变量与函数的概念.docx

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1、变量与函数的概念集合与函数的概念 第一章集合与函数的概念（复习） 学习目标1.理解集合有关概念和性质，驾驭集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性探讨问题，如数轴分析、Venn图；2.深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，驾驭函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题. 学习过程一、课前打算（复习教材P2P45，找出怀疑之处）复习1：集合部分.概念：一组对象的全体形成一个集合特征：确定性、互异性、无序性表示：列举法1,2,3,、描述法x|P关系：、=运算：AB、AB、性质：AA；A，.方法：数轴分析、Venn图示. 复习2：函数部分.三要素：定义域、值域、

2、对应法则；单调性：定义域内某区间D，时，则的D上递增；时，则的D上递减.最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.奇偶性：对定义域内随意x，奇函数；偶函数.特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称. 二、新课导学典型例题例1设集合，.（1）若=，求a的值；（2）若，且=，求a的值；（3）若=，求a的值. 例2已知函数是偶函数，且时，.（1）求的值；（2）求时的值；（3）当0时，求的解析式 例3设函数（1）求它的定义域；（2）推断它的奇偶性；（3）求证：；（4）求证：在上递增. 动手试试练1.推断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）（R）；（4） 练2.将长度为20cm的铁丝分成两段，分别

3、围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？ 三、总结提升学习小结1.集合的三种运算：交、并、补；2.集合的两种探讨方法：数轴分析、Venn图示；3.函数的三要素：定义域、解析式、值域；4.函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的探讨. 学问拓展要作函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可.称之为函数图象的左、右平移变换.要作函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可.称之为函数图象的上、下平移变换.学习评价自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若，则下列结论中正确的

4、是（）.A.B.0AC.D.A2.函数，是（）.A偶函数B奇函数C不具有奇偶函数D与有关3.在区间上为增函数的是（）.ABCD4.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.5.函数在R上为奇函数，且时，则当，.课后作业1.数集A满意条件：若，则.（1）若2，则在A中还有两个元素是什么；（2）若A为单元集，求出A和. 2.已知是定义在R上的函数，设，.（1）试推断的奇偶性；（2）试推断的关系；（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？ 函数概念与基本初等函数 函数概念与基本初等函数（一）函数1了解构成函数的

5、要素，了解映射的概念,会求一些简洁函数的定义域和值域2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能依据不同的要求选择恰当的方法表示简洁的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简洁的数学问题。4理解函数的单调性，会探讨和证明一些简洁的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会推断简洁的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简洁的函数的最大（小）值6会运用函数图像理解和探讨函数的性质（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，驾驭幂的运算。3理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模

6、型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数的图像，了解它们的改变状况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并驾驭连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增

7、长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简洁的实际问题。 依据考试大纲的要求，结合2022年高考的命题状况，我们可以预料2022年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简洁应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等学问为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑学问考查学生的数学思想、数学方法和数学实力，题型常以解答题的形式出现函数是高考数学的重点内容之一，函

8、数的观点和思想方法贯穿整个中学数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来视察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类探讨的基本数学思想.第1课时函数及其表示一、映射1映射：设A、B是两个集合，假如根据某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素

9、和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.2象与原象：假如f:AB是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。二、函数1定义：设A、B是，f:AB是从A到B的一个映射，则映射f:AB叫做A到B的，记作.2函数的三要素为、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有、。 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）.A.B.C.D.解：C?变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）?A.y=?B.y=()2?C.y=lg10xD.y=?解：C?例2.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;?(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-

10、f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.?解：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.?则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).?（2）设f(x)=ax2+bx+c(a0),?f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,?则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.?，?，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.?变式训练2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；?（2）已知f（x）是一次函数，且满意3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；?（3）已知f（x）满意2f（x）+f（）=3x，求f（x）.?

