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1、-1-四川省广安市广安中学四川省广安市广安中学 2019-20202019-2020 学年高二数学学年高二数学 9 9 月月考试题月月考试题 理理(含含解析)解析)一、单选题(共一、单选题(共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分)1.若(1,3,2)A,(2,3,2)B,则,A B两点间的距离为()A.61B.25C.5D.57【答案】C【解析】A(1,3,-2)、B(-2,3,2),则 A、B 两点间的距离为2221 23 3225 故选 C2.直线l的方程为3310 xy,则直线l的倾斜角为()A.0150B.0120C.060D.030【答案】A【解析
2、】由直线 l 的方程为3310 xy,可得直线的斜率为 k=33,设直线的倾斜角为(0180),则 tan=33,=150故选:A3.直线1xyab在y轴上的截距为()A.bB.bC.bD.b【答案】B【解析】【分析】令x0,求出y的值即为所求.-2-【详解】直线1xyab,令x0,解得yb,直线1xyab在y轴上的截距为b故选:B【点睛】本题考查直线方程的纵截距的求法,注意直线性质的合理运用,属于基础题4.已知直线310 xy 与直线2 330 xmy平行,则它们之间的距离是()A.1B.54C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由 题 意 两 直 线 平 行,得3122 3mm,由 直 线
3、310 xy 可 化 为2 3220 xy,再由两直线之间的距离公式,即可求解.【详解】由题意直线310 xy 与直线2 330 xmy平行,则3122 3mm,即2 3230 xy,则直线310 xy 可化为2 3220 xy,所以两直线之间的距离为223254(2 3)2d,故选 B.【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解,其中解答中根据两直线的平行关系,求得m的值,再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.点(2,5)P关于直线1xy的对称点的坐标是()A.(5,2)B.(4,1)C.(6,3)D.(4,2)【答案】B【解析】【分析】设点
4、 P(2,5)关于直线 x+y=1 的对称点 Q 的坐标为(m,n),利用垂直及中点在轴上这两个条件求出 m、n 的值,可得结论-3-【详解】设点 P(2,5)关于直线 x+y=1 的对称点 Q 的坐标为(m,n),则由题意可得5(1)12,4,1.25122nmmnmn 故答案为:B【点睛】(1)本题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求点11(,)P x y关于直线 l:0ax byc+=对称的点22(,)P xy的坐标,可以根据直线l垂直平分PP得到方程组212112121022yyabxxxxyyabc ,解方程组即得对称点2
5、2(,)P xy的坐标.6.已知点(2,3),(3,2)AB,直线l方程为10kxyk,且直线l与线段AB相交,求直线l的斜率k的取值范围为()A.34k 或4k B.34k 或14k C.344k D.344k【答案】A【解析】【分析】先求出线段AB的方程,得出51332xyy ,在直线l的方程中得到11ykx,将513xy 代入k的表达式,利用不等式的性质求出k的取值范围。【详解】易求得线段AB的方程为513032xyy ,得513xy,由直线l的方程得119514111551514514514yyyykxyyy 11955 514y,-4-当1435y 时,15140y,此时,11945
6、5 514ky ;当1425y 时,05144y,此时,119355 5144ky。因此,实数k的取值范围是4k 或34k,故选:A。【点睛】本题考查斜率取值范围的计算,可以利用数形结合思想,观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围,也可以利用参变量分离,得出斜率的表达式,利用不等式的性质得出斜率的取值范围,考查计算能力,属于中等题。7.一条光线从点2,3射出,经y轴反射后与圆22(3)(2)1xy相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.53或35B.32或23C.43或34D.54或45【答案】C【解析】【分析】根据反射光线和入射光线的性质得到反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x-2),化为k
