弹性力学理论基础建立者.docx

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1、弹性力学理论基础建立者弹性力学理论基础的建立者 柯西之前的探讨18 世纪，理性力学快速发展，成为微积分学应用的一个特别领域 1788 年，拉格朗日的分析力学(Mécanique analytique)出版书中不借助几何图形，只从虚位移原理动身推导出全部质点系力学WR哈密顿(Hamilton)曾说这本书是科学诗篇在 1811 年的增订第 2 版中，拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统，进一步探讨了连续固体和流体力学在此之前，欧拉已建立了流体力学基本方程组但在当时，固体力学还局限于不行变形的物体 19 世纪初，数学家们起先探讨弹性面的平衡和运动S热尔曼(Germain)

2、和泊松于 1815 年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程稍后，CLMH纳维尔(Navier)于 1820 年向科学院递交了引人注目的论文，应用拉格朗日和 JBJ傅里叶(Fourier)的分析方法，探讨有负载的弹性板在不忽视其厚度时的微小变形但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开，假定前者总沿它所作用的截面的法向，而这在一般状况下是不成立的他于 1821年写的论文，运用了分子模型，是弹性论中极富创建性的探讨，但此文直到 1827年才发表 当时应力和应变概念尚未建立，其特性更未得到数量刻画由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。柯西于 1822

3、1830 年间发表的一系列论文，运用连续物质和应力-应变模型，胜利地解决了这些问题应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力他认为，对物体内任一闭曲面 S，在探讨 S 的外部对内部的作用时，可以忽视物体各部分的相互体力，等价地用定义在 S 上的应力场来代替这可使计算大为简化，并为试验证明由于欧拉已有类似想法，所以现代称它为欧拉-柯西应力原理 对于物体中任一点 P，柯西通过点 P 处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力分射以σ，σ xy ，σ xz (σ yx ，σ yy ，&

4、sigma; yz ；σ zx ，σ zy ，σ zz )表示点 P 处平行于 yz(zx，xy)坐标面的截面上的应力的 x，y，z 重量，柯西得到点 P 处法向量方向余弦为 v x ，v y ，v z 的截面上应力σ vy 的重量为 σ vx =v x σ xx v y σ yx +v z σ zx ， σ vy =v x σ xy v y σ yy v z σ zy ， σvz=vxσxzvyσyzvz&sigm

5、a;zz， 现称为柯西斜面应力公式由于σ xy =σ yx ，σ yz =σ zy ，σ xz =σ zx ，9 个量σ xx ，σ zz中只有 6 个是独立的用现代语言，这 9 个量构成一个 2 阶对称张量应力张量σ vy 沿截面法向的重量为在点 P 取全部可能的截面，沿法向取长度为σ vn 的向径，则其端点构成一个二次曲面，现称为柯西应力二次曲面在以此二次曲面三个相互垂直的轴为法向的截面上，应力垂直于截面这就是柯西引入的主应力以这 3 个轴作为坐标轴，应力矩阵成为对角矩阵

6、于是，求一点处的应力状态归结为求 3 个主应力 应变与几何方程柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形对于微小变形，他用类似于探讨应力的方法探讨一点处的应变状态，指出它可用 6 个重量ε xx ，ε yy ，ε zz ，ε xy ，ε yz ，ε zx 描绘，现称为柯西应变张量或小应变张量设ξ，η，ρ分别为 x，y，z方向的位移重量，他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程对于应变，同样可构造应变二次曲面，建立主应变概念 应力与应变之间的关系对于微小变

7、形，柯西假定主应力分别沿主应变方向起初他考虑各向同性情形，此时 3 个主应力与主应变成等比例，由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式，其中有两个常数后来他进而探讨各向异性情形，此时用ε线性表示σ的公式中有 3 4 =81 个重量即 81 个弹性常数由对称性，他推出其中只有 36 个是独立的(文献1，(2)9，pp 342372)这些公式是胡克定律的推广，现在通称为广义胡克定律弹性体运动和平衡方程在 1828 年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到度，他还写出了非各

8、向同性的弹性体的运动和平衡方程 总之，柯西确定了应力和应力重量、应变和应变重量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础，成为 19 世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表 多产的科学家柯西全集柯西是仅次于欧拉的多产数学家，发表论文 800 篇以上，其中纯数学约占65，几乎涉及当时全部数学分支；数学物理(力学、光学、天文学)约占 351882年起，巴黎科学院起先出版柯西全集，把他的论文按所登载的期刊分类，同一种期刊上的则按发表时间依次排列 全集凡 27 卷，分两个系列第一系列共 12 卷，发行于 18821911

9、年，包括发表于巴黎科学院刊物上的论文其次系列共 15 卷第 1，2 两卷是发表于其他科学期刊上的论文；第 3，4，5 卷是他写的教材；第 6 至 14 卷是他个人出版的刊物51 期数学演习， 5 期分析概要(Resumés analytiques)， 8期数学新演习和 48 期分析和数学物理演习第 15 卷于 1974 年问世，主要包含他以小册子或石印形式发表的著作 全集中有 8 篇文章谈及教化、犯罪和宗教信仰问题；其他非科学著作未收入全集柯西 1824 年在综合工科学校讲授其次学年分析的讲义已由 C吉兰(Gilain)编辑出版他的大部分手稿和信件存放于巴黎科学院档案馆 在柯西生

