排列,组合和二项式定理练习题_排列、组合、二项式定理的教案.docx

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1、排列,组合和二项式定理练习题_排列、组合、二项式定理的教案排列、组合、二项式定理的教案一课标要求：1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能依据详细问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简洁的实际问题；2排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简洁的实际问题；3二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题。二命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概

2、念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项绽开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是中学数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是中学数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会接着考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。三要点精讲1排列、组合、二项式学问相互关系表2两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。3排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公

3、式：系 = =n(n1)(nm+1)；（3）全排列列： =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4组合（1）组合的定义，排列与组合的区分；（2）组合数公式：Cnm= = ；（3）组合数的性质Cnm=Cnn-m； ；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二项式定理（1）二项式绽开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；（2）通项公式：二项式绽开式中第k+1项的通项公式是：Tk

4、+1=Cnkan-kbk；6二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简洁的组合恒等式；（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简洁多项式的整除问题；（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+ x2；（5）证明不等式。四典例解析题型1：计数原理例1完成下列选择题与填空题（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。A81 B64 C24 D4（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）A81 B64 C24 D4（3）有四位学生参与三项不同的竞赛，每位学生必需参与一项竞赛，

5、则有不同的参赛方法有 ；每项竞赛只许有一位学生参与，则有不同的参赛方法有 ；每位学生最多参与一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参与，则不同的参赛方法有 。例2（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在中学数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类探讨有许多相通之处，当遇到比较困难的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。题型2：排列问题例3（1）（2008四川理卷13）绽开式中 的系数为?_ _。：此题重点考察二项绽开式中指

6、定项的系数，以及组合思想；（2）2008湖南省长沙云帆试验学校理科限时训练若 n绽开式中含 项的系数与含 项的系数之比为5，则n 等于 （ ）A4 B6 C8 D10点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应当进入排列问题的情景，想清晰我处理时应当如何去做。例4（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必需播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.点评：排列问题不行能解决全部问题，对于较困难的问题都是以排列公式为协助。题型三：组合问

7、题例5荆州市2008届中学毕业班质量检测（）（1）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则全部不同的放法种数为（C） A.3 B.6 C.12 D.18（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种 D52种点评：计数原理是解决较为困难的排列组合问题的基础，应用计数原理结合例6（1）某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种

8、；（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种点评：排列组合的交叉运用可以处理一些困难问题，诸如分组问题等；题型4：排列、组合的综合问题例7平面上给定10个点，随意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线相互平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。例8已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自

9、集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。点评：本题是1999年全国中学数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有0.37。错误缘由没有对c=0与c0正确分类；没有考虑c=0中出现重复的直线。题型5：二项式定理例9（1）（2008湖北卷）在 的绽开式中， 的幂的指数是整数的项共有A3项 B4项 C5项 D6项（2） 的绽开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A）0（B）2（C）4（D）6点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当留意令值法的运用，例如求常数项，可令 .

10、在二项式的绽开式中，要留意项的系数和二项式系数的区分。例10 （2008湖南文13）记 的绽开式中第m项的系数为 ，若 ，则 =_5_.题型6：二项式定理的应用例11（1）求46n+5n+1被20除后的余数；（2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17除以9，得余数是多少？（3）依据下列要求的精确度，求1.025的近似值。精确到0.01；精确到0.001。点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理绽开推得所求结论；（2）用二项式定理来求近似值，可以依据不同精确度来确定应当取到绽开式的第几项。五思维总结解排列组合应用题的基本规律1分类计数原理与分步计数原理运用方法有两种：单独运用；联合运用。2将详细问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。3对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特别元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特别位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体解除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满意限制条件的排列数。4对解组合问题，应留意以下三点：（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；（2）是用“干脆法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。