概率论与数理统计复习题（一）.doc

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1、概率论与数理统计复习题（1）一 填空. 1.。若与独立，则 ；若已知中至少有一个事件发生的概率为，则 。 2且，则 。 3设，且，则 ； 。 4。若服从泊松分布，则 ；若服从均匀分布，则 。 5设，则 6则 。7，且与独立，则 （用表示）， 。8已知的期望为5，而均方差为2，估计 。9设和均是未知参数的无偏估计量，且，则其中的统计量 更有效。10在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。二假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛

2、滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。四 X 的概率密度为且E(X)=。（1）求常数k和c；(2) 求X的分布函数F(x)； 五 （X,Y）的概率密度 。求 （1）常数k；（2）X与Y是否独立；（3）；六.设X，Y独立，下表列出了二维随机向量

3、（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处.七. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率. 四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有 即 由知x的密度函数为当x ；当时 当时 五、由（x、y）联合密度的性质有： 即 由可求出（x，y）的联合密度： 故x, y 相互独立。 由知相互独立。六、略七、解：令x为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互

4、独立，故x N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x N（60，59.64）设A：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A：10000*12-1000x60000 概率论与数理统计复习题（2） 一.选择题（18分，每题3分）1设为随机事件，且，则必有 是必然事件； .2口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进行4次，记为红球出现的次数，则的数学期望； ； ； .3设随机变量的分布密度函数和分布函数为和, 且为偶函数, 则对任意实数,有 4设随机变量和相互独立, 且都服从区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是 5已知随机变量和都服

5、从正态分布:, 设, 则 只对的某些值,有 对任意实数,有 对任意实数,有 对任意实数,有6设未知，则的置信度为的置信区间为 二. 填空题（21分，每题3分）1 已知随机事件，有概率，条件概率，则 2. 已知随机变量的联合分布密度函数如下, 则常数 3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为= , 4. 已知二维随机变量的联合分布函数为，试用表示概率 .5. 设是取自的样本，是的无偏估计量则常数 6设（）是来自正态分布的样本，当时， 服从分布，.7设离散型随机变量的联合分布律为 若，则.三. 计算题 （54分，每题9分）1某种产品分正品和次品

6、，次品不许出厂。出厂的产品件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求： （1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率2设二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布。求：边缘密度函数.3已知随机变量，试求：方差，协方差，相关系数4学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20、70、10。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（）5设是

7、取自总体的一个样本，总体 ，。试求：(1) 未知参数的矩估计量；(2) 未知参数的极大似然估计量； (3) 的极大似然估计量.6某种产品的一项质量指标，在5次独立的测试中，测得数据（单位：） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（）（1） 可否认为该指标的数学期望1.23？（2） 若指标的标准差，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？附 分布数值表 概率论与数理统计复习题（2）答案一. 选择题（18分，每题3分） c b a c d b 二. 填空题（21分，每题3分） 1 ； 2 24； 3 4/3 9/44 ；5 4 ； 6 1/3 2； 7 0,1三. 计算题（54分，每

8、题9分） 1 解：令 A=取出为正品， =箱子中有t个正品， .由已知条件，,， （1）由全概率公式，, （2）由Bayes公式，. 2. 解： 3解： 4解：设为第I位学生的得分，则总得分 5解：（1） 矩估计量 （2） 极大似然估计量 （3） 的极大似然估计量 7. 解：（1）假设 . 当为真，检验统计量 ， 拒绝域 ， ，接受. ，拒绝 （2）假设 . 当为真，检验统计量 ， 拒绝域 . ，拒绝 . 概率论与数理统计复习题（3） 一判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( )2连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( )3若随机变量与独

9、立，且都服从的 (0，1) 分布，则 ( ) 4设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望未必存在( )5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得 次成功的概率为. (a) ； (b) ；(c) ； (d) .2. 离散型随机变量的分布函数为，则 . () ； () ； () ； () .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数. () 是连续函数； () 恰好有一个间断点； () 是阶梯函数； () 至少有两个间断点.4. 设

10、随机变量的方差相关系数则方差. () 40； () 34； () 25.6； () 17.6 5. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是. () ； () ；() ； () .二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则 . 4. 设二维随机变量的联合密度函数为 则条件密度函数为,当 时 , 5. 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位

