高三数学不等式的证明教学设计16.docx

《高三数学不等式的证明教学设计16.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学不等式的证明教学设计16.docx（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高三数学不等式的证明教学设计16不等式证明 题目第六章不等式不等式的证明高考要求1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较敏捷的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2驾驭用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围3搞清分析法证题的理论依据，驾驭分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和详细证明方法和步骤4通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的实力；能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题学问点归纳不等式的证明方法（1）比较法

2、：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号留意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：找寻结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个特别好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可以利用分析法找寻证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；

3、将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、；（程度大）、；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是削减不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中特地探讨题型讲解例1若水杯中的b克糖

4、水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事好用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知解：由题意得证法一：（比较法），证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD，例2已知a，bR，且a+b=1求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为明显成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，运用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则由a+b=1，得，于

5、是有所以，这与冲突所以证法五：（放缩法）左边右边点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3设实数x，y满意y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式明显成立原不等式成立例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符

6、号语言“，”，从而知证明：（综合法），例5已知的单调区间；(2)求证：（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考实力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值小结：1驾驭好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要留意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的相互联系、相互渗透和相互制约，这些也是近年命题的重点2在不等式证明中还要留意数学方法，如比较法（包括比差和比

7、商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要留意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类探讨等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证4基本思想、基本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式动身，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到明显成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学

8、解题的两个重要策略原则的详细运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探究解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简洁化原则：寻求解题思路与途径，常把较困难的问题转化为较简洁的问题，在证明较困难的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题相宜用反证法换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化成简洁的三角问题含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法

9、，并留意根的取值范围和题目的限制条件有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，留意放缩适度学生练习1设，求证：证明：=，则故原不等式成立点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方2己知都是正数，且成等比数列，求证：证明：成等比数列，都是正数，点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段3己知函数，当满意时，证明：对于随意实数都成立的充要条件是证

10、明：（1）若，则(2)当时，故原命题成立4比较的大小（其中0x1）解：-=0(比差)56证明：7若，求证ab与不能都大于证明：假设ab,(1a)(1b)都大于8已知：a3+b3=2,求证：a+b证明：假设a+b2则b2-aa3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2与已知相冲突，所以,a+b9101113设都正数，求证：证明：，14设且，求证：证法1若，这与冲突，同理可证证法2由知15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？

11、解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必需用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应当从式的特征联想到用基本不等式进行变换 课前后备注 高二数学教案：不等式的证明教学设计（三） 高二数学教案：不等式的证明教学设计（三） 第四课时 教学目标 1驾驭分析法证明不等式； 2理解分析法实质执果索因； 3提高证明不等式证法敏捷性. 教学重点 分析法 教学难点 分析法实质的理解 教学方法 启发引导式 教学活动 （一）导入新课 （老师活动）老师提出问题，待学生回答和思

12、索后点评 （学生活动）回答和思索老师提出的问题 问题1我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？ 点评在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采纳另一种证明方法：分析法（板书课题） 设计意图：复习已学证明不等式的方法指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处， 激发学生学习新的证明不等式学问的主动性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式 （二）新课讲授 【尝摸索索、建立新知】 （老师活动）老师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生探讨，并点评帮助学生建立分析法证明不等式的学问体系投影分析法证明不等式的概念 （学生活动）与老师一道分析综合法的逻辑关系，

13、在老师启发、引导下尝摸索索，构建新知 讲解综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步找寻它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式 问题1我们能不能用同样的思索问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去找寻它成立的充分条件呢？ 问题2当我们找寻的充分条件已经是成立的不等式时，说明白什么呢？ 问题3说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？ 点评从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件明显成立为止，从而得出要证明的结论成立就是分析法的逻辑关系 投影分析法证明不等式的概念（见课本） 设计意图：对比综合法的逻辑关系，老师层层设置问题，激发学生主动思

