2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案4.5 三角函数的图象和性质microsoft word 文档doc--高中数学 .doc

《2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案4.5 三角函数的图象和性质microsoft word 文档doc--高中数学 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案4.5 三角函数的图象和性质microsoft word 文档doc--高中数学 .doc（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网4.5 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质;2.能把一般的三角函数变形为 y=Asin(x+)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二建构知识网络1三角函数的性质：(结合图象理解,表中Zk）)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR|2xR xkxR|xk值域-1,1-1,1RR周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数增区间kk22,22kk2,2(,)22kk无减区间kk223,22kk2,2无(k,k+)对称轴2 kx

2、x=k无对称中心0,k,02k(,0)2k(2k,0)2.函数 y=Asin(x+),xR（其中 A0,0）的性质：周期：2|T;单调递增区间:由 2 k-2x+2 k+2（kZ）可解得.单调递减区间.由 2 k+2x+2 k+23(kZ）可解得.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：若 A 或是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(x+)也类似。3.三角函数求最值的方法:化 Asin(x+),换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2007 浙江)已知 k4，则函数 ycos2xk(

3、cosx1)的最小值是()(A)1(B)1(C)2k1(D)2k12(2006 全国)函数 tan4f xx的单调增区间为()A,22kkkZB,1,kkkZC3,44kkkZD3,44kkkZ3（2007 江西）设函数)(|,3sin|3sin)(xfxxxf则为（）A周期函数，最小正周期为32B周期函数，最小正周期为3C周期函数，数小正周期为2D非周期函数4已知 sin+cos=1，则 y=sin2+cos的取值范围是_.5.为了使 y=sinx（0）在区间0，1上至少出现 50 次最大值，则的最小值是6.6161()cos(2)cos(2)2 3sin(2)(,)333kkf xxxx

4、xR kZ，的最小正周期是_7.给出下列命题：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、2；若 x1x2，则 sinx1sinx2；若 f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f（2T）=0.其中正确命题的序号是_.答案答案:1-3.ACA;4.y=sin2sin+1=（sin21）2+43.cos=1sin.sin0，1y43，1.(本题易错解为 y=sin2+1sin，sin1，1，求 y 的取值范围.)5.4941T1，即419721，2197.答案2197思考：若条件改

5、为在x0，x0+1上至少出现 50 次最大值呢？6.化为一个角的三角数()2cos(2)2 3sin(2)4cos233f xxxx周期是；7.答案：四、经典例题做一做【例【例 1 1】（2003 春北京）已知函数 f（x）=xxx2cos1cos5cos624，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由 cos2x0 得 2xk+2，解得 x2k+4（kZ）.所以 f（x）的定义域为x|xR 且 x2k+4，kZ.因为 f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=）（）（）（xxx2cos1cos5cos624http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=xx

6、x2cos1cos5cos624=f（x），所以 f（x）是偶函数.又当 x2k+4（kZ）时，f（x）=xxx2cos1cos5cos624=xxx2cos1cos31cos222）（=3cos2x1=31cos222x，所以 f（x）的值域为y|1y21或21y2.提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为 Asin(x+)+m,或 Acos(x+)+m 的形式,再讨论性质.【例【例 2】锐角 x、y 满足 sinycscx=cos（x+y）且 x+y2，求 tany 的最大值.和取最大值时角 x 的集合.解：sinycscx=cos（x+y），sinycscx=cosxcosysinxsiny

7、，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.tany=xxxcscsincos=xxxsin1cossin=xxxx22cossin2cossin=xx2tan21tanxxtan22tan=42，当且仅当 tanx=22时取等号.tany 的最大值为42.对应角 x 的集合为2|arctan,2x xkkZ提炼方法：先由已知变换出 tany 与 x 的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例【例 3】（2007 辽宁）已知函数22()sin2sin cos3cosf xxxxx，xR.求:（I）函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；http:

8、/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（II）函数()f x的单调增区间.（I）解法一：1 cos23(1 cos2)()sin222xxf xx2sin2cos2xx22sin(2).4x当2242xk，即()8xkkZ时，()f x取得最大值22.因此，()f x取得最大值的自变量x的集合是|,.8x xkkZ解法二：222()(sincos)sin22cosf xxxxx1 sin21cos2xx 22sin(2).4x当2242xk，即()8xkkZ时，()f x取得最大值22.因此，()f x取得最大值的自变量x的集合是|,.8x xkkZ（II）解：()22sin(

