0.3A2b(2m，m2sin)，22m，2cos2m2sin，(2m2)2mcos22sin，即4m29m41sin22sin.又21sin22sin2，24m29m42，解得14m2，121m4.又2m2，m22m，622m1. 62解析方法一若M与B重合，N与C重合，则mn2.方法二2AOABACmAMnAN，AOm2AMm2AM.O、M、N共线，m2n21.mn2.7(0，2)解析设D点的坐标为(x，y)，由题意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，D(0，2)8.3S|AB|sin6022323.9证明设

21、E、F两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得(2,2)，(2,3)，B(4，1)A13AC23，23，13C23，1.A(x1，y1)(1,0)23，23，(x2，y2)(3，1)23，1.(4分)(x1，y1)23，23(1,0)13，23，(x2，y2)23，1(3，1)73，0.(x2，y2)(x1，y1)83，23.(8分)又B(4，1)，423(1)830，B.(12分)10证明mn，acosBbcosA.由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA，即sin(AB)0.A、B为三角形的内角，AB.AB.(5分)p29，8sin2BC24sin2A9.41co

22、s(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cosA10，解得cosA12.(10分)又0A，A3.ABC为等边三角形(12分)11解（1）由A，M，N三点共线，得AA，设AAN(R)，即12(AEA)12(BAC)，所以mBnAC(BAC)，所以mn.(5分)（）因为NANAM12(ABAC)12(AEAF)12(1m)AB12(1n)AC，(8分)又mn1，所以MN12(1m)AB12mAC，所以|MN|214(1m)2AB214m2AC212(1m)mABAC(10分)14(1m)214m214(1m)m14(m12)2316.故当m时，|MN|min34.(14分) 2.3.3平面对

23、量的正交分解及坐标表示平面对量的坐标运算 23.22.3.3平面对量的正交分解及坐标表示平面对量的坐标运算 预习课本P9498，思索并完成以下问题(1)怎样分解一个向量才为正交分解？(2)如何由a，b的坐标求ab，ab，a的坐标？新知初探1平面对量正交分解的定义把一个平面对量分解为两个相互垂直的向量2平面对量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标(3)坐标表示：a(x，y)(4)特别向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0

24、(0,0)点睛(1)平面对量的正交分解实质上是平面对量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2相互垂直(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3平面对量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向

25、量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)点睛(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的详细位置无关(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的依次无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()答案：(1)(2)(3)(4)2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3)B

26、(4,3)C(8,3)D(0，1)答案：C3若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)答案：A4若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量_.答案：(1，4) 平面对量的坐标表示 典例如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos3032，y1sin3012，B32，12.x2cos12012，y2sin12032，D12，32.32，12，12，32. 求点和向量坐标的常用方法(1)求

27、一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标 活学活用已知O是坐标原点，点A在第一象限，|43，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(3，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x43cos6023，y43sin606，即A(23，6)，(23，6)(2)(23，6)(3，1)(3，7).平面对量的坐标运算典例(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a

28、3b的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)答案(11,13)(7，14)(2)解：ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)平面对量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则干脆应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线

29、性坐标运算可完全类比数的运算进行 活学活用1设平面对量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)解析：选A2b2(2,1)(4,2)，a2b(3,5)(4,2)(7,3)2已知M(3，2)，N(5，1)，12，则P点坐标为_解析：设P(x，y)，(x3，y2)，(8,1)，1212(8,1)4，12，x34，y212.x1，y32.答案：1，32 向量坐标运算的综合应用典例已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在其次象限？解因为t(1,2)t(3,3)(13t,23t)，若点P在x轴上，则2

30、3t0，所以t23.若点P在y轴上，则13t0，所以t13.若点P在其次象限，则13t0，23t0，所以23t13.一题多变1变条件本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在其次象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值解：由典例知P(13t,23t)，则113t24，223t25，解得t2.2变设问本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由解：(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以33t1，33t2，该方程组无解故四边形OABP不能成为平行四边形向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，假如横

31、或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之变更(2)解答这类由参数确定点的位置的题目，关键是列出满意条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的层级一学业水平达标1假如用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ijD2ij解析：选C记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.2已知a，且A12，4，B14，2，又12，则a等于()A18，1B14，3C18，1D14，3解析：选Aa14，212，414，2，a12a18，1.3已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2)B(

32、1,2)C(5,6)D(2,0)解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4)B(3,5)C(1,1)D(1，1)解析：选C()(1,1)5已知M(2,7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则P点的坐标为()A(14,16)B(22，11)C(6,1)D(2,4)解析：选D设P(x，y)，则(10x，2y)，(2x,7y)，由2得10x42x，2y142y，所以x2，y4.6(江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2

33、mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2n8，m2，n5，mn253.答案：37若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.解析：A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，(2,3)，(3,3)2(2,3)2(3,3)(2,3)(6,6)(4,9)答案：(4,9)8已知O是坐标原点，点A在其次象限，|6，xOA150，向量的坐标为_解析：设点A(x，y)，则x|cos1506cos15033，y|sin1506sin1503，即A(33，3)，所以(33，3)答案：(33，3)9已知a，B点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3,4)，c(1

34、,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，1x7，0y10x8，y10，即A点坐标为(8，10)10已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标(2)若点P(2，y)满意(R)，求与y的值解：(1)设B(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)，所以x114，y123，所以x13，y11，所以B(3,1)同理可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x234212，y21321，所以M12，1.(2

35、)由(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)，又(R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)，所以17，1y4，所以17，y37. 层级二应试实力达标1已知向量(2,4)，(0,2)，则12()A(2，2)B(2,2)C(1,1)D(1，1)解析：选D1212()12(2，2)(1，1)，故选D.2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1B1，2C2，1D1,2解析：选Dc1a2b，(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，1223，21324，解得11，22.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)

36、，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A2，72B2，12C(3,2)D(1,3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)2(m，n2)(2m,2n4)，故2m4，2n43，解得m2，n72，即点D2，72，故选A.4对于随意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“?”为m?n(acbd，bcad)，运算“?”为m?n(ac，bd)设f(p，q)，若(1,2)?f(5,0)，则(1,2)?f等于()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，4)解析：选B由(1,2)f(5,0)，得p2q5，2pq0，解得p1，q2，所以f(1，2)，所以(1,2)?f(1,

37、2)?(1，2)(2,0)5已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的起点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中，正确结论有_个解析：由平面对量基本定理，可知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的起点是不是原点无关，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误答案

38、：16已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|22，且AOC4.设(R)，则_.解析：过C作CEx轴于点E，由AOC4知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故23.答案：237在ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，(37,58)(4，3)，(47,38)(3，5)D是BC的中点，12()12(43，35)12(7，8)72，4.M，N分别为AB，AC的中点，F为AD的中点121272，474，2.8在直角坐标系

39、xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，(1)若0，求的坐标(2)若mn(m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)所以63x0，63y0，解得x2，y2.所以点P的坐标为(2,2)，故(2,2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以(2,3)(1,1)(1,2)，(3,2)(1,1)(2,1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，所以x0m2n，y02mn，两式相减得mny0x0，

40、又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1. 中学数学必修四2.3平面对量基本定理及坐标表示小结导学案 2.3平面对量基本定理及坐标表示小结【学习目标】1.了解平面对量的基本定理及其意义；驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面对量的线性运算；会用坐标表示的平面对量共线的条件. 【学问重温】1平面对量基本定理假如，是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的随意向量，有且只有一对实数，使_.向量，叫做表示这一平面内全部向量的一组基底. 2平面对量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得_，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作_，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其_相同，_