14、索、探讨建立新的学问；分析法证明不等式培育学习创新意识 【例题示范、学会应用】 （老师活动）老师板书或投影例题，引导学生探讨问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必需留意的问题 （学生活动）学生在老师引导下，探讨问题，与老师一道完成问题的论证 （证法二正确，证法一错误错误的缘由是：虽然是从结论动身，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误） 设计意图：驾驭用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调整课堂教学 【分析归纳、小结解法】 （老师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明

15、不等式的解题方法 （学生活动）与老师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记 1分析法是证明不等式的一种常用基本方法当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特殊是对于条件简洁而结论困难的题目往往更是行之有效的 2用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，留意分析法的证题格式 设计意图：培育学生分析归纳问题的实力，驾驭分析法证明不等式的方法 （三）小结 （老师活动）老师小结本节课所学的学问 （学生活动）与老师一道小结，并记录笔记 本节课主要学习了用分析法证明不等式应用分析法证明不等式时，驾驭一些常用技巧： 通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等在运用

16、这些技巧变形时，要留意遵循不等式的性质另外还要适当驾驭指数、对数的性质、三角公式在逆推中的敏捷运用理解分析法和综合法是对立统一的两个方面有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程 设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问 （四）布置作业 （五）课后点评 教学过程是不断发觉问题、解决问题的思维过程本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，老师提出问题或引导学生发觉问题，然后开拓学生思路，启迪学生才智，求得问题解决一个问题解决后，刚好地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特别到一般，由详细到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深化，

17、直到完成本节课的教学任务总之，本节课的教学支配是让学生的思维由问题起先，到问题深化，始终处于主动主动状态 本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化老师提出的问题和例题，先由学生自己探讨，然后老师分析与概括在老师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量变更课堂上老师包括办代替的做法 在支配本节课教学内容时，按相识规律，由浅入深，由易及难，渐渐绽开教学内容，让学生形成有序的学问结构 作业答案： 说明 很多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演化得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际说明也是一种数学运用，值得大家关注。 高二数学上册

18、不等式的证明教学设计 高二数学上册不等式的证明教学设计 课题 不等式的证明 课型 复习课 教者 教化教学目标 进一步加强对不等式学问的驾驭与应用,增加学问认知水平与问题处理实力的提高,巩固不等式的基本性质,基本证明思路,基本证明方法等学问储备. 重点 加强学问的应用实力,巩固不等式证明基本方法的驾驭 难点 娴熟驾驭不等式证明的策略与技巧,重要不等式的敏捷应用 关键 多练、多想、多分析、多积累 教学打算 幻灯片 教学步骤 教学内容 时间 导言 学问回顾 例题讲解 小结 我们已经学习了不等式的证明，那么下面我们来看一下不等式证明应留意的问题。我们从应留意的问题中看得出想解决好不等式证明的问题，我们

19、不仅应娴熟地驾驭不等式的性质，基本方法和重要不等式，那么我们学习了哪些有关这方面的学问呢？下面就让我们系统地复习一下，并应用这些用实际问题来巩固一下学问的驾驭与应用实力。 不等式的基本性质（见幻灯片） 不等式的基本证明方法（见幻灯片） 重要不等式（见幻灯片） 例1：已知a、b、c、d、x、yR+且a2+b2=x2,c2+d2=y2,求证：xyac+bd 例2：对随意正数m，求证： + |a+b| m+|a+b| |a| m+|a| |b| m+|b| 例3：设ac,bc,c0,求证： c(a-c)+ c(b-c) ab 并确定等号成立的条件 例4：解方程：2x2+27/x4=9 例5：已知a、

20、b为正常数，x、y为正实数，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值 板书设计 不等式的证明 基础学问例题 高二数学教案：不等式的证明教学设计（一） 高二数学教案：不等式的证明教学设计（一） 教学目标 （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）驾驭用比较法、综合法和分析法来证简洁的不等式； （3）能敏捷依据题目选择适当地证明方法来证不等式； （4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培育学生分析问题、解决问题的实力； （6）通过不等式证明，培育学生逻辑推理论证的实力和抽象思维实力； （7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参加，培育学生勤于思索、擅长思索的良