10、前和身后，不断有人指责他发表过多；事实上他也的确发表了一些价值很小或内容重复的文章，然而他的绝大多数论著都显示了一位多才多艺的学者对科学的卓越贡献下面介绍他在前述三个领域外的主要工作 常微分方程柯西在历史上首次探讨了常微分方程解的局部性态给定微分方程 y′=f(x，y)及初始条件 y(x 0 )=y 0 ，在 f 连续可微的假定下，他用类似于欧拉折线的方法构造靠近解，利用微分中值定理估计靠近解之间差的上界，严格证明白在以 x0 为中心的一个小区间上靠近解收敛，其极限函数即为所提问题的解他指出这个方法也适用于常微分方程组柯西还给出了具有非唯一解的初值问题的例子，表明他已洞察到微分方程

11、论的本质柯西的另一贡献是他所称的界限演算即现在通称的强函数法或强级数法他指出，对以前所用的微分方程积分法，只要人们不供应保证所得级数收敛且其和是满意给定方程的函数的手段，就往往是虚幻的在探讨 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的邻域内可绽开为幂级数的微分方程 y′=f(x，y)时，他用 y′=F(x，y)与之比较，其中 F 满意：假如 f(x，y)=∑c kj (x-x 0 ) k (y-y 0 ) j ， F(x，y)=∑C kj (x-x 0 ) k (y-y 0 ) j ， 则对一切 k，j 有|c kj |≤C kj 他证明，假如 y&

12、prime;=F(x，y)在 x0 的邻域内有可绽开为幂级数的解，则 y′=f(x，y)在该邻域内也有可绽开为幂级数的解；他并且给出了选取强函数的一般方法(文献1，(1)2，6，7)得到其中 C 是任一包围 F 全部零点的围道，φ是任一多项式(文献1，(1)4，p370) n 维向量，A 是给定的 n 阶矩阵)，他引进 S(s)=det(A-sI)(I 是单位矩阵)，得到所给方程组在初始条件 x(0)=α下的解(文献1，(1)5，6)偏微分方程柯西与 JF普法夫(Pfaff)同时(1819 年)发觉了一阶偏微分PP399465) 柯西把傅里叶变换应用于他在探讨流

13、体力学、弹性论和光学中遇到的常系数线性偏微分方程他在 1815 年的论文中已正确写出了傅里叶变换的反演公式(傅里叶于 1807 和 1811 年已得到这些公式，但直到 1824 至 1826 年才发表)他还引进了积分号下的收敛因子和奇异因子(相当于δ函数)在大量运用傅里叶变换方面，柯西超过了泊松以至傅里叶本人 1821 年后，柯西考虑了写成算子形式的线性偏微分方程其中 F 是 n1 元多项式他发觉，对于满意 F(w 1 ，w n ，s) 这类指数形式的解迭加，以便用傅里叶变换得到通解对于波动方程，这就是平面谐波的迭加当给定初始条件 时，他得到了写为围道积分形式的解(文献1，(2)1

14、，2) 柯西于 1842 年考虑了一阶线性偏微分方程组的初值问题： 线性的，w k 在该邻域内也解析，则所给问题存在唯一解，并可绽开为局部收敛的幂级数(文献1，(1)6，pp461470)后来 CB科瓦列夫斯卡娅()于 1875 年重新发觉和证明白这个结果 群论E伽罗瓦(Galois)使代数探讨的性质起了根本的改变，而柯西是伽罗瓦的先驱者之一他在 1812 年关于对称函数的论文中证明，n 元有理函数能取的不同值的数目，或者不大于 2，或者不小于包含于 n 中的最大素数 p 柯西与拉格朗日、P鲁菲尼(Ruffini)同为最早探讨代换群的数学家柯西定义了代换之积，引进单位代换、逆代换、相像代换、代

15、换的阶以及共轭代换系等概念，证明 P 与 Q 相像当且仅当存在代换 R 满意 Q=P -1 RP；任一代换群的阶可被群中任一代换的阶整除；n个变量的代换构成的任何群的阶是n！的个因子(此点其实已为拉格朗日证明)；当 n4 时，n 个变量的一切代换构成的群 Sn 的子群H 在 Sn 中的指数或者是 2，或者至少是 n；假如素数 p 整除一有限群的阶，则在群中存在 p 阶元刊载这些结果的论文发表于 18451846 年(文献1，(1)9，10 及文献13)，当时即得到广泛传播，对群论的发展有相当大的影响 行列式莱布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都探讨过行列式在 19 世纪，很大程度上是柯西使它得到持

