4.7 三角函数的综合应用microsoft word 文档doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网4.7 三角函数的综合应用三角函数的综合应用一、明确复习目标1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角；2掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。二建构知识网络1.三角函数的性质和图象变换;2.三角函数的化简,求值,证明恒等变形的策略与技巧.3.正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形;4在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角”:(1)arcsin,;2 2aaa 表示上 正弦值等于 的角,-1,1(

2、2)arccosa 表示0，上余弦值等于 a 的角,a1,1;(3)arctan(,),;2 2aaaR 表示上 正切值等于 的角,(4)对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出.例如:sin=0.3,是钝角,则=arcsin0.3.三、双基题目练练手1.已知tan3x ，则 x 等于（）33A.arctanB.arctan323C.karctanD.karctan2.若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点 P（cosBsinA，sinBcosA）在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3111ABC的三个内角的余弦值分别等于222

3、A B C的三个内角的正弦值，则(）A111ABC和222A B C都是锐角三角形B111ABC和222A B C都是钝角三角形C111ABC是钝角三角形，222A B C是锐角三角形D111ABC是锐角三角形，222A B C是钝角三角形4.如图，ABC 是简易遮阳棚，A、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 ABD 面积最大，遮阳棚 ABC 与地面所成的角ACDB阳光地面http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网为A.75B.60C.50D.455（2003 上海）若 x=3是方程 2cos（x+）=1 的解，其中（0，2）

4、，则=_.6（2004 北京西城二模）函数 y=sinx(sinx+3cosx）（xR）的最大值是_.答案答案:1-4.CBDC;2.A+B2.A2B，B2A.sinAcosB，sinBcosA.,P 在第二象限.3.sinA2=cosA1,A1、B1、C1是 锐 角。如 果 A2、B2、C2也 是 锐 角，则212121,222AA BB CC，2221113()22ABCABC矛盾，故选 D。4.作 CE平面 ABD 于 E，则CDE=40,延长 DE 交直线 AB 于 F，则CFD 是遮阳棚与地面所成的角，在CFD 中，40sinCF=）（140sinDF.DF=40sin140sin）

5、（CF.当=50时，DF 最大.答案：C;5.34;6.最大值为 1+21=23.四、经典例题做一做【例【例 1 1】求角(用反三角函数表示):(1)已知 tanx=3,x0.2求 x 的值;(2)已知 cos2=257,(0,2),sin=-135,(,23)求+.解：(1)在(,)2 2 上,arctan3x 时,tanx=3;在3(,)22上,arctan3,tan(arctan3)3x时,x=arctan3 或+arctan3.(2)由;27cos212sin25 得sin=53,从而 cos=54,且 cos=-1312又+(,2)cos(+)=coscos-sinsin=-6533

6、.+=33arccos65http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网即+=2-arccos6533提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。【例 2】（2007 启东质检）已知 A、B、C 是ABC三内角，向量(1,3)m ，(cos,sin)nAA且1m n，（1）求角 A；（2）若221 sin23cossinBBB，求Ctan解:（1）1m n1,3cos,sin1AA，即3sincos1AA312(sincos)122AA,1sin62A50,

7、666AA，66A，3A（2）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B，2tantan20BB，tan2B 或tan1B 而tan1B 使22cossin0BB，舍去，tan2B tantantantantan1tantanABCABABAB 2385 3111 2 3【例【例 3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南)102arccos(方向300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北45的http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网方向移动，

8、台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解法一:设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则6010 tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于 PO=300,PQ=20t5445coscosOPQ故2222 222209600300OQPQPOPQ POcosOPQtt因此22 222096003001060ttt2362880tt解得2412 t解法二:如图建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向

9、.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)()()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在 t 时，该城市 O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412 t.答：12 小时后该城市开始受到台风气侵袭http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件，再设计出合理的解题方案。【例 4】已知函数()si

10、n()cos()788f xxx的图象向右平移8个单位得到函数()g x的图象.求函数()g x的表达式;证明当()3544x，时，经过函数()g x图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.解：（I）7()()88xx1()sin()cos()sin(2)8824f xxxx11()sin2()sin22842g xxx（II）证明一：依题意，只需证明函数 g(x)当35()44x，时是增函数sin2x在22222kxk即()44kxkkZ的每一个区间上是增函数当1k 时，()sin2g xx在35()44，是增函数,则当35()44，x时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零【研讨

11、【研讨.欣赏】欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB，现要修建一条铁路 L，L 在 OA 上设一站 A，在 OB 上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km，问把 A、B 分别设在公路上离中心 O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在AOB 中，设 OA=a，OB=b.因为 AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以AOB=135.又 O 到 AB 的距离为 10.0112sin135|10|2220SabABABab得设OAB=，则OBA=45.所以 a=sin10，b=）（

12、45sin10，ab=sin10）（45sin10http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=）（sin22cos22sin100=）（2cos1422sin42100=2452sin2400）（22400，当且仅当=2230 时，“=”成立.所以|AB|22222400）（=400（2+1）2，当且仅当 a=b，=2230时，“=”成立.所以当 a=b=0322sin10=10）（222时，即当 AB 分别在 OA、OB 上离 O 点10）（222km 处，能使|AB|最短，最短距离为 20（21）.法二;0|10cot10cot(45)AB01020sincossin

