高一数学教案：《函数的概念和图象》优秀教学设计.docx

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1、高一数学教案：函数的概念和图象优秀教学设计函数的概念和图象 2.1.1函数的概念和图象（2）【学习目标】：理解函数图象的概念，驾驭一些简洁函数的图象的作法，并能利用图象解决有关简洁问题。【教学过程】：一、复习引入：1函数的的定义：2函数的概念涉及到哪几个要素？3我们已学过函数的图象，并能作出一次函数、反比例函数及二次函数的图象。在社会生活中还有很多函数图象的例子，如课本P25的例子。 二、新课讲授：1、函数图象的概念： 练习：作出下列函数的图象：（1），（）；（2），（0，1，2，3，4）； （3），（.（4） 思索：设函数的定义域为，则集合与相等吗？又设，则中元素个数怎样？ 三、典例观赏例1

2、作出下列函数的图象，依据图象说出函数的值域，并指出最值及取最值时相应的x的值（1）；（2），；（3）. 变题：（1）（2）为正实数 例2试画出f(x)=x2+1图象，并依据图象回答问题：(1)比较f(-2)、f(1)、f(3)的大小；(2)若0x1x2，试比较的大小。 变题：在（2）中，（1）假如把“0x1x2”改为“x1x20”，那么哪个大？（2）假如把“0x1x2”改为“|x1|x2|”，那么哪个大？ 例3在同始终角坐标系中作出函数的图象，并指出它们之间的相互联系。归纳：1函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。2函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。3函数的图象是由函数的图象向

3、平移个单位得到的。4函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。 练习：画出下列函数的图象（1）（2）（3）y=（4）y=， 【反思小结】：【针对训练】：班级姓名学号1已知函数，则集合中元素的个数为2已知函数的值域为，则3若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点4试写出一个函数使其定义域分别为下列集合1）x|x2,xR2）(0,+)3）4）-1,35试写出一个函数使其值域分别为下列集合1）R2）3）(-,0)(0,+)4）6若函数的值域是3，10，则函数的值域是，函数的值域是，函数的值域是。7作出下列函数的图象，并依据图象说出函数的值域：(1)(2)y=|x2+2x-3| (3)(4)y=【拓

4、展提高】8求函数的定义域和值域。 9方程在-1，1上有实根，求k的范围。 10m是什么实数时，方程|x2-4x+3|=m有三个互不相等的实数解。 高一数学教案：基于APOS理论的函数概念教学设计 高一数学教案：基于APOS理论的函数概念教学设计 一、 概念同化教学与APOS 理论 中学新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多老师仍旧实行传统的概念同化教学方式，其教学步骤为1：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特别分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简洁的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。 这种

5、教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用非常有限。因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由老师代替学生操作、思索、体验。 美国数学教化学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不行能干脆学习到数学概念的，更准确地说,人们透过心智结构（mental structure）使所学的数学概念产生意义。假如一个人对于赐予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，假如他无法建立起适当的心智结构，那

6、么他学习数学概念几乎是不行能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经验以下4个阶段2： 二、基于APOS理论的函数教学设计 从数学教化的探讨内容来看，关于代数内容已经渐渐从以解方程为中心转到以探讨函数为中心了3。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的探讨表明白这一点斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的探讨，见文献4. 可见，函数的确成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初

7、中是用运动改变的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数假如用运动改变的观点去看它，就不好说明，显得牵强。但假如用集合与对应的观点来说明，就非常自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的函数的概念基础上进行思索，尝试用APOS理论来设计中学函数概念的教学。 （一）创设问题情境，引出课题 老师提出问题1： 我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影） 我们已经学习了一些详细的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思索下面的问题： 问题2：由上述定义你能推断“y=1”是否表示一个函数？

8、函数y=x与函数表示同一个函数吗？ 学生思索、探讨后，老师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们须要从新的角度来相识函数概念。 （二）生活实例演示，操作练习活动（A） 问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事 (1)我离开家不久，发觉自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我动身后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间起先加速 活动小结：每一个时刻，根据图像，都有唯一确定的距离与它对应。 （三）借助信息技术，探讨归纳过程（P）

