统计第九章教案.docx

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1、统计第九章教案第九章：系综理论第一节相空间 刘维尔定理 系综理论的建立标记着分子运动论想统计物理的过渡，它是统计物理的普遍理论，不仅适用于无相互作用的近独立子系，而且可以用来探讨有相互作用的系统，我们将主要讲解并描述经典的统计系综理论。一、怎样描述系统的微观运动状态 当粒子间的相互作用不能忽视时，应把系统当作一个整体考虑。系统由 N个全同粒子组成，每个粒子的自由度为 r，则系统的自由度为 Nr f = .若系统含有多种粒子，则系统的自由度为=ii i rN f 。这样一个经典系统在随意时刻的微观运动状态由 f 个广义坐标fq q q ,., ,2 1和与之共轭的广义动量fp p p ,., ,

2、2 1来描述。fq q q ,., ,2 1；fp p p ,., ,2 1这 2f 个变量为坐标构成一个 2f 维空间，称为 相空间或 G 空间。系统在这一时刻的运动状态可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的 代表点。当系统运动状态随时间发生变更时，其代表点就在相空间随时间改变而划出一条轨道，称为系统的 相轨道。系统的运动遵从的哈密顿正则方程iiiiqHppHq∂∂,∂∂= = & &f i ,., 2 , 1 =(9.1.1) 在给定初始条件下，哈密顿正则方程就确定了系统的相轨道，对于保守系统，哈密顿就是它的能量，其中包括：粒子动能、粒子相互作用

3、势能、粒子在保守力场中的势能 系统的哈密顿是守恒量E p q H p q q Hs s= = ) , ( ) 1 ,. ; ,., (1 1(9.1.2) E 为系统总能量。这个方程在相空间中确定一个(2f-1)维的曲面。称 能量曲面。假如能量守恒，运动状态的代表点或称相轨道将始最终能量曲面上。以 dqdp d = W 表示点(q,p)旁边的相体积元， ) , , ( t p q r 是系统代表点在能量曲面上的密度，则 t 时刻，相空间中的体积元 W d 内的代表点数为 Ω ) , , ( ρ d t p q(9.1.3) 则系统的总代表点数 Ν 为（总代表点数不随时

4、间改变）∫Ν Ω d t p q ρ = ) , , (9.1.4) 当时间由 dt t t + ，在 ) , (i ip q 处的代表点将运动到（ dt p p dt q qi i i i& & + + , ）处，在后一处的密度是 dtdtρ d+ ρ = ) dt + t , dt p + p ,., dt q + q ( ρ & &其中∑iiiii pp ∂∂ρ+ qq ∂∂ρ +t ∂∂ρ=dtρ d& & (9.1.5) 刘维尔

5、定理告知我们：假如随着一个代表点在相空间运动，其邻域的代表点密度是不随时间变更的常数，即0 =+iiiiippqq t& &r r r (9.1.9) 也即0 =dtd r (9.1.6) 式(9.1.1)代入(9.1.9)可得刘维尔定理的另一表达式- =ii i i iqHp pHq t r r r (9.1.10)其次节微正则分布 统计物理学探讨系统在给定宏观条件下的宏观性质，例如，假如探讨的是一个孤立系统，给定的宏观条件就是具有确定的粒子数 N，体积 V 和能量 E。给定一宏观条件，对应大量的微观状态。我们不行能确定系统在某时刻处在某个微观态，只能确定某时刻系统处在各个微观态的概率，宏观

6、量是相应微观量的一切可能微观态的平均值。在经典理论中，可能的微观状态在相空间构成一个连续分布，时刻 t 系统的微观状态处在 W d 内的概率为W d t p q ) , , ( r(9.2.1) ) , , ( t p q r 称为 分布函数（出现的几率密度），满意归一化条件 = W 1 ) , , ( d t p q r (9.2.2) 当微观状态处在 W d 范围内时，微观量 B 的数值密度为 B(q,p)，微观量 B 在一切可能的微观状态上的平均值为 W = d t p q p q B t B ) , , ( ) , ( ) ( r(9.2.3) ) (t B 就是与微观量 B 相应的宏