9、2).4f xx由题意得222()242kxkkZ，即3,().88kkkZ因此，()f x的单调增区间是3()88kxkkZ【例【例 4】是否存在实数 a，使得函数2385cossin2axaxy在闭区间2,0上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。解：2185421cos22aaaxyhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当20 x时，1cos0 x，令xtcos则10 t，,218542122aaaty10 t)(423121854,2cos2,20,12012max舍或时即则当时即aaaayaxataa)(51212185,0cos

10、0,0,022max舍时即则当时即aayxtaa)(132012385,1cos1,2,123max舍时即则当时即aaayxtaa综上知，存在23a符合题意。思维点拨：化2185421cos22aaaxy，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。【研讨【研讨.欣赏欣赏】（2003 江苏）已知函数()sin()(0,0)f xxR 是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M对称，且在区间0,2上是单调函数.求和的值。解：由)(xf是偶函数，得)()(xfxf，即)sin()sin(xx，所以xxsincossincos,cossin0 x对任意x都成立，且0，所以得0cos，依题设0，所以解

11、得2.由)(xf的图象关于点 M 对称，得)43()43(xfxf，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网取,0 x得),43()43(ff所以,0)43(f43cos)243sin()43(f，2,1,0,243,0,043coskk得又，,2,1,0),12(32kk.当 k=0 时，2,0)232sin()(,32在xxf上是减函数；当 k=1 时，2,0)22sin()(,2在xxf上是减函数；当2k时，2,0)2sin()(,310在xxf上不是单调函数.所以，综合得232或.五提炼总结以为师1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参xu可以帮助理解,熟

12、练了以后可以省却这个过程.3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。同步练习4.5 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质【选择题】1.(2006 福建福建 9 9)已知函数()2sin(0)f xx在区间,3 4 上的最小值是2，则的最小值等于()（A）23（B）32（C）2（D）3http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2.（2007 全国卷全国卷）已知函数)2,2(tan在xy内是减函数，则（）A01 B10C1D13.（2006 辽宁）辽宁）函数11()(sincos)sincos22f xxxxx,的值域是（）（A）1,1（B）2,12（C）21,2（D）

13、21,2 4.（2007 全国卷全国卷）函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）A4B2CD2【填空题】5.函数xxycos34sin34的最小值等于_。6.半径为 R 的圆的内接矩形周长的最大值等于_.练习简答：1-4：BBCC；5.令 t=sinx+cosx，则 y=2947()232yt最小值726.42R.【解答题】7.设2,0 x，若方程ax)32sin(3有两解，求a的取值范围。解：设ayxy),32sin(3，要使两函数图象有交点,由图可知3233 a。8.(2006 浙江浙江)已知函数 f(x)3sin2xsinxcosx()求 f(256)的值；()设(0，)

14、，f(2)4132，求 sin的值http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：()251253sin,cos6262225252525()3sinsincos06666f()331()cos2sin2222f xxx31313()cossin222242f011sin4sin162解得8531sin0sin),0(8531sina9.(2006 陕西陕西)已知函数 f(x)=3sin(2x6)+2sin2(x12)(xR)()求函数 f(x)的最小正周期;(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合解:()f(x)=3sin(2x6)+1cos2(x12)=232s

15、in2(x12)12cos2(x12)+1=2sin2(x12)6+1=2sin(2x3)+1 T=22=()当 f(x)取最大值时，sin(2x3)=1，有2x3=2k+2即x=k+512(kZ)所求x的集合为xR|x=k+512，(kZ)10.已知函数2xsin2xsin24a)x(f（a(0，1)），求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。解解:三角函数式降幂http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网81x2cos2x2cos141xsin41)xsin21(2xcos2xsin)2xsin1(2xsin2xsin2xsin22222224 f(x)=81

