山西省实验中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理含解析.doc

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1、-1-山西省实验中学山西省实验中学 20202020 届高三数学上学期第二次月考试题届高三数学上学期第二次月考试题 理理（含解析含解析）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1.已知5sin24 25，则tan2A.2B.2C.12D.12【答案】D【解析】【分析】先求出cos2，再求tan2的值得解.【详解】由题得22，所以252cos21()555 ，所以sin21tan2cos22.故选：D【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学

2、生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.函数32()292f xxx在-4,2上的最大值和最小值分别是A.252，B.50 14，C.502，D.5014，【答案】C【解析】【分析】求导分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数()f x在区间 4，2上的最大值和最小值-2-【详解】函数32()292f xxx，2()618fxxx，当 4x，3)或(0 x，2时，()0fx，函数为增函数；当(3,0)x 时，()0fx，函数为减函数；由(4)14f，(3)25f，(0)2f，f（2）50，故函数32()292f xxx在区间 4，2上的最大值和最小值分别为 50，2

3、，故选：C【点睛】本题主要考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，是基础题.3.在ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足12ANNM，则BN uuu rA.1566ACABB.5166ACABC.1566ACABD.5166ACAB【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法法则求解.【详解】由题得12121()()23232BNBMMNBCMAACABABAC=1566ACAB.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.曲线ln2(0)ya xa在1x 处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为 4，则a的值为()A

4、.2B.2C.4D.8-3-【答案】B【解析】【分析】先求出曲线在1x 处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积【详解】由 ln2yf xa x，得 afxx，1fa，又 12f，曲线ln2(0)yaxa在1x 处的切线方程为2(1)ya x，令0 x 得2ya ；令0y 得21xa切线与坐标轴围成的三角形面积为1212(2)1(2)1422Saaaa，解得2a 故选 B【点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题5.记cos80k，那么tan100（）A.21 kkB.21kkC.21kkD.-21kk【答案】A【解析】

5、试题分析：222801801801sincoscosk，所以801008080sintantancos -4-21 kk，故选 A.考点：弦切互化.6.由曲线22yxx与直线yx所围成的封闭图形的面积为（）A.16B.13C.56D.23【答案】A【解析】【分析】作出图形，得到被积函数与被积区间，然后利用定积分计算出封闭图形的面积.【详解】略在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由22,xxx解得两个交点坐标为1,0和0,0，利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为：023201111111(2)()()32326Sxxx dxxx ，故选：A.【点睛】本题考查利用定积分计算

6、出函数图象所围成的封闭区域的面积，解题的关键就是要弄清楚被积函数与被积区间，考查运算求解能力，属于中等题.7.若函数()f x的导函数的图像关于原点对称，则函数()f x的解析式可能是（）A.()3cosf xxB.32()f xxxC.()12sinf xx D.()xf xex【答案】A-5-【解析】【分析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意【详解】A 中()3sinfxx 为奇函数，B 中2()32fxxx非奇非偶函数，C 中()2cosfxx为偶函数，D 中()xfxe+1 非奇非偶函数故选 A【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质

7、8.若1sin()43，则sin2A.89B.79C.79D.89【答案】C【解析】【分析】先求出cos(2)2的值，再求sin2的值得解.【详解】由题得227cos(2)cos2)12sin)124499 （，所以7sin29，所以7sin29.故选：C【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知函数 3sinx cosx0f x最小正周期为，则函数 fx的图象（）A.关于直线12x对称B.关于直线512x对称C.关于点,012对称D.关于点5,012对称-6-【答案】D【解析】分析：先化简函数 f(x)=2sin()6wx,再根

8、据周期求出 w，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得 f(x)=2sin()6wx，因为2,2,()2sin(2).6wf xxw对于选项 A,把12x代入函数得(=2sin()321266f），所以选项 A 是错误的；对于选项 B,把512x代入函数得55(=2sin()021266f），所以选项 B 是错误的；对于选项 C,令2,.6212kxkkzx无论 k 取何整数，x 都取不到12,所以选项 C 是错误的.对于选项 D,令2,.6212kxkkzx当 k=1 时，512x，所以函数的图像关于点5,012对称.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意

9、在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.10.已知曲线 yf x在 5,5f处的切线方程是5yx ，则 5f与 5f分别为()A.5，1B.1，5C.1，0D.0，1【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得到 f（5）等于直线的斜率1，由切点横坐标为 5，得到纵坐标即 f（5）【详解】由题意得 f（5）=5+5=0，f（5）=1故选：D-7-【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题11.0函数()sinsin22xxf x在4 3,上单调递增，则的范围是A.20,3B.30,2C.0,2D.2,【答案