9、师：（实例1）演示动画，用几何画板动态地显示炮弹高度关于炮弹放射时间的函数。启发学生视察、思索、探讨，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系：在的改变范围内，任给一个，根据给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。 生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 师：（实例2）引导学生看图，并启发：在的改变范围内，任给一个t，根据给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。 生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依靠关系。 （四）从特别到一般，引出函数概念对象（O） 问题4：分

10、析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？ 生：分组探讨三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班沟通。 师生：由学生概括，老师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为： 对于数集中的每一个，根据某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作 老师强调指出“”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，老师提出下一个问题： 问题5：肯定就是函数的解析式吗？ 师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。 问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？假如能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上老师归纳总结） 补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是

11、（ ） 老师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。 追问：如何推断两个函数是否相同？ 以学生已解决的问题动身创设情境，引起学生的学习爱好，再次引发学生在构建自身基础上的“再创建”，并通过独立思索后的探讨，培育学生分析解决问题、用数学语言沟通沟通的实力。 例2下列函数中哪个与函数相等？ 思索：你能举出一些函数相等的详细例子吗？ 启发并引导学生思索、探讨、沟通，老师归纳总结出函数的要点： 1函数是一种特别的对应非空数集到非空数集的对应； 2函数的核心是对

12、应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的详细含义不一样。函数记号表明，对于定义域的随意一个在“对应法则”的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非全部的元素在定义域中都有元素和它对应；值域； 3函数符号的说明： （1）“”即为“是的函数”的符号表示；（2）不肯定能用解析式表示；（3）与是不同的，通常，表示函数当时的函数值；（4）在同时探讨两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、等符号来表示。 4定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。 （五）借助熟识的函数，加深对函数概念的理解图式（S） 问题8：集合

13、A（A=R）到集合B（B=R）的对应：: AB，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？ 老师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图象，启发学生视察、分析，并请同学们思索之后填写下表： 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 a0 a0 定义域 值域 用函数的定义去说明学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数

14、概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培育学生深层次思索问题的习惯。 （六）再创情境，引导探究函数概念的新相识图式（S） 问题9：比较函数的近代定义与传统定义（即初中课本函数的定义）的异同点，你对函数有什么新的相识？ 学生思索、探讨，老师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一样的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则事实上也一样，只不过叙述的动身点不同，传统定义是从运动改变的观点动身，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点动身。 问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思索问题2，谈谈自己的相识

15、。老师启发、引导学生画图，以形求数。 师生：是函数；与不是同一个函数。 引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培育学生反思问题、总结归纳的习惯和擅长运用数学语言抽象所发觉的结论的实力。 （七）举例应用，深化目标图式（S） 例3已知函数 （1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发觉了什么结论？（4）求函数的值域。 为了让学生体会到从特别到一般的思想方法，同时也后面探讨函数的性质（奇函数）作打算。 老师引导学生解决此题的关键点，并进行变式： 变式1：已知， 当时，求函数的值域； 当时，求函数的值域。 变式2：已知， 当函数值域为时，求函数定义域； 当函数值

16、域为时，求函数定义域。 变式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函数. 变式4：已知，求的解析式；的解析式；的解析式。 以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组细心设计的问题链来引导和激发学生的参加意识、创新意识，培育学生探究问题的实力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深化，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步驾驭与应用实力也就自然形成了。 （八）练习沟通，反馈巩固 以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以老师、学生相互沟通来巩固本节课的学习。 （九）学生归纳

17、小结，老师评价 以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组探讨，对本节课所学的内容进行自主小结，老师刚好进行归纳总结：1函数的近代定义与传统定义的异同点；2集合与函数的联系、区分；3函数的三要素；4数形结合的思想。 三、几点启示 APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预料学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的驾驭起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。 教学中老师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的驾驭概念的思维状况，将数学学问和学生探究活动有

18、机结合，要求老师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学老师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 须要经过多次反复,按部就班,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要留意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学学问的直观结构形象。 学生对于函数概念的相识不是一蹴而就的，这就要要老师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合详细的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的学问链。在往后的教学中要留意学生对学问的图式的建立, 即加强学问间的联系和应用,如在讲解详细的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以详细函数为载体，