21、好学习习惯 教学建议 （一）教材分析 1学问结构 2重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； 综合性问题选择适当的证明方法 （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满意条件的全部数都成立（或都不成立），而并非是带入详细的数值去验证式子是否成立 （2）比较法证明不等式的分析 在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法 证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径 求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号” 其中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的 变形的目的全在于推断差的符号，而不必考虑差值是多少 变

22、形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等总之能够推断出差的符号是正或负即可 作商比较法的基本步骤是：“作商变形推断商式与1的大小关系”，须要留意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明 （3）综合法证明不等式的分析 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式动身，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式 综合法证明不等式的逻辑关系是： 利用综合法

23、由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键 （4）分析法证明不等式的分析 从求证的不等式动身，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法 有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，留意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的依据 分析法的思路是“执果

24、导因”：从求证的不等式动身，探究使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法 用分析法证明不等式的逻辑关系是： 分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出访结论成立的“充分”条件，二是不易正确运用连接有关（分析推理）步骤的关键词如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等 分析法是证明不等式时一种常用的基本方法当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决特殊对于条件简洁而结论困难的题目往往更是行之有效 （5）关于分析法与综合法 分析法与综合法是思维方向相反的两种思索方法 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题动身，一步

25、一步地探究下去，最终达到题设的已知条件即推理方 综合法则是从数学题的已知条件动身，经过逐步的逻辑推理，最终达到待证结论或需求问题即：已知 结论 分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理事实上是要找寻结论的充分条件 综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理事实上是要找寻已知的必要条件 各有其优缺点： 从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思索，方向明确，思路自然，有希望胜利；综合法由因导果，往往枝节横生，不简单达到所要证明的结论 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清楚 也就是说，分析法利于思索，综合法宜于

26、表达 一般来说，对于较困难的不等式，干脆运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦因此，通常用分析法探究证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法常常是结合在一起运用的 （二）教法建议 选择例题和习题要留意层次性 不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的老师在教学中要留意例题支配要由易到难，由简洁到综合，层层深化，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系老师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当 要坚持精讲精练的原则通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对学问进行拓展、延长，使学生沟通学问，有效地提高解题实力 在教学过程中，应通过细心设置的一个个问题，激发学生的求知

27、欲，调动学生在课堂活动中主动参加 通过学生参加教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累阅历，能够总结出比较法的实质是把实数的大小依次通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；困难的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题 学生素养较好的，老师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难 第一课时 教学目标 1驾驭证明不等式的方法比较法； 2熟识并驾驭比较法证明不等式的意义及基本步骤 教学重点 比较法的意义和基本步骤. 教学难点 常见的变形技巧. 教学方法 启发引导式. 教

28、学过程 （）导入新课 （老师活动）老师提问：依据前一节学过的学问，我们如何用实数运算来比较两个实数 （三）小结 （老师活动）老师小结本节课所学的学问 （学生活动）与老师一道小结，并记录笔记 本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的驾驭求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法并在下节课接着学习对差式变形的常用方法 设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问 设计意图，课本作业供学生巩固基础学问；思索题供学有余力的学生完成，培育其敏捷驾驭用比较法证明不等式的实力；探讨性题是为培育学生创新意识 （五）课后点评 1本节课是

29、用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，老师提出问题，让学生回忆所学学问中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式这样处理合情合理，顺理成章 2在建立新知过程中，老师引导学生分析探讨证明不等式，使学生在尝摸索索过程中形成用比较法证明不等式的感性相识 3例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并推断符号的方法，以及求差比较法的步骤在这里如何对差式变形是难点，应着重解决首先让学生明确变形目的，削减变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破 4本节课采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成老师通过启发诱导学生深化思索问题，培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页