7、观物理量。 我们也可以设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下，我们把这大量系统的集合称为 统计系综。在时刻 t，运动状态处在 W d 范围内的系统数将与 ) , , ( t p q r 成正比；随意一个系统，处在 W d 范围内的概率为W d t p q ) , , ( r ，这样(9.2.3)式就可以理解为微观量B在统计系综上的平均值， ) (t B称为 系综平均值。在量子理论中，用 ) (tsr 表示时刻 t 系统处在状态 s 的概率，称为 分布函数，满意归一化条件1 ) ( =sst r (9.2.4) sB 表微观量 B 在量子态 s 上的数值， ) (t B 是与微

8、观量 B 相应的宏观物理量sssB t t B ) ( ) (= r (9.2.5) 要知道宏观量与微观量的关系，就必需知道系统的分布函数 r ， 确定分布函数 r是系综理论的根本问题。 处在平衡状态的孤立系统，宏观性质(N、E、V)不随时间变更，这样的分布称为 微正则分布。由刘维尔定理，系统能量是守恒的，分布函数 r 仅是能量 H的函数，所以分布函数 r 不随时间变更。一切可能的微观状态出现的概率都相等，这称为 等概率原理。它是平衡态统计物理的基本假设。等概率原理的经典表达式为 常数 = ) , ( p q r ， E E p q H E D + ) , (0 ) , ( = p q r ，

9、 ) , ( ) , ( p q H E E E p q H D + ， (9.2.6) 等概率原理的量子表达式为W=1sr (9.2.7) W 表示在 E 到 E E D + 的能量范围内系统可能的微观状态数，由于这 W 个状态出现的概率都相等，所以每个状态出现的概率为 W 1 。量子统计的经典极限，N 个自由度为 r 的全同粒子系统在 E 到 E E D + 范围内的微观状态数为 W = WD + dh NE E p q H ENr) , (!1 (9.2.8) 假如含有多种粒子，第 i 种粒子的自由度为ir ,粒子数为iNW = W D + dh NE E p q H Er Niii i

10、) , (!1 (9.2.9)第三节微正则分布的热力学公式 本节探讨 ) ( V E N ， ， W 与热力学量的关系和微正则分布的热力学公式。考虑一个孤立系统) 0 (A ，由微弱相互作用的两个系统1A 和2A 组成，两系统的微观状态数分别为 ) (1 1 1 1V E N ， ， W 和 ) (2 2 2 2V E N ， ， W ，所以复合系统) 0 (A 的微观状态数为) ( ) ( ) (2 2 1 1 2 1) 0 (E E E E W W = W ，(9.3.1) 两系统仅有能量的交换，体积和粒子数没有变更。2 1) 0 (E E E + = (9.3.2) 所以复合系统的微观状

11、态数为 ) ( ) ( ) (1) 0 (2 1 1 1) 0 (1) 0 (E E E E E E - W W = - W ， (9.3.3) ) 0 (W 取决于能量) 0 (E 在1A 和2A 之间的安排。假设当1 1E E = 时，式(9.3.3)的) 0 (W 具有极大值，这意味着1A 具有能量1E ，2A具有1) 0 (2E E E - = 是一种最概然的能量安排。) 0 (W 的极大值特别陡，其它安排概率远小于最概然安排概率，可以把1E ，2E 看作达到热平衡时各自的内能。) 0 (W 的极大值应满意 01) 0 (=W E，将(9.3.1)代入得 0) () ( ) () (1

