七年级数学下册《整式的乘法》知识点归纳湘教版.docx

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1、七年级数学下册整式的乘法知识点归纳湘教版七年级数学整式的加法和减法学问点湘教版 七年级数学整式的加法和减法学问点湘教版 1、什么是单项式呢? 它是不含加法或者减法运算的整式。单独的一个数或一个字母都属于这个范围。 2、什么是单项式的系数呢? 它是指这个单项式的系数。 3、什么是单项式的次数? 它指的是单项式中的全部字母的指数的和。 4、什么叫做多项式? 它是把几个单项式相加起来得到的和。一个多项式含有多少个项，就做做几个项式。 5、什么叫多项式的次数呢? 指的是这个多次项的次数。 6、多项式要降幂以及升幂的说法吗? 有。把指数从大到小或者由小到大就是降幂或者升幂。 7、那么整式的加减法则是怎么

2、样的呢? 当进行加减的时候，通常用括号把每一个整式都圈括出来，再用加减号来连接。做这种题有些步骤须要我们学生去记住的。那就是：假如望见括号，就先把括号去掉然后再合并同类项。假如有许多个括号怎么办?首先去掉小的括号，然后再把中的括号去掉，接着把大的括号去掉。由里到外地去掉括号后，再逐层地进行化简。 七年级数学下册数据的分析学问点归纳湘教版 七年级数学下册数据的分析学问点归纳湘教版 第六章数据的分析 一、学问点讲解： 1.平均数： （1）算术 平均数：一组数据中，有n个数据 x1 ，则它们的算术平均数为 x1x2xn n . （2）加权平均数： 若在一组数字中，出现次，出现次， 出现次，那么 叫做

3、、的加权平均数。其中，、分别是、的权. 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。 2.中位数：将一组数据根据由小到大（或由大到小）的依次排列，假如数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；假如数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。4.平均数中位数众数的区分与联系相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。不同点 它们之间的区分，主要

4、表现在以下方面。1）、定义不同 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。2）、求法不同 平均数：用全部数据相加的总和除以数据的个数,须要计算才得求出。 中位数：将数据根据从小到大或从大到小的依次排列，假如数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；假如数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简洁的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。3）、个数不同 在一组数

5、据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。4）、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 x 这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。5）、特点不同 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。 中位数：与数据的排

6、列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。6）、作用不同 平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较牢靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均状况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们常常所说的平均成果、平均身高、平均体重等。 中位数：作为一组数据的代表，牢靠性比较

7、差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 众数：作为一组数据的代表，牢靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。在一组数据中，假如个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。 5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的改变范围。6.方差：设有n个数据x1，x2，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1)，xn，(x2)，我们用它们的平均数，即用(xn)2， 1 S2(x1)2(x2)2(xn)2 n来衡量这组数据的波动大小，

8、并把它叫做这组数据的方差。当一组数据比较小时可以用公式s 2 2 2 21 (x12x22.xn2)nx计算。n 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。标准差：方差的算术平方根，即 S 1 x12x22xn2n 并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.7.极差、方差和标准差的区分与联系： 联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动状况。 区分：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的改变范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异状况，对其他的数据的波

9、动不敏感。 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最终再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动状况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的改变都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动状况更敏感的指标。在实际运用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。 8.数据的收集与整理的步骤： 1.收集数据2.整理数据3.描述数据4.分析数据5.撰写调查报告6.沟通9.平均数、方差的三个运算性质 假如一组数据x1，x2，x3，xn的平均数是x，方差是s。 2 那么（1）一组

10、新数据x1+b，x2+b，x3+b，xn+b的平均数是x+b，方差是s。 2 （2）一组新数据ax1，ax2，ax3，axn的平均数是ax，方差是as. 22 （3）一组新数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，axn+b的平均数是ax+b，方差是as.二、典型例题： 22 15名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm）：2，2，1，1，0，则这组数据的极差为（） A4mmB3mmC5mmD0mm 2小伟五次数学考试成果分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习改变状况，则李老师最关注小伟数学成果的（）平均数 众数 中位数 方差 3.一组数据的方

11、差肯定是（）A正数B随意实数 C负数 D非负数 4金华火腿著名遐迩.某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分装质量为500克的火腿心片.现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示,你认为包装质量最稳定的切割包装机是（）. A.甲B.乙C.丙D.不能确定 5某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，3.8%，业内人士评论说：“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的哪个数据比较小（）. A方差B平均数C众数D中位数 6在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同