19、在一般函数概念的指导下对其性质进行探讨，体现了“详细抽象详细”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学学问的心理图式。 当然，APOS 理论的四个阶段并非肯定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必需遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是须要一个长期实践与反思。有些学生须要在接触了大量的详细的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能慢慢地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。

20、作为老师，我们应当理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。 高一数学教案：函数的表示方法优秀教学设计 高一数学教案：函数的表示方法优秀教学设计 教学目标： 1进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能依据实际问题列出符合题意的分段函数； 2能较为精确地作出分段函数的图象； 3通过教学，进一步培育学生由详细逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的学问进行理性化思索，对事物间的联系的一种数学化的思索 教学重点： 分段函数的图象、定义域和值域 教学过程： 一、问题情境 1情境 复习函数的表示方法； 已知A1，2，3，4，B1，3，5，试写出从集合A到集合B的

21、两个函数 2问题 函数f(x)|x|与f(x)x是同一函数么？区分在什么地方？ 二、学生活动 1画出函数f(x)|x|的图象； 2依据实际状况，能精确地写出分段函数的表达式 三、数学建构 1分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数； （2）分段函数的定义域是几部分的并； （3）定义域的不同部分不能有相交部分； （4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成； （5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不肯定是分段函数，如反比例函数的图象； （6）分段函数是生活中最常见的函数

22、 四、数学运用 1例题 例1某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费试写出收费额关于路程的函数解析式 例2如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)一条与y轴平行的动直线l从O点起先作平行移动，到A点为止设直线l与x轴的交点为M，OMx，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y求函数yf(x)的解析式、定义域、值域 例3将函数f(x) | x1| x2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，依据图象指出函数f(x)的值域 2练习： 练习1：课本35页第7题，36页第9题 （

23、3）试比较函数f(x)|x1|x|与g(x)|2x1|是否为同一函数 （4）定义x表示不大于x的最大整数，试作出函数f(x)x (x1，3)的图象并将其表示成分段函数 练习3：如图，点P在边长为2的正方形边上按ABCDA的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数 五、回顾小结 分段函数的表示分段函数的定义域分段函数的图象； 含肯定值的函数常与分段函数有关； 利用对称变换构造函数的图象 六、作业 课堂作业：课本35页习题第3题，36页第10，12题； 课后探究：已知函数f(x)2x1（xR），试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象 2.1.1函数的概念和图象（2） 2.1.1函数的概念和图

24、象（2）教学目标：1进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2进一步熟识与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3通过教学，进一步培育学生由详细逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的学问进行理性化思索，对事物间的联系的一种数学化的思索 教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域 教学过程：一、问题情境1情境复述函数及函数的定义域的概念2问题概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1理解函数的值域的概念；2能利用视察法求简洁函数的值域；3探求简洁的复合函数f

25、(f(x)的定义域与值域三、数学建构1函数的值域：（1）根据对应法则f，对于A中全部x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集2xg(x)f(x)f(g(x)，其中g(x)的值域即为f(g(x)的定义域；四、数学运用（一）例题例1已知函数f(x)x22x，求f(2)，f(1)，f(0)，f(1)例2依据不同条件，分别求函数f(x)(x-1)21的值域（1）x1，0，1，2，3；（2）xR；（3）x1，3；（4）x(1，2；（5）x(1，1)例3求下列函数的值域：y；y例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分

26、别求f(f(1)，f(g(2)，g(f(3)，g(g(4)的值（二）练习（1）求下列函数的值域：y2x2；y3|x|（2）已知函数f(x)3x25x2，求f(3)、f(2)、f(a)、f(a1)（3）已知函数f(x)2x1，g(x)x22x2，试分别求出g(f(x)和f(g(x)的值域，比较一下，看有什么发觉（4）已知函数yf(x)的定义域为1，2，求f(x)f(x)的定义域（5）已知f(x)的定义域为2，2，求f(2x)，f(x21)的定义域五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想探讨复合函数六、作业课本P31-5，8，9 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页