10、】B【解析】【分析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质分析得到的不等式组，解之即得解.【详解】由题得111()=sincossinx222f xwxwxw，所以函数的最小正周期为2Tw,因为函数()sinsin22xxf x在4 3,上单调递增，所以24w324w4，又 w0，所以302w.故选：B【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.若P是函数()(1)ln(1)f xxx图象上的动点，点(1,1)A ，则直线AP斜率的取值范围为（）A.1,)B.0,1C.1(,eeD.1(,e【答案】A【解析】-8-【详解】由题意可

11、得：ln11fxx，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e 上单调递减，在区间11,e 上单调递增，且1111fee ，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为000,1 ln1xxx，该点的斜率为0ln11kx，切线方程为：00001 ln1ln11yxxxxx，切线过点1,1，则：000011 ln1ln111xxxx ，解得：00 x，切线的斜率0ln111kx，综上可得：则直线AP斜率的取值范围为1,.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分13.函数sin(2)cos(2)63yxx的振幅是_。

12、【答案】2【解析】【分析】先化简函数，再求函数的振幅得解.【详解】由题得3113sin2cos2cos2sin22222yxxxx-9-=3sin2cos22sin(2)6xxx所以函数的振幅是 2.故答案为：2【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦，考查三角函数的振幅，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知非零向量,a b满足2,()ababb，设a与b的夹角为，则_。【答案】23【解析】【分析】由()abb得+=0a b b（），化简即得解.【详解】由()abb得+=0a b b（），所以22+=02|cos|0a b bb bb，所以1cos,2 所以2=3.故答案为：23【点睛

13、】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.若存在正数x使21xxa成立，则a的取值范围是_【答案】1,【解析】若存在正数x使21xxa成立，则12xax.-10-令 1,02xfxxx.易知函数单调递增，所以 01f xf 所以有1a .16.已知函数()tanf xxx，非零实数，是函数()f x的两个零点，且，则()sin()()sin()_。【答案】0【解析】【分析】先由已知得cossin=sincos，再化简()sin()()sin()代入得解.【详解】由题得tan,tan,tantan.所以sinsin=cossi

14、n=sincoscoscos，由题得()sin()()sin()-2 cossin2sincos=0故答案为：0【点睛】本题主要考查零点的定义和同角的三角函数的关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知函数 sin4f xAx，xR，且53122f.（1）求的值；（2）若 32ff，0,2，求34f.【答案】（1）3A；（2）304.【解析】【分析】-11-（1）将512x代入函数 fx的解析式求出A的值；（2）先利用已知条件 32ff，结合两角和

15、与差的正弦公式求出的某个三角函数值，然后将34x代入函数 fx的解析式，并结合诱导公式对34f进行化简，最后利用同角三角函数的基本关系求出34f的值.【详解】（1）55233sinsinsinsin1212433322fAAAAA，所以3A，3sin4f xx；（2）3sin3sin44ff 33 sincoscossin3sincoscossin6cos44442，6cos4，0,2，sin0，22610sin1 cos144，3310303sin+=3sin3sin344444f.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.

16、18.已知向量117,(1,1)ad（，），对任意nN，都有1nnaad成立。（）求na的最小值；（）求正整数,()m nmn，使mnaa。-12-【答案】（）4 2（）23,1220mmnn【解析】【分析】（）设(nnax，)ny，由1nnaad，可得 nx、ny都是公差为 1 的等差数列，求出(,8)nan n，即可求|na的最小值；（）mnaa等价于0mnaa，可得(4)(4)16mn，即可求出正整数m，n【详解】（）设(nnax，)ny，由1nnaad得1111nnnnxxyynx、ny都是公差为 1 的等差数列，1(1,7)a，nxn，8nyn，(,8)nan n，222|(8)2(

17、4)32 4 2nannn|na的最小值为4 2.（）由（）可设(mam，8)(,8)nman n由已知得：0mnaa(8)(8)0mnmn(4)(4)16mn m，nN212mn或320mn或122mn或203mn因为,()m nmn，所以212mn或320mn.【点睛】本题考查数列与向量的综合，考查等差数列的通项，考查向量的数量积公式，属-13-于中档题19.已知函数sin()xf xx.（）求曲线()yf x在点()22Mf（，）处的切线的纵截距；（）求函数()f x在区间2，上的值域。【答案】（）4（）20,【解析】【分析】（）先对函数求导，再求切线的斜率()2kf，即得切线的纵截距；

18、（）先通过二次求导得到函数()f x在区间2，的单调性，再求其值域得解.【详解】（）由题得22cossincossin()x xxxxxfxxx，所以切线的斜率220 142()=24kf ，12()22f，所以切线的方程为224()2yx，令 x=0，得2242(0)=2y，所以切线纵截距4.（）令()cossin,2g xxxx x，所以()cossincossin0g xxxxxxx，所以函数 g(x)在,2上单调递减，所以(),1g x，所以()0fx，-14-所以函数 f(x)在在,2上单调递减，所以maxmin2(),f(x)0f x，所以函数()f x在区间2，上的值域为20,.

