高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理.docx

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1、高一数学下册点、线、面之间的位置关系知识点整理高一数学下册直线与圆的位置关系学问点整理 高一数学下册直线与圆的位置关系学问点整理 一、教学目标 1、学问与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当时，直线与圆相离; (2)当时，直线与圆相切; (3)当时，直线与圆相交; 3、情态与价值观 让学生通过视察图形，理解并驾驭直线与圆的位置关系，培育学生数形结合的思想. 二

2、、教学重点、难点： 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法. 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想问题设计意图 师生活动 1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类? 启发学生由图形获得推断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课. 师：让学生之间进行探讨、沟通，引导学生视察图形，导入新课. 生：看图，并说出自己的看法. 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图 师生活动 生：视察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.

3、 3.在初中，我们怎样推断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程推断它们之间的位置关系呢? 使学生回忆初中的数学学问，培育抽象概括实力. 师：引导学生回忆初中推断直线与圆的位置关系的思想过程. 生：回忆直线与圆的位置关系的推断过程. 4.你能说出推断直线与圆的位置关系的两种方法吗? 抽象推断直线与圆的位置关系的思路与方法. 师：引导学生从几何的角度说明推断方法和通过直线与圆的方程说明推断方法. 生：利用图形，找寻两种方法的数学思想. 5.你能两种推断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗? 体会推断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系. 师：指导学生阅读教科书上的例1.

4、 生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2.6.通过学习教科书的例1，你能总结一下推断直线与圆的位置关系的步骤吗? 使学生熟识推断直线与圆的位置关系的基本步骤. 生：阅读例1. 师;分析例1，并展示解答过程;启发学生概括推断直线与圆的位置关系的基本步骤，留意给学生留有总结思索的时间. 生：沟通自己总结的步骤. 师：展示解题步骤. 7.通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗? 进一步深化数形结合的数学思想. 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用数形结合的数学思想解决问题. 生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题.问题设计意图 师

5、生活动 8.通过例2的学习，你发觉了什么? 明确弦长的运算方法. 师：引导并启发学生探究直线与圆的相交弦的求法. 生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法. 9.完成书上练习 巩固所学过的学问，进一步理解和驾驭直线与圆的位置关系. 师：引导学生完成练习题. 生：相互探讨、沟通，完成练习题. 10.课堂小结： 老师提出下列问题让学生思索： (1)通过直线与圆的位置关系的推断，你学到了什么? (2)推断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何求出直线与圆的相交弦长? 高一数学下册空间点直线平面之间的位置关系学问点人教版 高一数学下册空间点直线平面之间的位置关系学问点人教

6、版 1.平面 (1)平面概念的理解 直观的理解：桌面、黑板面、安静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分。 抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄。 (2)平面的表示法 图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时依据实际须要，也用其他的平面图形来表示平面。 字母表示：常用等希腊字母表示平面。 (3)涉及本部分内容的符号表示有： 点A在直线l内，记作； 点A不在直线l内，记作； 点A在平面内，记作； 点A不在平面内，记作； 直线l在平面内，记作； 直线l不在平面内，记作； 留意：符号的运用与集合中这四个符号的运用的区分与联系。 (4)平面的基

7、本性质 公理1：假如一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的全部点都在这个平面内。 符号表示为： 留意：假如直线上全部的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得。 留意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。 公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 留意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线若平面、平

8、面相交于直线l，记作。 公理的推论： 推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。 2空间直线 (1)空间两条直线的位置关系 相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为; 平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a/b; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 (2)平行直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线。 定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 (3)两条异面直线所成的角 留意：两条异面直线a，b所

9、成的角的范围是（0，90。 两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”干脆得出。 由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： (i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点。 (ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采纳平移的方法来实现。 (iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要留意两条异面直线所成的角的范围。 3空间直线与平面 直线与平面位置关系有且只有三种： (1)直线在平面内：有多数个公共点； (2)直线与平面相交：有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行：没有公共点。 4平面与平面 两个平面之间的位置关系有且

10、只有以下两种： (1)两个平面平行：没有公共点； (2)两个平面相交：有一条公共直线。 练习题： 1在下列命题中，不是公理的是() A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内 D假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析：B、C、D都是公理，只有A不是 答案：A 2设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是() Pa，Pa abP，b ab，a，Pb，Pb b，P，PPb A B CD 解析：当aP时，Pa

