北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳.docx

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1、北师大版九年级数学上册一元二次方程知识点归纳一元二次方程 其次十二章一元二次方程教材内容本单元教学的主要内容：1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用：教学目标1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，相识一元二次方程及其有关概念。2.依据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，娴熟驾驭开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经验分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重

2、要数学工具的基本实力。教学重点、难点重点：1一元二次方程及其有关概念2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。难点：1.一元二次方程及其有关概念2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及敏捷运用课时支配本章教学时约需课时，详细安排如下（供参考）221一元二次方程1课时222降次7课时223实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结22.1一元二次方程教学目的1使学生理解并能够驾驭整式方程的定义2使学生理解并能够驾驭一元二次方程的定义3使学生理解并能够驾

3、驭一元二次方程的一般表达式以及各种特别形式教学重点、难点重点：一元二次方程的定义难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别教学过程复习提问1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；3结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”引入新课1方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）学过的几类方程是没学过的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二

4、次）的整式方程叫做一元二次方程”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150同时指导学生把学过的方程分为两大类：2一元二次方程的一般形式留意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0从而引导学生相识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a0)的形式并称之为一元二次方程的一般形式其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数【留意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再

5、是二次方程了)；b，c可为随意实数例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项课堂练习P271、2题归纳总结1方程分为两大类：判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次2一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程其一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，其中b，c均可为随意实数，而a不能等于零布置作业：习题22.11、2题达标测试1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()3x

6、2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x-3)=x2-1,x2-+4=0,x2-(+1)x+=0,3x2-+6=0A.1个B.2个C.3个D.4个2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,23.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()A.m=2B.m=2C.m=-2D.m24.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是5.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是课后反思： 22.2解一元二次方程第一课时干脆开平方法教学

7、目的1使学生驾驭用干脆开平方法解一元二次方程2引导学生通过特别状况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a0，c0)的方法教学重点、难点重点：精确地求出方程的根难点：正确地表示方程的两个根教学过程复习过程回忆数的开方一章中的学问，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据求下列各式中的x：1x2=225；2x2-169=0；336x2=49；44x2-25=0一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数即一般地，假如一个数的平方等于a(a0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数引入新课我们已经学过了一些方程学问，那么上述方程属

8、于什么方程呢？新课例1解方程x2-4=0解：先移项，得x2=4即x1=2，x2=-2这种解一元二次方程的方法叫做干脆开平方法例2解方程(x+3)2=2练习：P281、2归纳总结1本节主要学习了简洁的一元二次方程的解法干脆开平方法2干脆法适用于ax2+c=0(a0，c0)型的一元二次方程布置作业：习题22.14、6题达标测试1.方程x2-0.36=0的解是A.0.6B.-0.6C.6D.0.62.解方程:4x2+8=0的解为A.x1=2x2=-2B.C.x1=4x2=-4D.此方程无实根3.方程(x+1)2-2=0的根是A.B.C.D.4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是A.不论c为何

9、值,方程均有实数根B.方程的根是C.当c0时,方程可化为:D.当c=0时,5.解下列方程:.5x2-40=0.(x+1)2-9=0.(2x+4)2-16=0.9(x-3)2-49=0课后反思 九年级数学上册2.1一元二次方程（湘教版）第2章一元二次方程21一元二次方程1会依据详细问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想2能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会推断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项阅读教材P2627，完成下列问题：(一)学问探究假如一个方程通过整理可以使右边为_，而左边是只含有_个未知数的_次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是

10、_，其中_，_，_分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉(二)自学反馈1下列方程中，是一元二次方程的是()Axy21B.x210C.1x210D.x22x1302将方程(2x1)x(3x2)x2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是_活动1小组探讨例1推断下列方程是否为一元二次方程：(1)1x20；(2)2(x21)3y；(3)2x23x10；(4)1x22x0；(5)(x3)2(x3)2；(6)9x254x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是(1)一元二次方程为整式

11、方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能推断例2将方程(82x)(52x)18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项解：方程(82x)(52x)18化成一元二次方程的一般形式是2x213x110，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整活动2跟踪训练1下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x26x0；(2)2x25xy6y0；(3)2x213x10；(4)x22x31x2.2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项(1)5x214x；(2)4x

12、281；(3)4x(x2)25；(4)(3x2)(x1)8x3.3已知方程(a4)x2(2a1)xa10.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4依据下列问题，列出关于x的方程：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3课堂小结学生试述：今日学到了什么？【预习导学】学问探究0一二ax2bxc0(a，b，c是已知数，a0)abc自学反馈1D2.32，3，2【合作探究】活动2跟踪

13、训练1(1)是一元二次方程2.(1)5x24x10，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，4，1.(2)4x2810，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，81.(3)4x28x250，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，25.(4)3x27x10，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，7，1.3.(1)a4.(2)a4.4.(1)4x225.(2)x(x2)100.(3)x(1x)2.九年级数学上册应用一元二次方程教案 九年级数学上册应用一元二次方程教案 一、学生学问状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不生疏，实际问题的应用，有些抽象，虽然学

