概率论与数理统计复习题及参考答案.docx

《概率论与数理统计复习题及参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复习题及参考答案.docx（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计复习题及参考答案， 概率论与数理统计 习题一、单项选择题 1设 A 与 B 互为对立事务，且 PAgt;0，PBgt;0，那么以下各式中错误的选项是 A 0 ) | ( = B A PBPB|A=0CPAB=0 DPA∪B=12设 A，B 为两个随机事务，且 PABgt;0，那么 PA|AB= APA BPAB CPA|BD1 3设随机变量 X 在区间2，4上听从匀称分布，那么 P2lt;Xlt;3= AP3.5lt;Xlt;4.5BP1.5lt;Xlt;2.5 CP2.5lt;Xlt;3.5DP4.5lt;Xlt;5.5 4设随机变量 X 的概率密度为 f (x)=,

2、 1 , 0; 1 ,2xxxc那么常数 c 等于 A-1 B21- C21D1 5设二维随机变量X，Y的分布律为 YX 0 1 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 那么 PX=Y= A0.3 B0.5C0.7D0.8 6设随机变量 X 听从参数为 2 的指数分布，那么以下各项中正确的选项是 AEX=0.5，DX=0.25 BEX=2，DX=2 CEX=0.5，DX=0.5 DEX=2，DX=4 7设随机变量 X 听从参数为 3 的泊松分布，YB8， 31，且 X，Y 相互独立，那么 DX-3Y-4= A-13 B15C19 D23 8DX=1，DY

3、=25，ρ XY =0.4，那么 DX-Y= A6B22C30D46 9在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是 A在 H 0 不成立的条件下，经检验 H 0 被拒绝的概率 B在 H 0 不成立的条件下，经检验 H 0 被接受的概率 C在 H 0 成立的条件下，经检验 H 0 被拒绝的概率 D在 H 0 成立的条件下，经检验 H 0 被接受的概率 10设总体 X 听从0，2θ上的匀称分布θgt;0，x 1 , x 2 , , x n 是来自该总体的样本， x 为样本均值，那么θ的矩估计 q ˆ = A x 2 B x C2

4、xDx 21 1A2.D3.C 4.D 5.A 6.A7.C8.B9.C10.B 二、填空题 11设事务 A 与 B 互不相容，PA=0.2，PB=0.3，那么 P B A =_. 12一个盒子中有 6 颗黑棋子、9 颗白棋子，从中任取两颗，那么这两颗棋子是不同色的概率为_. 13甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为 0.4，0.5，那么飞机至少被击中一炮的概率为_. 1420 件产品中，有 2 件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，那么其次次取到的是正品的概率为_. 15设随机变量 XN1，4，标准正态分布函数值Φ1=0.8413，为使

5、PXlt;alt;0.8413，那么常数alt;_. 16抛一枚匀称硬币 5 次，记正面对上的次数为 X，那么 PX≥1=_. 17随机变量 X 的全部可能取值为 0 和 x，且 PX=0=0.3，EX=1，那么 x=_.18设随机变量 X 的分布律为 那 么 D X =_.19设随机变量 X 听从参数为 3 的指数分布，那么 D2X+1=_. 20设二维随机变量X，Y的概率密度为 f (x, y)= , , 0; 1 0 , 1 0 , 1其他y x那么 PX≤21=_. 21设二维随机变量X，Y的概率密度为 =+ -, , 0; 0 , 0 ,) , () (其他y x ey

6、x fy x那么当 ygt;0 时，X，Y关于 Y 的边缘概率密度 f Y (y)= _.25设总体 XNμ,σ2 ,x1 ,x 2 ,x 3 为来自 X 的样本，那么当常数 a=_时，3 2 12141ˆ x ax x + + = m是未知参数μ的无偏估计. 11. 0.512. 351813.0.714. 0.915. 316.323117.71018.119.94 20.2121. ye -25. 41三、计算题26设二维随机变量X，Y的分布律为试问：X 与 Y 是否相互独立？为什么？26 Y 1 2 P 31 32 Y X 1 2 1 91 92 2

7、92 94 X 1 2 P 31 32 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 ，因为对一切 i,j 有 P , Pj i j iY Y P X X Y Y X X = = = = =所以 X，Y 独立。 27假设某校考生数学成果听从正态分布，随机抽取 25 位考生的数学成果，算得平均成果 61 = x 分，标准差 s=15 分.假设在显著性水平 0.05 下是否可以认为全体考生的数学平均成果为 70 分？附：t 0.025 (24)=2.0639 解：H0: 700= = m m ，H1: n s/x m -t(n-1), n=25, 0639 . 2 ) 24 ( ) 1