11、，P，但a，错；aP时，错； ab，Pb，Pa， 由直线a与点P确定唯一平面， 又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故正确 答案：D 高考数学（理科）一轮复习空间点、线、面之间的位置关系学案 学案42空间点、线、面之间的位置关系 导学目标：1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简洁命题自主梳理1平面的基本性质公理1：假如一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过_的三点，有且只有一个平面公理3：假如两个不重合的平

12、面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：_.3直线与平面的位置关系有_、_、_三种状况4平面与平面的位置关系有_、_两种状况5平行公理平行于_的两条直线相互平行6定理空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_自我检测1(2022泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是()A相交B相交或异面C平行或异面D平行、相交或

13、异面2已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b()A肯定是异面直线B肯定是相交直线C不行能是平行直线D不行能是相交直线3如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()4(2022全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D905下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同始终线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和

14、另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_(填序号)探究点一平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满意AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点 变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线 探究点二异面直线所成的角例2(2022全国)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦

15、值为()A.34B.54C.74D.34变式迁移2(2022淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC3，且ADBC，对角线BD132，AC32，求AC和BD所成的角转化与化归思想的应用例(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值多角度审题对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解【答题模板】解(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是P

16、B与平面ABCD所成的角，即PBO60，2分在RtAOB中，BOABsin301，又POOB，POBOtan603，底面菱形的面积S212223223，四棱锥PABCD的体积VPABCD132332.6分(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)8分在RtAOB中，AOABcos303，在RtPOA中，PA6，EF62.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE3，由余弦定理得cosDEFDE2EF2DF22DEEF10分(3)2622(3)22362643224.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为24.12分【突破思维障碍

17、】求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决依据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特殊地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，详细步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特别的位置，顶点选在特别的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0，90【易错点剖析】1求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明2遗忘异面直线所成角的范围，余弦值回

18、答为负值1利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，依据公理3可知这些点在交线上，因此共线2异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义推断两直线不行能在同一平面内(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线3求异面直线所成的角的步骤：(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；(2)证明作出的角就是所求的角；(3)利用条件求出这个角；(4)假如求出的角是

19、锐角或直角，则它就是要求的角，假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面B相交C平行D异面或相交2给出下列命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；肯定存在平面同时和异面直线a、b都平行其中正确的命题为()ABCD3(2022宁德月考)如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后

20、，GH与IJ所成角的度数为()A90B60C45D04(2022全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.355(2022三明模拟)正四棱锥SABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()A30B45C60D90二、填空题(每小题4分，共12分)6一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.则正确结论的序号是_7(2022四川)如图所示，已知正三棱柱ABCA1

21、B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_8如图所示，正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为_三、解答题(共38分)9(12分)(2022温州月考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点 10(12分)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱CC1，A1D1，A1B1的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长 11(14分)(2022舟山模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2

22、，E为AB的中点(1)求证：AC平面BDD1；(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值(3)求点B到平面A1EC的距离 学案42空间点、线、面之间的位置关系自主梳理1两点不在一条直线上一条2.(1)平行相交(2)锐角或直角0，23.平行相交在平面内4平行相交5.同一条直线6.相等或互补自我检测1Da，c都与直线b异面，并不能确定直线a，c的关系2Ca，b是异面直线，直线c直线a.因而cDb，否则，若cb，则ab与已知冲突，因而cDb.3CA中PQRS；B中RSPQ；D中RS和PQ相交4C将直三棱柱ABCA1B1C1补成如图所示的几何体由已知易知：该几何体为正方体连接C1D，则C1DBA1.异

23、面直线BA1与AC1所成的角为AC1D(或补角)，在等边AC1D中，AC1D60.5课堂活动区例1解题导引证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证(1)解AEEBCFFB2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACDGH，EFGH.而EFAC，ACGH.AHHDCGGD3，即AHHD31.(2)证明EFGH，且EFAC13，GHAC14，EFGH，四边形EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点变

24、式迁移1证明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，B、D、O三点共线例2解题导引高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特别位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特别点(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)找寻：在立体图形中，找寻或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应