13、2sin(245)1法三:|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+2ab2ab+2ab=（2+2）ab，温馨提示:1.若直接建立|AB|2与角的函数关系,求最值值困难;2.先视|AB|2为 a,b 的函数放缩,再把 ab 看成的函数求出最小值;3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立.五提炼总结以为师1.三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角；2正、余弦定理解斜三角形的方法；3三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等；实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网同步练习4.7 三

14、角函数的综合应用三角函数的综合应用【选择题】1.（2004 北京西城一模）设 0|4，则下列不等式中一定成立的是A.sin2sinB.cos2cosC.tan2tanD.cot2cot2.己知 0a1，42，则实数log sin(sin)aM,log cos(cos)aN,log sin(cos)aP的大小关系是()(A)MNP(B)MPN(C)MNP(D)MPN3.对于函数 y=cos(sinx)，正确的命题是(C)A.它的定义域是-1，1 B.它是奇函数 C.ycos1,1 D.不是周期函数4.（2005 启东市调研）在斜ABC 中，sinA=cosBcosC 且 tanBtanC=13，

15、则A 的值为()A.6B.3C.32D.65【填空题】5.函数 y=sinxcosx 的图象可由 y=sinx+cosx 的图象向右平移_个单位得到.6.已知 x（0，2）,则函数 y=xxxxsin42cos3sin1sin2）（的值域是_.练习简答：1-4.BBCA；4.由.sinA=sin（B+C）=cosBcosC，得 tanB+tanC=1.又 tan（B+C）=CBCBtantan1tantan=33，tanA=33.A=6.5.2;6.y=2321sin1(sin1)xx.令1sin1x=m，m（21，1），则 y=2m2+3m1.（0，81.【解答题】7(1)(1)已知21si

16、nx，求角x的集合;(2)已知 cosx=-0.4,x0,2,求角 x 的集合.解：先找出一个周期上的角,再加上周期.(1)在,2 2 上,1sin()62;6x http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网在3(,)22上,71sin()sin662 ,76x所求角 x 的集合为：72,266x xkxkkZ或，（常写成(1),6nx xnnZ，）(2)当0,arccos(0.4)arccos0.4xx时;当(,2,arccos0.4xx时综上得arccos0.4x8为进行科学实验，观测小球 A、B 在两条相交成60角的直线型轨道上运动的情况，如图所示，运动开始前，A 和

17、 B 分别距 O 点 3m 和 1m，后来它们同时以每分钟 4m的速度各沿轨道ll12、按箭头的方向运动。问：（I）运动开始前，A、B 的距离是多少米？（结果保留三位有效数字）。（）几分钟后，两个小球的距离最小？AA/Ol1l2B/B解：小球开始运动前的距离为：ABm 3123160726522cos.（）（2）设 t 分钟后，小球 A、B 分别运动到 A、B处，则AAtBBt.44，当034t时，A Bttttttcos22223414234146048247当t 34时，A Bttttttcos222243142431412048247http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费

18、组卷搜题网故A Bttt22482470（）A Btt22481440（）当t 14，A Bmmin 2故14分钟后两个小球的距离最小。9 P 是以 F1、F2为焦点的椭圆上一点，且PF1F2=，PF2F1=2，求证：椭圆的离心率为 e=2cos1.剖析：依据椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，e=ac22.在PF1F2中解此三角即可得证.证明：在PF1F2中，由正弦定理知2sin|1PF=sin|2PF=）（3sin|21FF.由比例的性质得3sin|21FF=sin2sin|21 PFPFe=|2121PFPFFF=sin2sin3sin=2cossin2sin2

19、sincos2cossin=）（）（cos21sincossin2cos2sin22=cos21cos42=2cos1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.10ABC中，内角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知a.b.c成等比数列，且Bcos43（1）求CAcotcot的值；（2）若32BA BC，求ca 的值http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解:（1）由Bcos43得：47sinB由acb 2及正弦定理得：CABsinsinsin2于是：BCACAACACCCAACA2sinsinsinsinsincoscossinsincossincoscotcot7

20、74sin1sinsin2BBB（2）由23BCBA得：23cosBac，因Bcos43，所以：2ac，即：22b由余弦定理Baccabcos2222得：5cos2222Bacbca于是：9452222accaca故：a+c3【探索题】(2005 上海)对定义域是fD.gD的函数)(xfy.)(xgy，规定：函数gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当),(),(),()()(（1）若函数11)(xxf，2)(xxg，写出函数)(xh的解析式；（2）求问题（1）中函数)(xh的值域；（3）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为 R的函数)(xfy

21、，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明解(1)2(,1)(1,)()111xxh xxx http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(2)当 x1 时,h(x)=12xx=x1+11x+2,若 x1 时,则 h(x)4,其中等号当 x=2 时成立若 x1 时,则 h(x)0,其中等号当 x=0 时成立函数 h(x)的值域是(,014,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=4则 g(x)=f(x+)=sin2(x+4)+cos2(x+4)=cos2xsin2x,于是 h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2xsin2x)=cos4x.另解令 f(x)=1+2sin2x,=2,g(x)=f(x+)=1+2sin2(x+)=12sin2x,于是 h(x)=f(x)f(x+)=(1+2sin2x)(12sin2x)=cos4x.