8、 (025 . 02= = - t n t a 0639 . 2 3 325 / 1570 61s/x = - =-=-nm, 拒绝该假设，不行以认为全体考生的数学平均成果为 70 分。28司机通过某高速路收费站等候的时间 X单位：分钟听从参数为λ=51的指数分布.1求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率 p；2假设该司机一个月要经过此收费站两次，用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数，写出 Y 的分布律，并求 PY≥1. 解：(1)f(x)=-0 , 00 , e51x51xxPXgt;10=21010515151- + +- -= =e e dx ex x

9、(2) PY≥1=1- ) 0 ( P 2 =1-4 2 2 2 0 2 022 ) 1 ( ) (- - - - = - e e e e C 29设随机变量 X 的概率密度为 =. , 0; 2 0 ,2 ) (其他xxx f 试求：1EX，DX；2D2-3X；3P0lt;Xlt;1. 解：(1)E(X)= + -dx x xf ) ( = 202xx dx=34 ) ( E2X = + -dx x f x ) (2= 2022xx dx=2 D(X)= ) ( E2X -2) ( X E =2-2)34( =92 2D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9 92=2 (3)P0l

10、t;xlt;1= = =1010412) ( dxxdx x f 30男子中有 5%是色盲患者，女子中有 0.25%是色盲患者，假设从男女人数相等的人群中随机地选择一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解设 A =抽到一名男性； B =抽到一名女性； C =抽到一名色盲患者，由全概率公式得 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 5% 0.25% 2.625%2 2P C P C A P A P C B P B = + = + = 1( ) ( ) ( | ) 5% 2.5%2P AC P A P C A = = = 由贝叶斯公式得 ( ) 20( | )( ) 21

11、P ACP A CP C= = 31.某保险公司对一种电视机进行保险，现有 9000 个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为 0.001，参与保险的客户每户交付保险费 5 元，电视机损坏时可向保险公司领取 2000 元，求保险公司在投保期内: 亏本的概率； 获利不少于 10000 元的概率。解 解 101,2, ,9000iiiix=第台电视机坏设 第台电视机正常9000 90001 1 1 0.001 0 0.999 0.001 0.000999 9 9i i i i i ii iP P E D E D x x x x x x= = = = = = = = 保险公司亏

12、，那么电视机坏的台数:gt;9000*5/2000=22.5 9000 900090001 190001122.5 922.5 1 (4.5) 09i ii iiiiiEP PDx xxx= = - - = = -F 保险公司获利不少于 10000 元，那么电视机坏的台数: lt;(9000*5-10000)/2000=17.59000 900090001 190001117.5 917.5 (2.83)9(3) (2)(2) (2.83 2) 0.9772 0.02145 0.83 0.9953 2i ii iiiiiEP PDx xxx= = - - = = . 4设随机变量 X 听从参数

13、为 2 = l 的泊松分布，那么 = - ) 1 (2X E ( ). 5假设随机变量 X 的概率密度为2361( )6xXp x ep-= ，那么 ( 2) D X - = 6设 Y X与 相互独立同听从区间 (1,6)上的匀称分布， = ) 3 ) , (max( Y X P . 7设二维随机变量X,Y的联合分布律为 X Y1 2 ip0a121 61 131 b那么 ( ), (). a b = =8设二维随机变量X,Y的联合密度函数为 =- -其它 00 , 0) , (2y x aey x fy x，那么 = a 9假设随机变量 X 与 Y 满意关系 2 3 X Y = - ，那么

14、X 与 Y 的相关系数XYr = . 10.94 ； 2 ( ) P BA = 0.3；311, ( )6 2a P Xp= = ；4 2( 1) 5 E X - =；5那么 ( 2) 18 D X - = ； 621(max( , ) 3)25P X Y = ；71 1,12 2a b = = ； 8 2 a = ；9 1XYr = - ； 二选择题 1设当事务 C B和 同时发生时事务 A 也发生，那么有.) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (C B P A P d C P B P A P cC P B P A

15、P b BC P A P aU = - + - + = 2假设事务 B A和 满意 1 ) | ( = B A P ，那么. (a) B 是必定事务 b 0 ) ( = - A B P(c) B A(d) 0 ) | ( = B A P3以下函数不是随机变量密度函数的是( ). (a)sin0( ) 20 x xp xp = ， 其它 (b) =其它 01 0 2) (x xx p(c) sin0( )0 x xp xp = ， 其它 (d) =其它 01 0 3) (2x xx p4设随机变量 X 听从参数为 2 = l 的泊松分布，那么概率 = = ) ( EX X P . 1 1 2 2

