高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质).docx

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1、高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)中学数学竞赛标准教材(第五章数列) 第五章数列 一、基础学问定义1数列，按依次给出的一列数，例如1，2，3，n，.数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1,a2,a3,，an或a1,a2,a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的详细表达式，称为数列的通项。定理1若Sn表示an的前n项和，则S1=a1,当n1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，假如对随意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,

2、则a=b-d,c=b+d.定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对随意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对随意的正整数n，都有，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）假如a,b,c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a,

3、c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4极限，给定数列an和实数A，若对随意的0，存在M，对随意的nM(nN),都有|an-A|，则称A为n+时数列an的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满意|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其全部项的和）为（由极限的定义可得）。定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。 竞赛常用定理定理4其次数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立

4、；（2）当p(n)对一切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若，则xn=c1an-1+c2n-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若=，则xn=(c1n+c2)n-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特别状况动身去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探究未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特别猜想数学归纳法证明。例1试给出以下几

5、个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2已知数列an满意a1=,a1+a2+an=n2an,n1，求通项an.【解】因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当nk时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+a1+a1=(k+1)2-1ak+1,，所以=k(k+2)ak+1,即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜

6、想成立，所以例3设0a1，数列an满意an=1+a,an-1=a+，求证：对随意nN+,有an1.【证明】证明更强的结论：1an1+a.1)当n=1时，1a1=1+a，式成立；2)假设n=k时，式成立，即1an1+a，则当n=k+1时，有由数学归纳法可得式成立，所以原命题得证。2迭代法。数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对随意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种方法通常称迭代或递推。例4数列an满意an+pan-1+qan-2=0,n3，q0，求证：存在常数c，使得an+【证明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=+an(pqn+1+qan)=q

7、().若=0，则对随意n,+=0，取c=0即可.若0，则+是首项为，公式为q的等比数列。所以+=qn.取即可.综上，结论成立。例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：an都是整数，nN+.【证明】因为a1=0,a2=1，所以由题设知当n1时an+1an.又由an+1=5an+移项、平方得当n2时，把式中的n换成n-1得，即因为an-1an+1，所以式和式说明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+an-1=10an(n2).再由a1=0,a2=1及式可知，当nN+时，an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等

8、。例6已知an=(n=1,2,)，求S99=a1+a2+a99.【解】因为an+a100-n=+=，所以S99=例7求和：+【解】一般地，所以Sn= 例8已知数列an满意a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：Sn2。【证明】由递推公式可知，数列an前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为，所以。由-得，所以。又因为Sn-2Sn且0,所以Sn,所以，所以Sn2，得证。4特征方程法。例9已知数列an满意a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故设an=(+n)2n-1，其中，所以=3，=0，所以an=

9、32n-1.例10已知数列an满意a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,所以an=3n+(-1)n，其中，解得=，所以3。5构造等差或等比数列。例11正数列a0,a1,an,满意=2an-1(n2)且a0=a1=1，求通项。【解】由得=1，即令bn=+1，则bn是首项为+1=2，公比为2的等比数列，所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，所以an=a0=注：C1C2Cn.例12已知数列xn满意x1=2,xn+1=,nN+,求通项。【解】考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=因为x1=2,xn+1=,可知xn的每

10、项均为正数。又+2，所以xn+1(n1)。又Xn+1-=,Xn+1+=,由得。又0，由可知对随意nN+，0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以，所以，解得。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1数列xn满意x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为xn前n项和，当n2时，xn=_.2.数列xn满意x1=，xn+1=,则xn的通项xn=_.3.数列xn满意x1=1，xn=+2n-1(n2)，则xn的通项xn=_.4.等差数列an满意3a8=5a13，且a10,Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_.5.等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70

11、，则S40=_.6.数列xn满意xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+xn，则S100=_.7.数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8.若，并且x1+x2+xn=8，则x1=_.9.等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_.10.若n!=n(n-1)21,则=_.11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满意a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通项。12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列是公比