12、222 21 1 2 211 1=W W + WW EEEEE EEE 11 2- = E E ，并全式去除以 ) ( ) (2 2 1 1E E W W 得2 2 1 1,22 2,11 1) ( ln ) ( lnV N V NEEEEW =W (9.3.4) 若用V NEV E N,) ( lnW =， ，b (9.3.5) 则热平衡条件可表为 2 1b b =(9.3.6)热力学中平衡条件为2 2 1 1,22,11V N V NUSUS=(9.3.7) 且 T US 1=(9.3.8) 比较可知， b 应与 T 1 成正比，令二者之比为 k 1 ，即有 kT1= b (9.3.9)

13、比较(9.3.4)和(9.3.7)二式，得 W = ln k S(9.3.10) 上述的探讨未涉及系统的详细性质，所以(9.3.9)和(9.3.10)是普适的。假如1A 和2A 不仅可以交换能量而且可以变更体积和交换粒子，依据类似的探讨，可得平衡条件为 2 2 1 1,22,11ln ) lnV N V NE EW =W (9.3.11) 2 2 1 1,22,11ln ) lnE N E NV VW =W (9.3.12) 2 2 1 1,22,11ln ) lnV E V EN NW =W (9.3.13) 定义 E NVV E N,) ( lnW =， ，g (9.3.14)V ENV

14、E N,) ( lnW =， ，a (9.3.15) 平衡条件可表为 2 1b b = ，2 1g g = ，2 1a a = (9.3.16) 将 W ln 的全微分与开系的热力学基本方程加以比较，并考虑上式，得 kT kTp ma g - = = ，(9.3.17) 因此，式(9.3.16)与热力学得到的热动平衡条件相当。下面将理论用到经典志向气体而确定常量 k 的数值。在经典志向气体中，分子的位置互不相关，一个分子出现在空间某一位置的概率与其它分子的位置无关。一个分子处在体积为 V 的容器中可能的微观状态数如下：NV V E N W ) ( ， ，由上面的关系得VNVV V kTpN=

15、W= ln ln(9.3.19) 通过上述探讨可知微正则分布求热力学函数的程序：首先求出微观状态数 W ，由此得到系统的熵：W = ln k S 。且由此可解得 E。再由 E 求得温度 T，压强 p 和化学势 m ，从而确定系统的全部热力学函数。第四节正则分布 具有确定的 N、V、T 值的系统的分布函数，称为 正则分布。不同的微观状态具有不同的能量值，交换能量不变更热源的能量rE 之和：rE E E + =) 0 ( (9.4.1) 热源能量很大) 0 (E E 。当系统处在 s 状态时，能量为sE ，热源可处在能量为sE E -) 0 (的任何一个微观状态，以 ) () 0 (s rE E

16、- W 表示能量为sE E -) 0 (的热源的微观状态数。系统处在能量sE 的量子态上的几率正比与热源的微观状态数 ) () 0 (s r sE E - W r (9.4.2) rW 改变极大，探讨改变较为缓慢的rW ln 比较便利 r r sE Errr s rE E EEE E Erb - W = -W + W = - W=) ( ln ) (ln) ( ln ) ( ln) 0 ( ) 0 ( ) 0 () 0 (9.4.3) 该式右边第一项对系统来说是个常量。依据上节(9.3.5)和(9.3.9)kT EE Errr1 ln) 0 (=W =b 可将(9.4.3)表为sEsebr-归

17、一化后有sEseZbr-=1(9.4.4) Z 为 配分 函数-=sE se Zb(9.4.5) 若用lE 表各能级，lW 表能级的简并度，则系统处在能级lE 的概率为lEl eZbr-W =1 (9.4.6) 配分函数 Z 可表为 lEll eZb - W= (9.4.7) (9.4.4)和(9.4.6)是正则分布的量子表达式。第五节正则分布的热力学公式 正则分布探讨的系统具有确定的 N、V、T 值，系统可能的微观状态可具有不同的能量值，系统的 内能就是系统微观总能量的系综平均值 Z eZe EZE UsEsEss sln1 1b bb b- =- = = = - -(9.5.1) 力 广义