12、，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击成果最稳定的是（）.A甲 B乙 C丙 D丁 7一次数学测试后，随机抽取九年级二班5名学生的成果如下：78，85，91，98，98关于这组数据的错误说法是（）极差是20 众数是98 中位数是91 平均数是91 8若一组数据2，4，x，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（）.A B8 C D40 9我国闻名的珠穆朗玛峰海拔高达8844m，在它四周2km的旁边，屹立的几座闻名山峰的高度如下表： 则这七座山峰海拔高度的极差为m 10一组数据5，5，5，5，5的方差是 11对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量其平均数、方差计算结果如下：

13、x甲=10，S甲2=0.02；机床乙：x乙=10，S乙2=006，由此可知：_（“甲”或“乙”）机床性能好 12甲、乙两种产品进行对比试验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差S甲， 2 S乙的大小关系是 2 13一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是14已知数据a，b，c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是 15甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各抽取10袋，测得其实际质量分别如下表：（单位：克） （1）分别计算出两个样本的平均数与方差； （2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近200g？哪台包装机包装的10袋糖果质

14、量比较稳定？ 16李明、王林两人参与奥赛班集训的11次测验成果如下表：（单位：分） （1）他们两人的平均成果各是多少分？（2）他们两人的极差和方差各是多少？ （3）现要从中选一人参与竞赛，历届竞赛的成果表明，成果在98分以上才能进入决赛，你认为应选谁参与这次竞赛呢，为什么？ （4）试分析两位同学的成果特点，并对他们以后的学习各提出一条建议 17.某校为选拔参与2022年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训在集训期间进行了10次测试，假设其中两位同学的测试成果如下表所示： （1）依据图表中所示的信息填写下表： （2）这两位同学的测试成果各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）? （3）为了

15、使参赛选手取得好成果，应选谁参与竞赛？为什么？ 七年级数学下册因式分解学问点归纳湘教版 七年级数学下册因式分解学问点归纳湘教版 第三章因式分解 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx 13131 x(ab)3 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定义：假如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式 或多项

16、式。 系数取各项系数的最大公约数 字母取各项都含有的字母 指数取相同字母的最低次幂 例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部 3232 分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc. 提公因式的步骤第一步：找出公因式； 其次步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩 下的另一个因式。 留意：提取公因式后，对另一个因式要留意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要 先提取符号。 22

17、33 例1：把12ab18ab24ab分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。 2233 解：12ab18ab24ab 6ab(2a3b4a2b2) 例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式 解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发觉多项 式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式.解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4) 例3：把多项式x22x分解因式 解：x22x=(x22x)x(x2)（2）运用公式法 定义：把乘法公

18、式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab) b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2 3 3 2 2 c.逆用立方和公式：ab(ab)(aabb（拓展）) d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2（拓展）) 留意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 选择运用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项 式，可考虑完全平方公式。 例1：因式分解a214a49 2 解：a14a49=(a7)2 例2：因式分解a2a(bc)(bc)解：a2a(bc)(bc

19、)=(abc)（3）分组分解法（拓展） 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式 解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 22 例：将多项式a2ab1b因式分解 22 222 22 解：a2ab1b =(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1) 2x（4）十字相乘法（形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 222 方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数 x2(pq)xpq x2(pq)xpq(xp)(xq) 例：分解因式x2x30分解因式x2

20、52x100补充点详解补充点详解 我们可以将-30分解成pq的形式，我们可以将100分解成pq的形式，使p+q=-1,pq=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,pq=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。 所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq)解为(xp)(xq) x x5 x2 -6 x50 x2x30(x6)(x5) 3.因式分解的一般步骤： x252x100(x50)(x2) 假如多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式， 通常采纳分组分解

21、法，最终运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 留意：因式分解肯定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明 确指出在哪个范围内因式分解，应当是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必需是几个整式的积的形式。一、例题解析 提公因式法 提取公因式：假如多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法： 系数取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式： 15aab 2n1 10abba(n为正整数) 2n 4a2n1bm6

22、an2bm1(m、n为大于1的自然数) 【巩固】分解因式：(xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数. 【例2】先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y 2 求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中x. 3 12 22221 【例3】已知：bca2，求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值. 33333 公式法 平方差公式：a2b2(ab)(ab) 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式； 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：

23、a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2左边相当于一个二次三项式； 左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； 分解因式：x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza). 左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； 右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号确定.一些须要了解的公式： a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页