12、为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）数列bn的前n项和Sn。 四、高考水平训练题1已知函数f(x)=，若数列an满意a1=，an+1=f(an)(nN+)，则a2022=_.2已知数列an满意a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项an=.3.若an=n2+,且an是递增数列，则实数的取值范围是_.4.设正项等比数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_.5.已知，则a的取值范围是_.6数列an满意an+1=3an+n(nN+)，存在_个a1值，使an成等差数列；

13、存在_个a1值，使an成等比数列。7已知(nN+)，则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是_.8有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，其次个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为_.9.设an是由正数组成的数列，对于全部自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=_.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有_项是在100与1000之间的整数.11已知数列an中，an0，求证：数列an成等差数列的充要条件是（n2）恒成立。12已知数列an和bn中有an=an-1bn,bn=(n2),当a1=p,b1=q(p0,q0)且

14、p+q=1时，（1）求证：an0,bn0且an+bn=1（nN）；（2）求证：an+1=；（3）求数列13是否存在常数a,b,c，使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_个。2设数列xn满意x1=1,xn=，则通项xn=_.3.设数列an满意a1=3,an0，且，则通项an=_.4.已知数列a0,a1,a2,an,满意关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则=_.5.等比数列a+log23,a+log43,a+l

15、og83的公比为=_.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项.7.数列an满意a1=2,a2=6,且=2，则_.8.数列an称为等差比数列，当且仅当此数列满意a0=0,an+1-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有_项.9设hN+，数列an定义为：a0=1,an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？10设akk1为一非负整数列，且对随意k1，满意aka2k+a2k+1，（1）求证：对随意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）

16、求出一个满意以上条件，且其存在无限个非零项的数列。11求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,使得a1=1,a21,an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题1设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1,2,.2设a1,a2,an表示整数1，2，n的任一排列，f(n)是这些排列中满意如下性质的排列数目：a1=1;|ai-ai+1|2,i=1,2,n-1。试问f(2022)能否被3整除？3设数列an和bn满意a0=1,b0=0，且求证：an(n=0,1,2,)是完全平方数。4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi

17、+1xi(i=0,1,2,),（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n1，使3.999均成立；（2）寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。5设x1,x2,xn是各项都不大于M的正整数序列且满意xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项？6设a1=a2=，且当n=3,4,5,时，an=,()求数列an的通项公式；()求证：是整数的平方。7整数列u0,u1,u2,u3,满意u0=1，且对每个正整数n,un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。假如u2000=2000，求k的全部可能的值。8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的m,k

18、，有|xm-xk|9.已知n个正整数a0,a1,，an和实数q，其中0q1，求证：n个实数b0,b1,，bn和满意：（1）akbk(k=1,2,n)；（2）q(k=1,2,n)；（3）b1+b2+bn(a0+a1+an). 第十四章极限与导数(中学数学竞赛标准教材) 第十四章极限与导数 一、基础学问1极限定义：（1）若数列un满意，对随意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2极限的四则运算：假

19、如f(x)=a,g(x)=b，那么f(x)g(x)=ab,f(x)g(x)=ab,3.连续：假如函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理：假如f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数：若函数f(x)在x0旁边有定义，当自变量x在x0处取得一个增量x时（x充分小），因变量y也随之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或改变率），记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导

20、的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。6几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为随意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)0,则（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。8复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x)处可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且（f(x)=.9.导数与函数的性质

21、：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-,x0+)内可导，（1）若当x(x-,x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得微小值；（2）若当x(x0-，x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得极大值。12极值的其次充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导，在x=x0处二阶

22、可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得微小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。13罗尔中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使证明若当x(a,b)，f(x)f(a)，则对随意x(a,b)，.若当x(a,b)时，f(x)f(a)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值mf(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明令F(x)=f(x

23、)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）假如对随意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）假如对随意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）

24、=；（2）当a1时，当0a1时，当a=1时，（3）因为而所以（4）例2求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|1)；（2）；（3）。解（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)=（2）=（3）=2连续性的探讨。例3设f(x)在(-,+)内有定义，且恒满意f(x+1)=2f(x)，又当x0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试探讨f(x)在x=2处的连续性。解当x0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-10,1),再由f(x)=x(1-