18、力 Y 是 y E s 的统计平均值Zyey ZeyEZYsEsE ss sln1 1 1 1- =- = - -b bb b (9.5.2) 其中一个重要的情形是压强： ZVp ln1=b (9.5.3) 系统熵的统计表达式可以与热力学其次定律比较得到Z d yyZyd Y d y dU ln ln ) (+- = - b b配分函数 Z 是 b 和 y 的函数，所以Z d yyZd Z d ln ln ln+= bb 所以 - = - Z Z d Y d y dU ln ln ) (bb b说明 b 是 Ydy dU - 的积分因子，与热力学公式比较可得 kT1= b所以- = Z Z k

19、 S ln lnbb(9.5.4) 因此，对于给定 N、V、T 的系统，只要求出配分函数 Z，就可以由上面的式子求得基本的热力学函数。第六节实际气体的物态方程 低密度下可把气体看作志向气体，密度增加后的实际气体与志向气体性质的差异变得显著。从微观看，低密度下可以忽视分子间的相互作用，真正的气体往往只是近似符合志向气体的规律并与之有着系统的偏离。要从统计物理理论来计算这种偏离，运用以往的近独立子系的统计理论已经不行了，必需从基本的系综理论动身来考虑系统的相互作用的影响。为简洁起见，我们探讨单原子分子的经典气体，设气体含有 N 个分子气体的能量为： =+ =j iijNiirmpE ) (2312

20、f (9.6.1) 式中第一项代表分子的动能，其次项代表分子相互作用的势能。i 和 j 都由 1 到N，但保持 ilt;j，随意一对分子在求和中只能出现一次，所以互作用能量共包括) 1 (21- N N 项，由于 N 很大，可以认为有221N 项。由正则分布求物态方程，须要求配分函数 Z： -=N NENdp dp dq dq eh NZ3 1 3 13. . .!1b(9.6.2) 上式的被积函数可以分别变量，表为 3N 个函数的乘积，利用积分公式后可得：QhmNZN2322!1=bp (9.6.3) 其中Nj ird d e Qijt tfb. .1) ( -=(9.6.4) Q 称为 位

21、形积分。位形积分中的被积函数虽然也可以表为221N 项的乘积，但位形积分的计算是比较困难的，因此往往须要运用各种近似方法，最常见的就是集团绽开的方法，集团绽开就是将函数 1) (- =-ijrije fbf(9.6.5) 作为微扰来处理的一种绽开，我们可以将位形积分写成：Nj i j ij i ijj iij Nj iijd d f f f d d f Q t t t t . .). ) 1 ( . . ) 1 ( .1 1+ + + = + = (9.6.6) 上式仅保留第一项即得NV Q = ,与动量部分结合，相当于志向气体的贡献。上式若仅保留头两项而略去以后各项，这样就将 Q 简化为：N

22、j iijd d f Q t t . ). 1 ( .1 + =(9.6.7) 其次项含有一个ijf ，它的贡献代表对志向气体的修正，这个修正一共有2 ) 1 ( - N N 项，且每一项的贡献都相等，都等于 2 1 12 1 12. . t t t t d d f V d d fNN =且引入质心坐标 R 和相对坐标 r,式(9.6.7)可化为 + = + =-r d fVNV r d f VNV QN N N 312231212212 取对数，有 + + =r d fVNV N Q312221 ln ln ln(9.6.8) 再将上式其次项作级数绽开，并认为 dr fVN1222很小，绽开

23、后只取第一项得：dr fVNV N Q+ =1222ln ln (9.6.9) 所以气体的压强为QVZVp ln1ln1=b b 即 - =r d fVNVNp312211b 由此得 实际气体物态方程的近似表达式) 1 (VBN k T pV + =(9.6.10) 其中 B 称为 其次位力系数 r d fNB3122- =(9.6.11) 只要知道了分子间相互作用势的形式，就可以计算出其次位力系数，从而得到气体状态方程。下面探讨其次位力系数 B 与分子互作用势的关系：列纳德琼斯用下述半阅历公式表示两分子的互作用势 - =6 0 12 00) ( 2 ) ( ) (rrrrr f f(9.6.