11、：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 7. 设的分布律为 1 2 3 已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 三. 计算题（40分，每题8分） 1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数. 3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数

12、在50件到70件之间的概率. 4. 总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为s 的无偏估计量. 5（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量

13、与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 概率论与数理统计复习题（3）参考答案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （）（）（）（）（）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ； 2. ； 3.0.9772 ； 4. 当时；5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2分)， (4分) (2分)2. (1分)时，从而 ； (1分)时， (2分) (2分)所以 (2分)3. 设 为第i周的销售量, (

14、1分)则一年的销售量为 ，, . (2分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 (4分). (1分)4. 注意到 5. (1) 要检验的假设为 (1分)检验用的统计量 ， 拒绝域为 . (2分) ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . , 落在拒绝域外， 故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . (1分)(2) 要检验的假设为 (1分) 检验用的统计量 ， 拒绝域为 或 (2分) , 落在拒绝域内，,落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、 证明题 (7分) 由题设知 0 1 0 1 2 (2分)； ； ；

15、 ； ； . 所以 与相互独立. (5分)概率论与数理统计复习题（4）及参考答案1：2： 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9： 10：答：增大样本容量二： 11： 12： 13： 14： 15： 16： 17： 18: 19: 20： 21：证明题： 复习题（5）答案与评分标准一填空题（）1已知,则 。2有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为；3抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数的概率分布为，服从分布。4设随机变量的密度函数为 ，则常数 1 ，的分布函数。5设随机变量的密度函数为 ，则随机变量的密度函数。6已知的联合分布函

16、数为，且，则。7设，且和相互独立，则的密度函数。8，则， 8 。9设的联合概率分布为 0100.10.110.8001P0.20.8则的概率分布为相关系数。10设随机变量独立同分布, , ,记，则用切比雪夫不等式估计。二简答题（）叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？数学期望：绝对收敛，则。（2分） 描述取值的平均。（1分）方差： 存在，则（2分）描述相对于的偏差。（1分）三分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，）1设随机变量的分布函数为，则。不一定正确。（2分）如为连续型随机变量，则；如为离散型随机变量，且，则（或举反例）。（3分）2若随机变量和不相关，则。正确。

17、（2分）四计算题（）1（）进行4次独立试验，在每次试验中出现的概率均为。如果不出现，则也不出现；如果出现一次，则出现的概率为；如果出现不少于两次，则出现的概率为1。试求：（1）4次独立试验中出现 次的概率；（2）出现的概率；（3）在出现的情况下，出现一次的概率。记为4次独立试验中出现的次数，（1）（4分）（2）（1分） （1分） （1分）（3）（3分）2（）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离（单位：米）的密度函数为 ，如果弹着点距离目标不超过米时，即可摧毁目标。求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率； （2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于？（1）（5分）（2）设至少发射

18、枚炮弹，则 ，（3分） （2分）3（）设二维随机向量的联合密度函数为 ，试求：（1）常数；（2）边际密度函数，并讨论和的独立性；（3） 。（1）（3分） （3分）（2） （2分）（2分） 不独立（2分）（3）（2分）4（）如果你提前分钟赴约，花费为（单位：元）；如果迟到 分钟，花费为（单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。设赴约前分钟离开，则花费 ，(3分) （3分）最小，（2分）5（）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为。现种植杂交种400株，试求结黄果植株介于到之间的概率。记为结黄果植株数，则（3

19、分），（4分） （3分） 参考数据：复习题（6）一、 单项选择（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将答案其代码填入题干后的括号内，每题2分，共20分）1.设随机事件A,B互斥，则=（ ）A B C D 2.设 =0.6， =0.3， =0.1，则 =（ ）A 0.3 B 0.2 C 0.5 D 0.4 3.甲、乙、丙三人各自独立地向某一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6和0.7，则至多有两人击中目标的概率为 （ ）A 0.09 B 0.21 C 0.44 D 0.794.已知随机变量，且已知 =6， =2则 =（ ）A B C D XB(n,p)二项分布, =np ,