7、x-y-2k-3=0,再由圆和直线的位置关系得到参数值.【详解】点 A(-2,-3)关于 y 轴的对称点为 A(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x-2),化为 kx-y-2k-3=0反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,圆心(-3,2)到直线的距离2322311kkdk,化为 24k2+50k+24=0,4k3 或34故选 C【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系,一般直线和圆的题很多情况下是利用数形-5-结合来解决的,联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及
8、到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理。8.已知圆221:40Cxy与圆222:44120Cxyxy相交于,A B两点,则两圆的公共弦AB()A.2 2B.3 2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】两圆方程相减得AB所在的直线方程,再求出1C到直线AB的距离,从而由1C的半径,利用勾股定理及垂径定理即可求出AB【详解】圆221:40Cxy与圆222:44120Cxyxy相减得AB所在的直线方程:20 xy.圆221:40Cxy的圆心10,0C,2r=,圆心0,0到直线AB:20 xy的距离22002211d,则AB 2222 422 2rd故选:A【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直
9、线与圆相交的性质,求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键,属于基础题9.若直线220axby(,0a b)始终平分圆224280 xyxy的周长,则12ab的最小值为()A.1B.5C.4 2D.32 2【答案】D-6-【解析】【详解】由圆的性质可知,直线220,0axbya b,是圆的直径所在的直线方程,圆224280 xyxy的标准方程为:222113,xy圆心2,1在直线220axby上,2220ab,即1ab,1212ababab2233232 2babaabab,12ab的最小值为32 2,故选 D.【易错点晴】本题主要考查圆的方程与性质以及利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不
10、等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).10.若圆2244100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:0l axby的距离为2 2,则直线l的斜率的取值范围是()A.23,23B.23,23 C.23,23 D.23,23【答案】B【解析】【分析】求出圆心2,2与半径3 2,则圆上至少有三个不同点到直线l的距离为2 2,转化为圆心到直线l的距离2d;从而求直线l的斜率
11、的取值范围【详解】根据题意,圆2244100 xyxy的标准方程为222218xy,其圆心为2,2,半径3 2r,-7-若圆2244100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:0l axby的距离为2 2,则圆心2,2到直线l的距离3 22 22d,设直线:0l axby的斜率为k,则kab,直线l的方程为0kxy-=,则有2|22|1kk2,解得:2323k ,即k的取值范围是 23,23 .故选:B【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质,点到直线的距离公式,以及直线倾斜角与斜率的关系等知识,属于中档题11.圆1C:22(1)(3)9xy和2C:22(2)1xy,M,N分别
12、是圆1C,2C上的点,P是直线1y 上的点,则PMPN的最小值是()A.5 24B.171C.62 2D.17【答案】A【解析】【分析】首先求得圆1C关于1y 的对称的圆的性质,然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.【详解】圆1C关于1y 的对称圆的圆心坐标1,5A,半径为 3,圆2C的圆心坐标0,2,半径为 1,由图象可知当P,2C,3C,三点共线时,PMPN取得最小值,PMPN的最小值为圆3C与圆2C的圆心距减去两个圆的半径和,即:23 114945 24AC 本题选择A选项.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转-8-化能力和计算求解能力.