24、12) 为了简化计算，我们采纳更为简化的势模型+ = ) (r f 0r r 6 00) ( ) (rrr f f - = 0r r (9.6.13) 由上式我们可以看出，在大距离上，与列纳德琼斯一样，在小距离上我们用硬心势（假设分子是直径为0r 的刚球），两分子中心的距离不能小于0r 。由此我们计算其次位力系数，用球坐标计算dr r e N BkTr20) () 1 ( 2 - - =fp (9.6.14) 将 ) (r f 代入得 - - = -0002) (2) 1 ( 2rrkTrdr r e dr r N Bfp (9.6.15) 假如气体的温度足够高，分子的平均动能将大于其互作用势

25、能， kT0f lt;lt;1，此时， kT ekTrff- -1) (，所以上式积分便等于- =kTr rN B3 3230 030fp 。将其写成 N k Tab B - =(9.6.16) 其中30 02303232r N a Nr b fp p= = ，(9.6.17) 将以上代入(9.6.10)得V a V b NkT pV - + = ) 1 (由于 1 ，即 1 x ，式(9.7.11)的被积函数中可作近似 y ey -1 ，因而 1313) (023033= -= x xydy yx edy yxx因此高温下内能和热容量可近似为 NkT CNkT U Uv330=+ =(9.7

26、.13) 这正是经典统计理论的结果。在低温下DT q x ，可将式(9.7.11)积分的上限取为无穷大而有 34 430335 15313) (x x edy yxxyp p= -= 因此在低温下固体的内能和热容量可近似为3434 40) (54353DvDTNk CTNk U Uqpqp=+ =(9.7.14) 上式称为 德拜3T 律 律。对于非金属固体，上式与试验符合。金属在 3K 以上也3T 律，3K 以下不能忽视自由电子对热容量的贡献，上式只描述固体热容量的原子部分。第八节 液 液 He4的性质和朗道超流理论 自然界中氦有两种稳定的同位素， He3和 He4。He3的自旋为 2 / h

27、 ，是费米子， He4的自旋为零，是玻色子。它们在通常压强下直到接近肯定零度仍可保持为液态。对于 He4其突出的特点是液态有两特性质完全不同的相，HeI 和 HeII。HeI 具有通常液体的特性，而 HeII 则具有一系列独特的性质。沿气液两相平衡曲线降温至 K T 17 . 2 =l，试验发觉原子沸腾的 HeI 突然变得安静了，转变为新的相 HeII。相变温度随压强而略有不同，HeI HeII 的转变是一种连续相变，无潜热和体积突变，假如从两侧趋近相变点，比热以对数形式趋于无穷。由于比热随温度改变的曲线形态酷似希腊字母 l ，因此称为 l 相变。HeII 最引人注目的性质是其超流性。试验发觉

28、，HeII 可以沿极细的毛细管流淌而几乎不呈现粘滞性。试验还发觉存在一个临界速度cV ，流速在cV 以上，超流淌性即被破坏。另一方面，假如将细丝悬挂的圆盘浸在 HeII 中，让圆盘作扭转振动，盘的运动将受到阻尼。用这方法测得的 HeII 的粘滞系数与 HeI 的粘滞系数可以比拟，比用毛细管测得的至少大610 倍。试验还发觉，用圆盘测得的HeII 的粘滞系数剧烈地依靠于温度，且随 K T 0 而趋于零。HeII 另一引人注目的性质是所谓力热效应和热力效应以及相关的喷泉效应。设两容器有 HeII，中间有毛细管相连，假如使两容器的温度分别保持为 T T T D + 和 ，HeII 将从温度为 T 的