16、1 1( )( )2 ( ) ( )22 2a e b e c e d e- - - - 5假设二维随机变量X,Y在区域 ( , )/0 1,0 1 D x y x y = =. 1 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( )4 2 8a b c d1 ( ) b2 ( ) b 3(c)4 ( ) d5 ( ) b 三 、解答题 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为 5：3：2, 三车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。解 解 设 ( 1,2,3)iA i = 分别表示取到的产品由甲、乙、丙生产

17、，且设 B 表示取到一件次品，那么由全概率公式31( ) ( ) ( | )0.5 0.05+0.3 0.04 0.2 0.02 0.041i iiP B P A P B A= + = 3设随机变量 X 的密度函数为(1 )0 1( )0 A x xf x- . 解 解 1 2 A= ； 2200( ) 20 111xF x x x xx = - = - = - - =8 某汽车销售点每天出售的汽车数听从参数为 2 l = 的泊松分布。假设一年 365 天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。求一年中售出 700 辆以上汽车的概率。附：(1) 0.8413, (1.11) 0.866

18、5, (2) 0.9772, (2.23) 0.9871 F = F = F = F = 8 解 设 Y 表示售出的汽车数，由中心极限定理，可得 700 730( 700) 1 ( 700) 1 ( )7301 ( 1.11) 0.8665P Y P Y- = - -F= -F - =一.选择题 1. 假如 1 ) ( ) ( + B P A P ，那么 事务 A 与 B 必定 ) (A 独立；) (B 不独立； ) (C 相容； ) (D 不相容. 2. 人的血型为 O、A、B、AB 的概率分别是 0.4； 0.3；0.2；0.1。现任选 4 人，那么 4 人血型全不相同的概率为： ) (A

19、0.0024； ) (B40024 . 0 ；) (C0. 24； ) (D224 . 0 . 5. 设3 2 1, , X X X 是取自 N( , ) m 1 的样本，以下 m 的四个估计量中最有效的是 ) (A3 2 1 12110351ˆ X X X + + = m ；) (B3 2 1 2949231ˆ X X X + + = m ； ) (C3 2 1 3216131ˆ X X X + + = m ； ) (D3 2 1 41254131ˆ X X X + + = m 1C2A5D二. 填空题 1. 事务 A ， B 有概率 4 . 0 )

20、( = A P ， 5 . 0 ) ( = B P ，条件概率 3 . 0 ) | ( = A B P ，那么 = ) ( B A P 2. 设随机变量 X 的分布律为- + c b a 4 . 0 1 . 0 2 . 04 3 2 1，那么常数 c b a , , 应满意的条件为. 3. 二维随机变量 ) , ( Y X 的联合分布函数为 ) , ( y x F ，试用 ) , ( y x F 表示概率 = ) , ( b Y a X P . 4. 设随机变量 ) 2 , 2 ( - U X ， Y 表示作独立重复 m 次试验中事务 ) 0 ( X 发生的次数，那么= ) (Y E ， =

21、) (Y D. 1. 62 . 02.0 , 4 . 0 , 1 . 0 , 3 . 0 - = + - c b a c b a 且 3. ) , ( ) , ( ) , ( 1 b F a F b a F + - + - +4.4 / , 2 / m m 三. 计算题 3. 随机变量 X 与 Z 相互独立，且 ) 1 , 0 ( U X , ) 2 . 0 , 0 ( U Z ， Z X Y + = ， 试求：( ), ( ),XYE Y D Y r . 4. 学校食堂出售盒饭，共有三种价格 4 元，4.5 元，5 元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为 0.3，0.2，0

22、.5。某天共售出 200 盒，试用中心极限定理求这天收入在 910 元至 930 元之间的概率。5. 设总体 X 的概率密度为 +=) 1 , 0 ( , 0) 1 , 0 ( , ) 1 () , (xx xx fqqq1 q - 为未知参数. 1 2, , ,nX X X 是取自总体 X 的一个样本。求：(1) 未知参数q的矩估计量； (2) 未知参数q的极大似然估计量；3解：1 1 1 11( ) , ( ) ( ) ( )2 2 20 20E X E Y E X E Z = = + = + = cov( , ) ( ( ) ( ) ( )1( )12X Y E X X Z E X E X ZD X= + - += = 1 1 101( ) ( ) ( ) ( )12 1200 1200D Y D X Z D X D Z = + = + = + = 110012101 1 10112 1200XYr = = 4解：设iX 为第 i 盒的价格 ( 1,2, ,200.) i = ，那么总价2001iiX X= ( ) 4.6, ( ) 0.19i iE X D X = =2001( ) ( ) 200 4.6 920iiE X E X= = =.2001( ) ( ) 200 0.19 38i.