25、取它的补角作为异面直线所成的角D如图，A1D平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD32，由A1D平面ABC知A1D12，RtA1BD中，易求A1B141422.CC1AA1，AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角在A1BA中，由余弦定理可知cosA1AB111221134.AB与CC1所成的角的余弦值为34.变式迁移2解如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EFAC，且EF34，GEBD，且GE134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GHAD，HFBC.GH12，

26、HF32，又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成的角为90.课后练习区1D2C错，c可与a、b都相交；错，因为a、c可能相交也可能平行；正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满意条件3B将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，因GHDF，IJAD，所以ADF为所求，因此HG与IJ所成角为60.4C如图所示，连接A1B，则A1BCD1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角设ABa，则A1Ea，A1B5a，BE2a.A1BE中，由余弦定理得

27、cosA1BEBE2A1B2A1E22BEA1B2a25a2a222a5a31010.5C设AC中点为O，则OESC，连接BO，则BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，EO12SC22，BO12BD62，在SAB中，cosA12ABSA32264AB2AE2BE22ABAE，BE2.在BEO中，cosBEOBE2EO2BO22BEEO12，BEO60.6 解析把正方体的平面绽开图还原成原来的正方体，如图所示，易知ABEF，ABCM，EF与MN异面，MNCD，故正确790解析延长A1B1至D，使A1B1B1D，则AB1BD，MBD就是直线AB1和BM所成的角设三棱柱的各条棱长为2，则

28、BM5，BD22，C1D2A1D2A1C212A1DA1C1cos601642412.DM2C1D2C1M213，cosDBMBM2BD2DM22BMBD0，DBM90.8.36解析如图，取PB中点N，连接CN、MN.CMN为PA与CM所成的角(或补角)，设PA2，则CM3，MN1，CN3.cosCMNMN2CM2CN22MNCM36.9证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B，且EF12A1B，(2分)又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共

29、面(6分)(2)由(1)知EFCD1，且EF12CD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，(8分)则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.(10分)又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点(12分)10解如图所示，连接QR并延长，分别与C1B1，C1D1的延长线交于E，F两点连接EP交BB1于M点，连接FP交DD1于N点再连接RM，QN，则五边形PMRQN为过三点P，Q，R的截面(3分)由Q，R分别是边A1D1，A1B1的中点，知QRA1ERB1，(6分)B1EQA112a，由EB1MEC1P，知

30、EMEPEB1EC113，(9分)PM23EP2312a232a2103a，同理PNPM103a，易求RMQN106a，QR22a，五边形PMRQN的周长为1022a.(12分)11(1)证明由已知有D1D平面ABCD得ACD1D，又由ABCD是正方形，得ACBD，D1D与BD相交，AC平面BDD1.(4分)(2)解延长DC至G，使CGEB，连接BG、D1G，CG綊EB，四边形EBGC是平行四边形BGEC.D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角(6分)在D1BG中，D1B23，BG5，D1G223213.cosD1BGD1B2BG2D1G22D1BBG1251322351515.异面直线BD

31、1与CE所成角的余弦值是1515.(8分)(3)解连接A1B，A1AECBE，A1ECE5.又A1C23，点E到A1C的距离d532.SA1EC12A1Cd6，SA1EB12EBA1A1.(11分)又VBA1ECVCA1EB，设点B到平面A1EC的距离为h，13SA1ECh13SA1EBCB，6h2，h63.点B到平面A1EC的距离为63.(14分) 人教版高一数学下册直线圆的位置关系学问点复习 人教版高一数学下册直线圆的位置关系学问点复习 由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系： （1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线 （2）相切：直线和圆

32、有唯一公共点时,叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点 （3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离 直线与圆的位置关系的数量特征 1、迁移：点与圆的位置关系 （1）点P在O内dr 2、归纳概括： 假如O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么 (1)直线l和O相交dr 练习题： 1直线L上的一点到圆心的距离等于O的半径，则L与O的位置关系是（） A相离 B相切 C相交 D相切或相交 2圆的最大的弦长为12cm，假如直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（） Ad6cm B6cmd12cm Cd6cm Dd12cm 3P是O外一点，PA、PB切O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设APB=，AQB=，则与的关系是（） A= B+=90 C+2=180 D2+=180 4在O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（） Ax2+12x+28=0 Bx212x+28=0 Cx211x+12=0 Dx2+11x+12=0 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页