29、容器流往温度为 T T D + 的容器，使两容器产生压强差。由温度差导致压强差称为 热力效应。反之，假如在两容器间维持压强差 p D ，HeII 将从压强 P+ p D 的容器流向压强为 P 的容器而使前者升温后者降温。由压强差导致温度差称为 力热效应。喷泉效应是一种热力效应。光的辐照使管中的刚砂粉末升温，容器中的超流流入管中从上端的毛细管喷出，高可达 30至 40cm。把 HeII 看成是正常成分和超流成分的混合物只是一种直观的描述，不能认为 HeII 中的某些原子属于正常成分，其它原子属于超流成分。朗道把温度不非常接近lT 的 HeII 看成处于弱激发状态的量子玻色系统，在基态的背景上产生

30、了元激发组成的志向气体，前者相应于超流成分，后者相应于正常成分。最终介绍朗道的超流判据。考虑 0K 的情形，这时 HeII 全部为超流成分。前面讲过，假如流速小于临界速度cV ，超流体可无摩擦地通过毛细管；流速超过cV时，管壁对流体将有粘滞阻力。粘滞阻力使流体的整体动能削减。朗道认为，所削减的功能转化为流体中的元激发能量。第九节 铁磁性的平均场理论 前面我们用热力学理论探讨 铁磁 顺磁相变问题，现在我们用统计物理学探讨这问题。考虑 N 个磁性原子定域在晶体的格点上假设原子的总角动量量子数为 1/2，原子的磁距为 m e 2 / h = m 。假如相邻原子的两电子自旋平行，泡利原理要求两电子保持

31、较远距离而降低其库伦作用能量。反之，自旋反平行的两电子距离可较近而具有较高的静电作用能量。这样，两个近邻原子的互作用能与其电子的自旋状态有关。为简洁起见，考虑单轴各向异性铁磁体，其原子的自旋平行 ) 1 ( = s 或反平行 ) 1 ( - = s 于一个晶轴。我们用 z 轴表示这晶轴的方向。在这模型中，铁磁体原子的互作用能可表为-j ij iJ, s s(9.9.1) 式中 J 是互作用常量， j i, 表示对格点 i，j 求和时只对近邻原子对求和，缘由是交换作用只存在于近邻原子。互作用能具有上式形式的自旋系统称为 易兴模型。假如 Jgt;0，则当全部自旋具有相同取向时系统具有最低的能量，相

32、应于肯定零度下的状态。在足够低的温度下，也会有较多的自旋具有相同的取向。这就是无外磁场时铁磁体具有自发磁化的缘由。值得指出，虽然交换作用是短程的，只存在于近邻自旋之间，但系统中可以出现长程有序。换句话说，在具有宏观距离的两点通过近邻自旋的交换作用，其自旋可以产生长程相关。假如存在沿 z 方向的外磁场 B，磁距因其取向不同可具有 B B m m + - 或 的势能，记为 s m B - 。系统的能量取决于 N 个自旋的取向： ,., , 2 1 Ns s s ，简记为 is ，称为一个位形。 - - =ii jj ii iB J E s m s s s, (9.9.2) 系统的配分函数为 = =

33、 =+- = =1 1 1| | |1 2,. . .s s ss bm s s bss bNj i ii j iiiB JEe e Z(9.9.3) 式中各is 独立求和。因此式(9.9.3)的 | |is共有N2 个可能的项，相应与N2 个可能的位形。易兴模型虽然简洁，但严格求解却极为困难。本节只讲解并描述一种最简洁的近似解法，称为 平均场近似。将式(9.9.2)写为j ij iijiiJ B E s s s m - - =,21 (9.9.4) 式中当自旋 i 和自旋 j 为近邻时， J J ij = ，否则为零；并去掉求和号右上角的撇，对指标 I,j 独立求和而乘以因子 1/2。 作用