14、生在七、八年级已经进行了有关的训练，但还是有肯定的难度。 本节内容针对的学生是才进入九年级的学生，他们已经具备了肯定的抽象思维和建模实力，也具备肯定的生活阅历和初步的解一元二次方程的阅历。 二、教学任务分析 本节课的主要是发展学生抽象思维，强化学生的应用意识，使学生能通过抽象思维将一个应用题抽象成一元二次方程使问题得以解决，这也是方程教学的重要任务。但学生抽象意识和实力的发展不是自发的，须要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在详细应用中增加学生的应用实力。因此，本节教学中须要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意

15、识和实力的提高以及抽象思维的初步形成。明显，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在详细情境中发展学生的有关实力。为此，本节课的教学目标是： 学问目标： 通过分析问题中的数量关系，抽象出方程解决问题，相识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 实力目标： 1、经验分析，抽象和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型； 2、能够抽象出一元二次方程解决有关实际问题，能依据详细问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培育学生分析问题、解决问题的意识和实力； 情感看法价值观： 在问题解决中，经验肯定的合作沟通活动，进

16、一步发展学生合作沟通的意识和实力。 三、学法指导 本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，虽然学生在七八年级已经进行了肯定的训练，但本课对学生而言还是有肯定的难度。本课采纳启发式、问题串探讨式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的学问和生活阅历动身，以教材供应的素材为基础，引导学生对对问题中的数量进行分析从而抽象出方程解决问题；学生之间的合作沟通、互助学习，能更好地调动学生的学习主动性，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地激励学生动脑、动手、动口，为学生供应展示自己聪慧才智的机会，并且在此过程中发觉学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学法

17、指导。 四、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；其次环节：做一做，探究新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；情境导入 活动内容：提出问题：还记得梯子下滑的问题吗？ 一元二次方程教学设计在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？假如梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？假如相等，那么这个距离是多少？ 分组探讨： 怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理抽象出方程？ 活动目的：以学生所熟识

18、的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理为切入点，用熟识的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的学问为支点抽象出一元二次方程使问题得以解决，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系抽象出方程对上述问题进行思索，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较志向的效果，而且也调动了学生的学习热忱，激发了学生的思维，为后面的探究奠定了良好的基础。 其次环节探究新知 活动内容：见课本P53页例1： 如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头

19、。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A动身，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D动身，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；通过抽象思维建立方程模型，之后求解。 一元二次方程教学设计实际应用问题比较抽象，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这

20、个前提下抽象出图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系，从而抽象出方程模型解决问题。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）要求DE的长，须要如何设未知数？ （2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？ 学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组探讨后抽象出题目中的等量关系即： 速度等量：V军舰=2V补给船 时间等量：t军舰=t补给船 三边数量关系：一元二次方程教学设计 弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给

21、船的路程，ABBE表示军舰的路程。 学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，依据勾股定理抽象出方程求解，并推断解的合理性。 巩固练习：1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？ 文本框:8cm一元二次方程教学设计2、如图：在RtACB中，C=90，点P、Q同时由A、B两点动身分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？ 一元二次方程教学设计3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小

22、相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？ 说明：三个题目的设计从简洁问题入手，第一题通过勾股定理抽象出一元二次方程解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，抽象出方程解决面积问题；第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，通过平移道路使六块田地变成一块田地，从而依据矩形面积公式抽象出方程解决问题。 活动目的：一元二次方程的应用题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题等；本节课以教材上的引例作为动身点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和驾驭。本课由数形结

23、合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会数学抽象和建模的重要性。 活动实际效果：应用问题设置都经过细心打算。通过问题串的设立，将比较困难、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到通过抽象出方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；找寻等量关系；正确求解并检验解的合理性。实行的是一讲一练，从巩固练习的精确程度上来看，学生驾驭得比较好，能够达到预期的效果。 第三环节：练一练，巩固新知 活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。求原正方形钢板

24、的面积。 2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 3、九章算术“勾股”章有一题：甲、乙二人同时从同一地点动身，甲的速度为7，乙的速度为3。乙始终向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的驾驭状况和敏捷运用学问的程度。在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发觉、合作沟通。活动实际效果：学生在前面活动中积累的阅历，可以帮助学生比较顺当地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作沟通中解决，学生在训练过程中更加理

25、解数学抽象和建模的重要性大部分学生能够独立解决问题。 第四环节：收获与感悟 活动内容：提问： 1、列方程解应用题的关键；2、列方程解应用题的步骤；3、列方程应留意的一些问题。 学生在学习小组中回顾与反思，并进行组间沟通发言。 活动目的：激励学生回顾本节课学问方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决；通过对三个问题的解决，加深学生通过抽象思维抽象出方程解决实际问题的意识和实力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增加孩子学好数学的信念。 活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用抽象思维抽象出一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提

26、高自己解决问题的实力。 第五环节：布置作业 1、甲乙两个小挚友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小挚友几岁吗？ 2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环围着宽度相等的小路，已知小路的面积为246，求小路的宽度。 3、一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数比个位数小2，求这两位数。 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页