16、x2cosa令81x2cos81u则 y=au 0a1 y=au是减函数 由k2,k2x2得k,2kx，此为 f(x)的减区间由k2,k2x2得2k,kx，此为 f(x)增区间 u(-x)=u(x)f(x)=f(-x),f(x)为偶函数 u(x+)=f(x),f(x+)=f(x)f(x)为周期函数，最小正周期为当 x=k（kZ）时，ymin=1当 x=k+2（kZ）时，ynax=41a【探索题】函数 f（x）=12a2acosx2sin2x 的最小值为 g（a），aR，（1）求 g（a）；（2）若 g（a）=21，求 a 及此时 f（x）的最大值.解：（1）f（x）=12a2acosx2（1c

17、os2x）=2cos2x2acosx12a=2（cosx2a）222a2a1.若2a1，即 a2，则当 cosx=1 时，f（x）有最小值 g（a）=2（12a）222a2a1=1；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网若12a1，即2a2，则当 cosx=2a时，f（x）有最小值 g（a）=22a2a1；若2a1，即 a2，则当 cosx=1 时，f（x）有最小值 g（a）=2（12a）222a2a1=14a.g（a）=.24122122212）（），（），（aaaaaa（2）若 g（a）=21，由所求 g（a）的解析式知只能是22a2a1=21或 14a=21.由

18、21122222aaaa=1 或 a=3（舍）.由21412aaa=81（舍）.此时 f（x）=2（cosx+21）2+21，得 f（x）max=5.若 g（a）=21，应 a=1，此时 f（x）的最大值是 5.备选题5函数Rxxxy,sin2sin212的值域是_2122,2122(2006 安徽)设0a，对于函数 sin(0)sinxaf xxx，下列结论正确的是(）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值D既无最大值又无最小值【例 1】试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最

19、小值，若 x 0，2 呢？剖析：注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令 t=sinx+cosx=2sin（x+4）2，2，则 y=t2+t+143，3+2，即最大值为 3+2，最小值为43.当 x0，2时，则 t1，2，此时 y 的最大值是 3+2，而最小值是 3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.(2006 广东广东)已知函数Rxxxxf),2sin(sin)(（）求)(xf的最小正周期；（）求)(xf的最大值和最小值；（）若43)(f，求2sin的值解：)4sin(2cossin)2sin

20、(sin)(xxxxxxf（）)(xf的最小正周期为212T;（）)(xf的最大值为2和最小值2；（）因 为43)(f，即167cossin243cossin ,即1672sin(2006 春上海春上海 19)已知函数,2,cos26sin2)(xxxxf.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）若54sinx，求函数)(xf的值；（2）求函数)(xf的值域.19.解（1）53cos,2,54sinxxx，xxxxfcos2cos21sin232)(xxcossin353354.（2）6sin2)(xxf，x2，6563x，16sin21x，函数)(xf的值域为2

21、,1.6.化简),)(23sin(32)2316cos()2316cos()(ZkRxxxkxkxf并求函数)(xf的值域和最小正周期和递增区间.解：)23sin(32)232cos()232cos()(xxkxkxf)23sin(32)23cos(2xxx2cos4所以函数 f(x)的值域为4,4，最小正周期2T由222,:,2kxkkk得 递增区间为.(kZ)(2006 上海)求函数2cos()cos()3sin244yxxx的值域和最小正周期.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解解2cos()cos()3sin244yxxx22112(cossin)3sin

22、222cos23sin22sin(2)6xxxxxx 函数2cos()cos()3sin244yxxx的值域是 2,2,最小正周期是；（2005 重庆卷）重庆卷）若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，试确定常数 a 的值.解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax因为)(xf的最大值为)4sin(,32x的最大值为 1，则,3222 a所以,3a8.已知)(2sin3cos2)(2为常数Raaxxxf（）若 xR，求 f(x)的单调递增区间；（）若2,0 x时，f(x)的最大值为 4，求a的值解(1)由)(2sin3cos2)(2为常数Raaxxxf12sin32cosaxx1)62sin(2ax使http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网226222kxk,解得)(63Zkkxk,Zkkkxf6,3)(的单调递增区间为(2)由 f(x)1)62sin(2ax,因此 f(x)在2,0上的最大值为a+3，使a+3=4,a=1.