34、于自旋 i 的力为 + =-jj ijiJ BEs ms 上式右方第一项代表外磁场、其次项代表近邻自旋对自旋 i 作用。这就是说，作用于自旋 i 的等效磁场iB 为 + =jj ij iJ B B sm1 由于近邻自旋js 的微观运动状态不断改变，iB 是涨落不定的，其平均值为 ijj ij iJz B J B B smsm+ = + =1 1 最终一步考虑到各自旋在模型中是全同的而令i js s = ；z 是近邻自旋数，取决于晶格的空间维数和结构。由于is 与 i 无关，因而 B 也与 i 无关，可将上式写为 J z B B sm1+ =(9.9.5) 上式是在平均场近似中作用于各个自旋的等

35、效磁场。它把近邻自旋对某个自旋的作用用平均场 m s / Jz 代替而忽视其涨落。这样就把相互作用的自旋系统化为近独立的自旋系统。在平均场近似下，式(9.9.3)的配分函数 Z 简化为 =iBBiiNiie e Zss bms s ss bm1 2.或NZ Z 1= (9.9.6) 其中B Be e Zbm bm -+ =1(9.9.7) 式(9.9.7)与式(7.8.1)形式完全相同，差别只是用 B 代替 B 。依据式(9.5.2)，系统的磁化强度为 s mmm mb bbm bmbm bmNkTBNe ee eNZBNZBmB BB B= =+-=-) tanh(ln ln11 (9.9.

36、8) 其中 ) tanh(kTB ms = ，是温度为 T 时 s 的平均值。在无外磁场时，有) t a n h ( s b s Jz = (9.9.9) 上式是超越方程，可用图解法求解。第十 节巨正则分布 具有确定的( m ， ，T V )的系统的分布函数，称 巨正则分布。该系统可设想为与热源和粒子源接触而达到平衡的分布。系统与源合起来构成一个复合系统，这复合系统是孤立系统，具有确定的粒子数) 0 (N 和能量) 0 (E ，以 E 和rE 表系统和源的能量) 0 (E E Er= + ) 0 (E E ) 0 (N N Nr= +) 0 (N N (9.10.1) 当系统处在粒子数为 N，

37、能量为sE 的 s 态时，源可处在粒子数 N N -) 0 (为能量E E -) 0 (的任一微观状态，以 ) () 0 ( ) 0 (s rE E N N - - W ， 表其微观状态数 ) () 0 ( ) 0 (s r NE E N Ns- - W ， r(9.10.2) 将rW 取对数，按rN 和rE 绽开，只取头两项，有 ) (ln) (ln) ( ln) ( ln) 0 ( ) 0 () 0 ( ) 0 () 0 ( ) 0 (sE ErrN Nrrrs rEENNE NE E N Nr r-W + -W + W =- - W= =， s rE N E N b a - + - W

38、= ) ( ln) 0 ( ) 0 (， (9.10.3) 所以ssE NNeb ar- -(9.10.4) 归一化得 ssE NNeb ar- -X=1(9.10.5) X 为 巨配分函数，定义为： =- -= X0 N sE Nseb a (9.10.6) 巨正则分布的经典表达式为 WX=- -deh Ndqdpp q E NNrN) , (!1b ar(9.10.7) 其中的 X 表示为 W = X -d eh Nep q ENNrN) , (!ba (9.10.8)第十一节 节巨正则分布的热力学公式 系统的粒子数和能量值不是确定的 1、平均粒子数 - - - -X=X=N sE NN sE Ns se Ne Nb a b aa) (1 1X- = X-X= ln ) (1a a(9.11.1) 2、内能 - - - -X=X= =N sE NN sE Nss se e E E Ub a b ab) (1 1X- = X-X= ln ) (1b b(9.11.2) 3、广义力 - - - -X=X=N sE NN sE N ss seyeyEYb a b ab)1(1 1X- = X-X= ln1)1(1y y b b (9.11.3) 特例X- = ln1Vpb(9.11.4) 4、考虑X-X +X - = + - l