16、续发展事实上，déterminant(行列式)这个术语就是他引入的与现在通常的做法不同，柯西于 1812 年从 n 个元或数 a 1 ，a n 动身，作全部不同元之差的积 a 1 a 2 a n (a 2 -a 1 )(a 3 -a 1 )(a n -a 1 )(a n -a 2 )(a n -a n-1 )；对于这个积中各项所把这样改写后得到的表示式定义为一个行列式，记作 S(±a 11 a 22 a nn )然后他把所得式中 n2 个量排成正方形表 a 11a 12 a 1na 21a 22 a 2n a n1 a n2 a nn称这 n 2 个量构成一个n 阶

17、对称系，并用循环代换给出确定各项符号的法则他引进共轭元、主元等概念，导出行列式的很多性质他还把行列式用于几何与物理问题，例如求平行六面体体积在与波有关的问列式 数论柯西在数论中也得出不少结果或给出一些已有结论的新证明1813 年，他给出 Pde 费马(Fermat)关于每个正整数是 m 个 m 角数之和这一论断的第一个证明；他还得到，除 4 个数外，全部其余的 m 角数均可取 0 或 1(文献1，(2)6，pp320353)1840 年，他证明若 p 是形如 4l 3 的素数， A 是 p 的二次剩余， B 是 p 的二次 其中 B 为伯努利数(文献1，(1)3，p172)他还得到，假如 余的

18、数目，则其中 a，b 大于 0 小于 n 且(a/n)=1，(b/n)=-1对 n=4l1 也有类似公式他由此得到，对 n=4l3，其中 h(-n)是真本原类的个数该式称为柯西类数公式(文献1，(1)3，p388) 解析几何柯西有效地应用了直线和平面的法式方程，给出了空间直线方程的参数形式他探讨了二次曲面的分类，完整地探讨了径面和中心问题，完善了欧拉、蒙日和 JNP阿歇特(Hachette)的有关工作他在本质上给出了现在教科书上通用的由标准型二次项系数的符号来分类的结果他还探讨了单叶双曲面的母线(文献1，(2)5，8) 微分几何欧拉给出了空间曲线的弧微分公式，柯西进一步用弧长作为参数，使 x，

19、y，z 的作用对称化他定义了位于亲密平面上的主法线，指出其于1847 年，JA塞雷(Serret)于 1850 年独立于柯西给出了通称的弗雷内-塞雷公式 柯西证明曲面上通过某点的全部曲线在该点的切线位于同一平面上，此即切平面设曲面方程为 u(x，y，z)=0，他写出点(x，y，z)处的切平面方程为 误差论拉普拉斯探讨了如何使 n 个视察数据(x k ，y k )(k=1，2，n)拟合于直线 y=ax+b柯西在拉普拉斯建议下用类似方法探讨了三维数据拟合 z=axbyc的问题(文献1，(2)1，2)，他提出访一组视察数据拟合于多项式 u=axbycz，其中项数依靠于拟合的优度，在计算过程中确定他假

20、定误差εk =u k -ax k -by k -cz k -具有概率密度 f，并采纳了一些不大牢靠的假设，结果得出一个闻名的概率密度：若 f 满意他所作的假设，则它具有傅里叶变换φ(ξ)=eαξN，α，N 为常数当 N=1 时，就得到通称的柯西概率密度(文献1，(1)2，pp517) 数值分析象很多同时代数学家一样，柯西也热衷于数值靠近他计算 e 到小数点后 7位，并估计了取 e 的级数绽开前 n 项时所产生的误差他描述了解方程的迭代方法，并在详细例子中给出误差估计对于微分方程和差分方程，他也给出了很多近似解的误差估计他首次表述了牛顿

21、求方程根的方法在何种条件下收敛，并借助现称的柯西-施瓦兹不等式推广到复函数情形，给出了数值例子他把拉格朗日插值公式推广到有理函数，并得到了与高斯、埃尔米特所得结果类似的三角插值公式(文献1，(1)5，(2)3) 光学柯西在两个方面改进了 AJ菲涅尔(Fresnel)的理论第一，他从以太-分子作用的更一般的理论动身，预言了 3 条偏振光线的传播，而菲涅尔认为只有 2条其次，柯西指出菲涅尔关于光线中以太分子的振动垂直于偏振平面的看法不对，认为偏振平面平行于光线和以太振动的方向 柯西还对光的反射和折射提出了自己的看法，并相当胜利地说明了双折射他还试图在分子基础上说明光速对波长的依靠问题(文献1，(1)2，4，5；(2)2) 天体力学柯西证明白天文学中出现的一些级数的收敛性并做了具体的计算，特殊对开普勒方程的解和摄动函数的绽开进行了细致的探讨，其中有现在天文学教材上仍提到的柯西系数柯西关切 UJJ勒威耶(Le Verrier)的工作，后者于 1845 年对智神星平均运动中的大不等式做了冗长的计算，柯西随即用简洁得多的方法加以检验他运用的工具是偏近点角到平近点角的过渡公式以及所谓柯西混合法，即在计算摄动函数的负幂时把数值积分与有理积分结合起来，并按平近点角绽开摄动函数，对某项后的各项进行渐近估计(文献1，(1)5)