13、12.已知两点(,0),(,0)(0)A aBaa,若曲线222 3230 xyxy上存在点P,使得090APB,则正实数a的取值范围为()A.(0,3B.1,3C.2,3D.1,2【答案】B【解析】把圆的方程222 3230 xyxy化为22(3)(1)1xy,以AB为直径的圆的方程为222xya,若曲线222 3230 xyxy上存在点P,使得90APB,则两圆有交点,所以121aa,解得13a,选 B.二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分)13.点2|560Axxx关于坐标平面xoy的对称点B的坐标是_【答案】(2,3,5)【解析】点 P(x,y,z
14、)关于 xOy 平面的对称点的坐标:P(x,y,-z),点 P(2,3,5)关于 xOy 平面的对称点的坐标是(2,3,-5)故答案为2,3,514.已知圆C关于y轴对称,经过点()1,0A,且被x轴分成两段弧,弧长之比为1:2,则圆C的方程为:_【答案】223433xy【解析】【分析】-9-设圆心0,Ca,由题意可得圆被x轴截得的弦所对的圆心角为23,故有tan13a,解得33a ,可得半径CA的值,从而求得圆的方程【详解】设圆心0,Ca,圆C经过点()1,0A,则半径为CA,根据圆被x轴分成两段弧长之比为1:2,可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为23,故有tan13a,解得33a ,半径43
15、CAr,故圆的方程为223433xy.故答案为:223433xy【点睛】本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆相交的性质,关键是求圆心坐标,属于基础题15.过定点M的直线:120kxyk 与圆:22(1)(5)9xy相切于点N,则|MN _【答案】4【解析】直线:120kxyk 过定点(2,1)M,22(1)(5)9xy的圆心(1,5),半径为:3;定点与圆心的距离为:22(2 1)(1 5)5过定点M的直线:120kxyk 与圆:22(1)(5)9xy相切于点N,则22534MN 点睛:判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系(2)代数法:联立方程之后利用判断(3)点与圆
16、的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题-10-16.已知点1,1P,圆22:2C xy与圆22222Mxy:,若Q为圆C上的一个动点,则PQ MQ的最小值为_【答案】4【解析】【分析】设2cos,2sQin,2,2M,利用圆的参数方程建立关于的解析式,则2 cossin22sin24PQ MQ,借助于正弦函数的有界性求最小值即可.【详解】Q为圆22:2C xy上的一个动点,设2cos,2sQin,且2,2M,1,1P.则 2cos1,2s12cos2,2s2PQ MQinin 2cos12cos22s12s2i
17、nin222cos2s2cos2s4inin2 cossin22sin24R,42sin204,所以PQ MQ的最小值为4.故答案为:4【点睛】本题考查了圆的参数方程,以及考查两个向量的数量积公式的应用,正弦函数的有界性,属于中档题三、解答题(共三、解答题(共 7070 分分)17.记nS为等差数列na的前n项和,已知17a ,315S (1)求na的通项公式;-11-(2)求nS,并求nS的最小值【答案】(1)an=2n9,(2)Sn=n28n,最小值为16【解析】分析:(1)根据等差数列前 n 项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前 n 项和公式得nS的二次
18、函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解:(1)设an的公差为d,由题意得 3a1+3d=15由a1=7 得d=2所以an的通项公式为an=2n9(2)由(1)得Sn=n28n=(n4)216所以当n=4 时,Sn取得最小值,最小值为16点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.在四边形ABCD中,90,45,2,5ADCAABBD(1)求cosADB;(2)若2 2DC,求BC【答案】(1)235;(2)5.【解析】【分析】(1)在ADB中通过正弦定理求解出sinADB的值,再利用“平方和为1”以及角的范围
19、-12-求解出cosADB的值;(2)根据角度间关系得到cosBDC与sinADB的关系,然后利用余弦定理求解BC长度.【详解】(1)在ABD中,由正弦定理,得52sin 45sinAOB,sinADB25,ADB90,cosADB2231 sin5ADB(2)ADBBDC2,cosBDCcos(2ADB)sinADB,cosBDCcos(2ADB)sinADB,cosBDC2222DCBDBCBD DC2528252 5 2 2BC.BC5【点睛】解三角形问题中,经常会出现角度和为2以及隐含条件内角和为,将这些条件通过三角函数中的诱导公式都可以得到另一种表示形式,要灵活使用:(1)若2AB,