25、x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t1,2)时,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，当x1,2)时，令x+1=t，则当t2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。解因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4导数的计算。例5求下列函数的导数：（1）y=sin(3

26、x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。解（1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用导数探讨函数的单调性。例6设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+0.（1）当a1时，对全部x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；

27、（3）当0a1时，令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。6利用导数证明不等式。例7设，求证：sinx+tanx2x.证明设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosx1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上连续，所以f(x)在上单调递增，所以当x时，f(x)f(0)=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数探讨极值。例

28、8设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是微小值。解因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得微小值，在x2=2处取得极大值。例9设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解首先，当x0,y0,1时，

29、f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0,x-tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xx，所以g(1-y)xg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x

30、=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.7函数f(x)在(-,+)上可导，且，则_.8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设0ba,求证：四、高考水平练习题1计算=_.2计算_.3函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是_.。4函数的导数是_.5函数f(x)在x0邻域内可导，a,b为

31、实常数，若，则_.6函数f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域为_.7过抛物线x2=2py上一点(x0,y0)的切线方程为_.8当x0时，比较大小：ln(x+1)_x.9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_.11若x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2.12函数y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=kx+m，

32、（1）用x0,f(x0),表示m；（2）证明：当x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满意的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满意lnxn+,证明：xn1(nN+).五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中全部元素的和，则_.2若(1-2x)9绽开式的第3项为288，则_.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)0的解集为_.4曲线与的

33、交点处的切线夹角是_.5已知aR+，函数f(x)=x2eax的单调递增区间为_.6已知在(a,3-a2)上有最大值，则a的取值范围是_.7当x(1,2时，f(x)=恒成立，则y=lg(a2-a+3)的最小值为_.8已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若对随意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，则实数m取值范围是_.9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1)，求f(x

34、)的最小值；（2）设正数p1,p2,满意p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2log2p2+log2-n.11.若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b为随意的正实数，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）探讨gA(x)的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，证明：六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1）；（2）。2当0abcd时，求f(a,b,c,d)=的最小值。3已知x,y(0,1)求证：xy+yx1. 第十五章复数(中学数学竞赛标准教材) 第十五章复数一、基础学问1复数的定义：设i为方程x2

35、=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。全部复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2复数的几种形式。对随意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内全部的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；假如将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个

36、向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，则称为z的辐角。若02，则称为z的辐角主值，记作=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.假如用ei表示cos+isin，则z=rei，称为复数的指数形式。3共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1

37、z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一样，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满意平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2)，则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(1+2),5.棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn

38、).6.开方：若r(cos+isin)，则，k=0,1,2,n-1。7单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对随意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）对随意整数m，当n2时，有=特殊1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。9复数z是实数的充要条件是z=;z是

39、纯虚数的充要条件是：z+=0（且z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0时方程的根为二、方法与例题1模的应用。例1求证：当nN+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。证明若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+

40、=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| |f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3设R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有两个虚根，求满意的充要条件。解

41、若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(+1)x+1=0.若=-1，则方程x2-x+1=0中0无实根，所以-1。所以x=-1,=2.所以当2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为2。3三角形式的应用。例4设n2000,nN，且存在满意(sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的n有多少个？解由题设得，所以n=4k+1.又因为0n2000，所以1k500，所以这样的n有500个。4二项式定理的应用。例5计算：（1）；（2）解(1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100=)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5复数乘法的几

42、何意义。例6以定长线段BC为一边任作ABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。例7设A，B，C，D为平面上随意四点，求证：ABAD+BCADACBD。证明用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A

43、-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|,“=”成立当且仅当，即=，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例8ABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yR)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满意|z-

44、b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例9已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10求和：S=cos200+2cos400+18cos18200.解令w=cos200+isin200,则w

45、18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18200,则S+iP=w+2w2+18w18.由w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8复数与多项式。例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c00).求证：肯定存在一个复数z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.证明记c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0ei=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,zn，从而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一个zi使得|zi|1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei