18.4 反比例函数（华东师大版八年级下）doc--初中数学 .doc

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1、http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数反比例函数（1）知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力教学过程一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系二、探究归纳问题问题 1 1 小华的爸爸早

2、晨骑自行车带小华到 15 千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系分析分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式设小华乘坐交通工具的速度是 v 千米/时，从家里到镇上的时间是 t 小时 因为在匀速运动中，时间路程速度，所以vt15从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间 t 就是速度 v 的反比例函数即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大2.自变量 v 的取值是 v0问题 2

3、：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24平方米的矩形饲养场设它的一边长为 x(米)，求另一边的长 y(米)与 x 的函数关系式分析分析 根据矩形面积可知xy24，即xy24从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数即矩形的一边长增http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是 x0上述两个函数都具有xky 的形式，一般地，形如xky(k 是常数，k0)

4、的函数叫做反比例函数反比例函数(proportional function)说明说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例 ykx，即kxy，k 是常数，且 k0；反比例函数xky，则 xyk，k 是常数，且 k0可利用定义判断两个量 x 和 y 满足哪一种比例关系2.反比例函数的解析式又可以写成：1kxxky(k 是常数，k0)3.要求出反比例函数的解析式，只要求出 k 即可三、实践应用例例 1 1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是 12cm2，它的一边是 acm，这边上的高是 hcm，则a 与 h 的函数关系；(2)压强 p 一定时，压力 F

5、与受力面积 s 的关系；(3)功是常数 W 时，力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系(4)某乡粮食总产量为 m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食 y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式分析分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合xky(k 是常数，k0)所以此题必须先写出函数解析式，后解答解解(1)ha12，是反比例函数；(2)Fps，是正比例函数；(3)sWF，是反比例函数；(4)xmy，是反比例函数例例 2 2 当 m 为何值时，函数224mxy是反比例函数，并求出其函数解析式分析分析 由反比例函数的定义易求出 m 的值解解 由反比例函数的定义可知：2

6、m21，23m所以反比例函数的解析式为xy4例例 3 3 将下列各题中 y 与 x 的函数关系与出来(1)zy1，z 与 x 成正比例；http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数(2)y 与 z 成反比例，z 与 3x 成反比例；(3)y 与 2z 成反比例，z 与x21成正比例；解解(1)根据题意，得 zkx(k0)把 zkx 代入zy1，得kxy1，即xky1因此 y 是 x 的反比例函数(2)根据题意，得xkzzky3,21(k1，k2均不为 0)把xkz32

7、代入zky1，得xkkxkky212133，即xkky213因此 y 是 x 的正比例函数(3)根据题意，得xkzzky2121,2把zkyxkz22112代入，得xkky21212，即 yxkk21因此 y 是 x 的反比例函数例例 4 4 已知 y 与 x2成反比例，并且当 x3 时，y2求 x1.5 时 y 的值分析分析 因为 y 与 x2成反比例，所以设2xky，再用待定系数法就可以求出 k，进而再求出 y 的值解解 设2xky 因为当 x3 时，y2，所以92k，k 18当 x1.5 时，8)5.1(181822xy例例 5 5 已知 yy1y2，y1与 x 成正比例，y2与 x2成

8、反比例，且 x2 与 x3 时，y 的值都等于 19求 y 与 x 间的函数关系式分析分析y1与 x 成正比例，则 y1k1x，y2与 x2成反比例，则222xky，又由 yy1y2，可知，221xkxky，只要求出 k1和 k2即可求出 y 与 x 间的函数关系式解解 因为 y1与 x 成正比例，所以 y1k1x；http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数因为 y2与 x2成反比例，所以222xky，而 yy1y2，所以221xkxky，当 x2 与 x3 时，y

9、 的值都等于 19所以,.931942192121kkkk解得36521kk所以2365xxy四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如xky(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数反比例函数(proportional function)要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出 k 值，即可确定五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作 2 朵花，x 分钟可以制作 y 朵花；(2)体积为 100cm3的长方体，高为 hcm 时，底面积为 Scm2

10、；(3)用一根长 50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为 xcm 时，面积为 ycm2；(4)小李接到对长为 100 米的管道进行检修的任务，设每天能完成 10 米，x 天后剩下的未检修的管道长为 y 米2.已知 y 与 x2 成反比例，当 x4 时，y3，求当 x5 时，y 的值3.已知 yy1y2，y1与x成正比例，y2与 x2成反比例当 x1 时，y12；当 x4 时，y7(1)求 y 与 x 的函数关系式和 x 的取范围；(2)当 x41时，求y 的值4.已知一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 ycm，宽是 5cm，高是 xcm(1)写出用高表示长的函数式；(2)写出自变量

11、 x 的取值范围；(3)当 x3cm 时，求 y 的值5.试用描点作图法画出问题 1 中函数的图象http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数反比例函数（2）知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关问题过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了问

12、题1中函数vst 的图象，发现它并不是直线 那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数xky（k 是常数，k0）的图象，探究它有什么性质二、探究归纳1.画出函数xy6的图象分析分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量 x 0解解 1列表：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值：http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出

13、在京各点点(6,1)、(3,2)、(2,3)等3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支这两个分支合起来，就是反比例函数的图象上述图象，通常称为双曲线双曲线(hyperbola)提问提问 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数xy6的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数xy6的图象有什么不同？2.反比例函数xky(k0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次

14、函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？反比例函数xky 有下列性质：(1)当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；(2)当 k0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数注注 1双曲线的两个分支与 x 轴和 y 轴没有交点；2双曲

15、线的两个分支关于原点成中心对称以上两点性质在上堂课的问题 1 和问题 2 中反映了怎样的实际意义？在问题 1 中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少在问题 2 中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小三、实践应用例例 1 1 若反比例函数22)1(mxmy的图象在第二、四象限，求 m 的值分析分析 由反比例函数的定义可知：122 m,又由于图象在二、四象限，所以 m10，由这两个条件可解出 m 的值解解 由题意，得01,122mm解得3m例例 2 2 已知反比例函数xky(k0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，求一次函数 ykxk 的图象经过

16、的象限分析分析 由于反比例函数xky(k0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，因此 k0，而一次函数 ykxk 中，k0，可知，图象过二、四象限，又k0，所以直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方解解 因为反比例函数xky(k0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 k0，所以一次函数 ykxk 的图象经过一、二、四象限例例 3 3 已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点 A(5,m)在图象上，则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析分析(1)反比例函数的图象过点(1,2)，即当 x1 时，y2由待定系数法可求出反比例

17、函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点 A 在反比例函数的图象上，易求出 m 的值，再验证点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解解(1)设：反比例函数的解析式为：xky(k0)而反比例函数的图象过点(1,2)，即当 x1 时，y2所以12k，k2即反比例函数的解析式为：xy2http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数(2)点 A(5,m)在反比例函数xy2图象上，所以5252m，点 A 的坐标为)52,5(点 A

18、关于 x 轴的对称点)52,5(不在这个图象上；点 A 关于 y 轴的对称点)52,5(不在这个图象上；点 A 关于原点的对称点)52,5(在这个图象上；例例 4 4 已知函数23)2(mxmy为反比例函数(1)求 m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随 x 的增大如何变化？(3)当3x21时，求此函数的最大值和最小值解解(1)由反比例函数的定义可知：.02,132mm解得，m2(2)因为20，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随 x 的增大而增大(3)因为在第个象限内，y 随 x 的增大而增大，所以当 x21时，y 最大值8214；http:/http:/

19、 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数当 x3 时，y 最小值3434所以当3x21时，此函数的最大值为 8，最小值为34例例 5 5 一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 y 厘米，宽是 5 厘米，高是 x厘米(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量 x 的取值范围；(3)画出函数的图象解解(1)因为 1005xy,所以xy20(2)x0(3)图象如下：说明说明 由于自变量 x0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支四、交流反思本节课学习了画反比

20、例函数的图象和探讨了反比例函数的性质1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)2.反比例函数有如下性质：(1)当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；(2)当 k0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加五、检测反馈1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：(1)xy1；(2)xy32.已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x3 时，y8,求：(1)y 和 x 的函数关系式；(2)当322x时，y 的值；(3)当 x 取何值时，23y?3.若

21、反比例函数132)93(nxny的图象在所在象限内，y 随 x 的增大而增大，求n 的值4.已知反比例函数xmy3经过点 A(2,m)和 B(n,2n)，求：(1)m 和 n 的值；http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数(2)若图象上有两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)，且 x10 x2，试比较 y1和 y2的大小反比例函数(3)知识技能目标1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题过

22、程性目标1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题教学过程一、创设情境http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数已知正比例函数 yax 和反比例函数xby 的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式分析分析 根据题意可作出图象点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出 a 和 b解解 因

23、为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把 x1，y2 分别代入 yax 和xby 中，得2a，12b，b2所以正比例函数解析式为 y2x反比例函数解析式为xy2二、探究归纳综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题三、实践应用例例 1 1 已知直线 yxb 经过点 A(3,0)，并与双曲线xky 的交点为 B(2，m)和 C，求 k、b 的值http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数解解 点 A(3,0)在

24、直线 yxb 上，所以 03b，b3一次函数的解析式为：yx3又因为点 B(2，m)也在直线 yx3 上，所以 m235，即 B(2,5)而点 B(2,5)又在反比例函数xky 上，所以 k2(5)10例例 2 2 已知反比例函数xky1的图象与一次函数 yk2x1 的图象交于 A(2,1)(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系分析分析(1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、k2的值(2)把点A关于坐标原点的对称点A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A是否在这两个函数图象

25、上解解(1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k121212 k21，k21所以反比例函数的解析式为：xy2；一次函数解析式为：yx1(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A(2,1)把 A 点的横坐标代入反比例函数解析式得，112y，所以点 A 在反比例函数图象上把 A 点的横坐标代入一次函数解析式得，y213，所以点 A 不在一次函数图象上例例 3 3 已知一次函数 ykxb 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,3a),a0，且点 Bhttp:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:

26、/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数在反比例函数的xy3的图象上(1)求 a 的值(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象(3)利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在1y3 范围内时，相应的 x 的取值范围(4)如果 P(m,y1)、Q(m1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1与 y2的大小分析分析(1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出 k、b 和 a 的值(2)由(1)求出的 k、b、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题

27、解解(1)反比例函数的图象过点 B(a,3a)，aa33，a1，因为 a0，所以 a1 a0 B(1,3)又因为一次函数图象过点 A(0,1)和点 B(1,3)所以.3,1bkb解得，12bk即：一次函数的解析式为 y2x1(2)一次函数和反比例函数的图象为：http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数(3)从图象上可知，当一次函数 y 的值在1 范围内时，相应的 x 的值为：1x1(4)从图象可知，y 随 x 的增大而减小，又 m1m，所以 y1y2。或解：当 x1

28、m 时，y12m1；当 x2m1 时，y22(m1)12m1所以 y1y2(2m1)(2m1)20，即 y1y2。例例 4 4 如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数xmy 的图象交于 A、B 两点(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围分析分析(1)把 A、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式(2)因为图象上每一

29、点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标解解(1)观察图象可知，反比例函数xmy 的图象过点 A(2,1)，m212所以反比例函数的解析式为：xy2又点 B(1,a)也在反比例函数图象上，212a即 B(1,2)因为一次函数图象过点 A、B所以.2,21bkbk解得，.1,1bk一次函数解析式为：yx1(2)观察图象可知，当 x2 或 0 x1 时，一次函数的值大于反比例函数值四、交流反思1 综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法2观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题五、检测反馈1.已知一次函数 ykxb 的图象过点 A(0,1)和点 B(a,3a)(a0)，且点 B 在反比例函数xy3的图象上，求 a 及一次函数式2.已知关于x的一次函数ymx3n和反比例函数xnmy52图象都经过点(1,2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式3.如图，点 P 是直线221xy与双曲线xky 在第一象限内的一个交点，直线221xy与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、C，过 P 作 PB 垂直于 x 轴于 B，若 ABPB9(1)求 k 的值；(2)求PBC 的面积