20、则sin()cos2AB;(2)因为ABC,则sinsin()sin()ABCBC.19.已知平面内两点(8,6),(2,2)AB.(1)求过点(2,3)P且与直线AB平行的直线l的方程;(2)求线段AB的垂直平分线方程.【答案】(1)4310 xy(2)34230 xy【解析】试题分析:(1)求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可;(2)求出线段AB的中点坐标,求出斜率然后求解垂直平分线方程.试题解析:(1)点8,6,2,2AB-13-624823ABk 由点斜式43(2)3yx 得直线l的方程4310 xy(2)点8,6,2,2AB线段AB的中点坐标为(5,2)43ABk 线段AB的垂直平
21、分线的斜率为34由点斜式32(5)4yx得线段AB的垂直平分线的方程为34230 xy20.设直线l的方程为120axyaaR()(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围【答案】(1)30 xy,20 xy;(2),1【解析】【分析】(1)分别求出横截距与纵截距,令其相等即可解出a的值,代入方程即可得到直线方程;(2)由于不过第二象限所以斜率大于等于 0,纵截距小于等于 0,由题意列不等式组即可求得参数范围.【详解】(1)令方程横截距与纵截距相等:221aaa,解得:2a 或 0,代入直线方程即可求得方程:30 xy,20 xy;(2)由l的方
22、程为y(a1)xa2,欲使l不经过第二象限,当且仅当解得a1,故所求的a的取值范围为(,1【点睛】本题考查直线方程的系数与直线的位置关系,纵截距决定直线与y轴的交点,斜率决定直线的倾斜程度,解题时注意斜率与截距等于 0 的特殊情况,需要分别讨论,避免漏解.21.已知点,3A a,圆C的圆心为1,2,半径为2.-14-(1)设3a,求过点 A 且与圆C相切的直线方程;(2)设4a,直线l过点 A 且被圆C截得的弦长为2 3,求直线l的方程.【答案】(1)34210 xy或3x;(2)340 xy或3y.【解析】【分析】(1)由3,3A,当切线没有斜率时,直线方程为x3,成立;当切线有斜率时,设切
23、线方程为330kxyk,利用圆心C到切线的距离公式求出34k ,由此能求出切线的方程(2)设直线l的方程为34yk x,即340kxyk,圆心C到直线l的距离2|234|1kkdk 222(3),由此能出直线l的方程【详解】(1)A(3,3),当过点 A 且与圆C相切的直线没有斜率时,切线方程为 x3,成立,当过点A且与圆C相切的直线有斜率时,设切线方程为y3k(x3),即330kxyk,圆心1,2C到切线的距离为半径 r2,即 d2|23 3|1kkk 2,解得 k34,切线方程为 y334(x3),即34210 xy,过点 A 且与圆C相切的直线方程为34210 xy或3x(2)直线l过点
24、 A(4,3)且被圆C截得的弦长为2 3,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 x4,不成立;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y3k(x4),即340kxyk,圆心1,2C到直线l的距离 d2|234|1kkk 222(3),解得 k0 或 k34,直线l的方程为 y334(x4)或 y30,-15-故直线l的方程为340 xy或 y3【点睛】本题考查圆、直线方程、弦长的求法,考查直线、圆、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题22.已知点2 2P,圆22:80C xyy,过点P的动直线l与圆C交于A B、两点,线段AB的中点为M,O为
25、坐标原点()求M的轨迹方程;()当OPOM(PM、不重合)时,求l的方程及POM的面积【答案】(I)22132xy;(II)1833yx(或380 xy),165【解析】【分析】()由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由CM与MP数量积等于 0 列式得M的轨迹方程;()设M的轨迹的圆心为N,由|OP|OM|得到ONPM求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度,代入三角形面积公式得答案【详解】(I)圆 C 的方程可化为22416xy,圆心为0,4C,半径为 4,设,M x y,,4,2,2CMx yMPxy由题设知0CM MP 2420 xxyy,即22132xy.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是22132xy.(II)由(I)可知M的轨迹是以点1,3N为圆心,2为半径的圆.由于OPOM,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.ON的斜率为 313lk l的方程为1833yx.(或380 xy).又2 2OPOM,O到l的距离为4 105,4 105PM,POM的面积为165-16-【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题
限制150内