19、【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数 sin 23cos 20fxxx在0,4上单调递减，且满足 2fxfx.（1）求的值；（2）将 yf x的图象向左平移3个单位后得到 yg x的图象，求 g x的解析式.【答案】(1)23；(2)2sin 23g xx.【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为2sin 23x，再利用对称轴为4x得到23或3，最后根据 fx在0,4上为减函数舎去3.（2）利用左加右减求解 g x的解析式.解析：（1）sin 23cos 2f xxx2sin 23

20、x.2fxfx，则 yf x图象关于4x对称，在4x时，232xkkz，3k，而0，23或3，在23时，2sin2f xx 在0,4上单减，符合题意.-15-23可取.在3 时，2sin2f xx在0,4上单增，不合题意，舍去.因此，23.（2）由（1）可知 2sin2f xx，将 2sin2f xx 向左平移3个单位得到 g x，22sin22sin 22sin 2333g xxxx .21.设函数()2 2sin,()sin2cos2f xxg xxx，()g x是()g x的导函数.（）当0,2x时，解方程()()f xg x；（）求函数()()F xf xg x（）的最小值.【答案】（

21、）3517,124412x（）min3(31)()2F x【解析】【分析】()先化简得到3sin()=0cos()02828xx或，再写出方程的解；（）先分析出函数的最小正周期，再求导得133F(x)=4 2cos()sin()2882xx，再比较极值点和端点函数值的大小得解.【详解】（）由题得2 2sin2cos22sin2xxx，所以2 2sin2 2sin(2)4xx 所以sin+sin(2)=04xx所以32sin()cos()02828xx所以3sin()=0cos()02828xx或，所以3=,28282xxkkkz或又因为0,2x，-16-所以3517,124412x.（）由题得

22、2 2sinsin2cos2F xxxx（），所以函数的最小正周期为2，所以只需考虑0,2 的情况.由题得()2 2cos2cos22sin2F xxxx=2 2sin()2 2sin(2)24xx33=4 2cos()sin()2882xx令31119()0,441212F xx，或.因为3113(31)193(31)(0)1,()1,()1,(),(),44122122FFFFF(2)1F,所以min3(31)()2F x【点睛】本题主要考查三角恒等变换和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2212cos3，以极点为

23、坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为352 5xtyt（t为参数）.（）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（）若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值.【答案】（）221,260;34xyxy（）2 5【解析】【分析】（）先利用极坐标公式求出曲线 C 的直角坐标方程，再把直线 l 的参数方程化成普通方程；（）设点 P(3cos,2sin),再求出距离的表达式求出其最大值.-17-【详解】（）由题得222222cos+3123312xxy，所以曲线 C 的直角坐标方程为221.34xy消去直线l的参数方程352 5xtyt中的 t 得260 xy

24、，所以直线 l 的普通方程为260 xy.（）设点 P(3cos,2sin),所以点 P 到直线 l 的距离为|2 3cos2sin6|4+1d，所以5|2sin2 3cos6|5d所以5|4sin6|53d（）所以sin=13（）时，max5102 55d.所以点P到直线l的距离的最大值为2 5.【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查圆锥曲线参数方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知a、b、c均为正实数.（）若3abbcca，求证：3abc（）若1ab，求证：2211(1)(1)9ab【答案】()证明见解析；()证明见解析.

25、【解析】试题分析：（）先证明222abcabbcca，再证明239abcabbcca，从 而可得结 果；（）由*abR、，1ab，2221aabb，-18-22222222222211222222221111()()=5+529aabbaabbbbaaababababaabbbaba.试题解析：（）2222222,2,2abab bcbc caca，三式相加可得222abcabbcca22222222abcabcabbccaabbccaabbcca,39abbcca.又abc、均为正整数，3abc 成立（）：*abR、，1ab，2221aabb，2222222211221111aabbaabbabab2222222222()()=5+529bbaaababaabbbaba,当且仅当22abba，即12ab时，“=”成立.