20、 =npq 5.已知随机变量X和Y相互独立,且都服从参数为的泊松分布，则X+Y与2X的关系是A数学期望相等 B 相同的分布 C 方差相等 D以上均不成立6.设随机变量X服从N(,1),(x)为标准正态分布的分布函数, P(X)=A () B 0.5 C(1) D 1-()7.设随机变量X的分布列为: X0123P0.10.30.40.2设F(X)为其分布函数,则F(2)=A 0.2 B 0.4 C 0.8 D1F(x)=PXx称为X的分布函数所以F（2）=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0.1+0.3+0.4=0.88.设为取自总体的X的样本, ,则以下结论正确的一个是( )A 是的

21、无偏估计量 B是的无偏估计C 是 的无偏估计 D 是的无偏估计9.设总体 ，未知，如需通过样本 ，, 检验假设 ，需用的检验统计量是（）ABCD.一元线性回归模型，且相互独立，那么（ ）A B C D 二、填空题（每空2分，共20分）1有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中随机各地抽取1粒，则这两粒种子都能发芽的概率是0.56，这两粒种子仲恰好有粒发芽的概率是0.38。.设离散型随即变量的分布律为（），则 6/5 （）4/5。.若随机变量，则随机变量服从N(0, 1) 分布（标准正态分布）,而服从分布。.设为取自总体的样本，为样本均值，已知服从分布，则的值应是，其自由度应

22、该是。.假设检验中，犯第一类错误的概率为犯第二类错误的概率为。三.判断题（认为对的，再题后的括号内打“”，认为错的打“”。每小题2分，共十分）1.若事件A,B的概率满足.则必有 ( )2.若事件A、B互斥，则P(AB)=0.反之亦然。 （ ）3.若随机变量,则随机变量.( )4、随机变量X,Y相互独立的充要条件是它们的相关系数=0 ( )5、或为未知总体X的方差，= 为样本方差，则有= ( )四、计算题（每小题8分，共40分）1、设一个袋子里装了1号的五只球，今从中任意地取出只球，以表示取出的三只球中的最小号码，求：（）的分布律；（）E(X)和D(X).2、已知连续性随机变量的密度函数为，如果

23、的密度函数为 , ，试求常和()3、设总体X的概率密度函数为： (0,未知) 试求未知参数 的矩阵计量。解：总体的数学期望为 根据矩估计意义有，解得参数的矩估计为4、设某次考试的考生成绩X服从 , 均未知，从中随机地抽取25名考生的成绩，计算得到平均成绩=67.5 分 ，标准差s=10.5 分 ，试问在显著性水平=0.05 下，是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？(25)=1.708, (25)=2.0595, (24)=1.711, (24)=2.064)5、 已知：n=6, =426, =30268, =21, =1481, =79. 试计算相关系数，确定y关于x的回归直线方程。五、证

24、明题（每小题5分，共10分）1、对于任意的常数C，试证明：.证明 ：对于任意的常数C = = =+由于 0所以 .2、设总体X服从 分布，证明：服从分布.复习题（6）参考答案及评分标准（2010）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D二填空题（每空处两分，共20分）1. 0.56 0.38 2. 6/5 4/53.N(0, 1) 分布（标准正态分布） 分布4. 1 5. 三、判断题（每小题2分，共10分）1. 2. 3. 4. 5.四、计算题（每小题8分，共40分） 2.解(1)根据随机变量X密度函数的表达式可知，

25、X服从正态N（3，）分布，从而E(X)=3.由于Y的密度， 所以3.解：总体的数学期望为 根据矩估计意义有，解得参数的矩估计为4.解 依题提出原假设 由于主题方差未知，在成立时，统计量 t(25)分布所以检验的拒绝域为：| t | 计算 t统计量值：从而接受原假设，可以认为全体考生的平均成就为70分。5.解：依题意计算：n=6 =71 ， =3.5，=22 ； =5.5= 10所以，相关系数 可见y与x之间存在及其显著的线性关系。回归系数 b= a=35.773所以，所求的回归方程为 五.证明 ：对于任意的常数C = = =+由于 0所以 .2.证明 ：由于总体X服从分布，有t分布的定义 其中 分布，分布，并且Y与Z相互独立，从而， Y N (0 , 1)分布， 分布， 显然，与Z相互独立,所以由F分布定义，服从分布35