11、解：(1)令+1=t，则x=，?f（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).?（2）设f（x）=ax+b，则?3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，?a=2，b=7，故f（x）=2x+7.?（3）2f（x）+f（）=3x，?把中的x换成，得2f（）+f（x）=?2-得3f（x）=6x-，f（x）=2x-.例3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，BAD=45，作直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.?解：作BHAD，H为垂足

12、，CGAD，G为垂足，?依题意，则有AH=，AG=a.?（1）当M位于点H的左侧时，NAB，?由于AM=x，BAD=45.?MN=x.?y=SAMN=x2（0x）.?（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，?MN=，BN=x-.?y=SAMNB=x+（x-）=ax-?（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.?y=SABCD-SMDN=综上：y=变式训练3：已知函数f(x)=（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.解：（1）分别作出f(x)在x0,x=0,x0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1. 1了

13、解映射的概念，应紧扣定义，抓住随意性和唯一性2函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法运用换元法时，要留意探讨定义域的改变3在简洁实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后找寻等量关系，求得函数的解析式，还要留意定义域若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示 第2课时函数的定义域和值域一、定义域：1函数的定义域就是使函数式的集合.2常见的三种题型确定定义域：已知函数的解析式，就是.复合函数fg(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数yf(x)中，与

14、自变量x的值的集合.2常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：视察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为法和法）例如：形如y，可采纳法；y，可采纳法或法；yaf(x)2bf(x)c，可采纳法；yx，可采纳法；yx，可采纳法；y可采纳法等. 例1.求下列函数的定义域：?（1）y=;?(2)y=;?(3)y=.?解：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为x|x0且x-1.?（2）由题意可得解得?故函数的定义域为x|-x且x.?（3）要使函数有意义，必需有?即x1,故函数的定义域为1，+）.?变式训练1：求下列函数的定义域：?（1）y=+

15、(x-1)0;(2)y=+(5x-4)0;(3)y=+lgcosx;?解：（1）由得?所以-3x2且x1.?故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).?（2）由得?函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2.设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.?（1）y=f(3x);(2)y=f();?(3)y=f(;?(4)y=f(x+a)+f(x-a).?解：（1）03x1,故0x,?y=f(3x)的定义域为0,.?（2）仿（1）解得定义域为1，+).?（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.?列出不等式组故y=f的定义域为.（）由条件得探讨：?当

16、即0a时，定义域为a,1-a;?当即-a0时，定义域为-a,1+a.?综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.?变式训练2：若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a)（0a）的定义域是（）A.?B.a，1-a?C.-a，1+a?D.0，1?解：?B例3.求下列函数的值域：?（1）y=(2)y=x-;?(3)y=.?解：（1）方法一（配方法）?y=1-而0值域为.方法二（判别式法）由y=得(y-1)y=1时,1.又R，必需=(1-y)2-4y(y-1)0.函数的值域为.（2）方法一（单调性法）?定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y函数的值域

17、为.方法二（换元法）?令=t,则t0，且x=?y=-（t+1）2+1（t0）,?y（-，.?（3）由y=得,ex=?ex0,即0,解得-1y1.?函数的值域为y|-1y1.?变式训练3：求下列函数的值域：?（1）y=;?(2)y=|x|.?解：（1）(分别常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.?(2)方法一(换元法)?1-x20,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,?故函数值域为0，.方法二y=|x|0y即函数的值域为.例4若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为1，b（b1），求a、b的值.?解：f（x）=(x-1)2+a-.其对称轴为x=1，即1

18、，b为f（x）的单调递增区间.f（x）min=f（1）=a-=1f（x）max=f（b）=b2-b+a=b由解得变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(xR).?（1）求函数的值域为0，+)时的a的值；?（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.?解：(1）函数的值域为0，+),?=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.?（2）对一切xR，函数值均非负,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,?f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函数f(a)在上单调递减，f（a）min=f=-，f（a）max

19、=f（-1）=4，?f(a)的值域为. 1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出说明式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了驾驭常用方法（如干脆法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应依据问题的不同特点，综合而敏捷地选择方法.第3课时函数的单调性 一、单调性1定义：假如函数yf(x)对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2，当x1、x2时，都

20、有，则称f(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；都有，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为.2推断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：；.(2)导数法，若函数yf(x)在定义域内的某个区间上可导，若，则f(x)在这个区间上是增函数；若，则f(x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)函数；2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为；3互为反函数的两个函数有的单调性；4复合函数yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单

21、调相同，则fg(x)为，若f(x),g(x)的单调性相反，则fg(x)为.5奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性. 例1.已知函数f(x)=ax+(a1)，证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.?证明方法一任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,则x2-x10,1且0,?，又x1+10,x2+10,?0,?于是f(x2)-f(x1)=+0,?故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.?方法二f(x)=ax+1-(a1),?求导数得=axlna+,a1,当x-1时，axlna0,0,?0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函数.?方法三a1,y=a

22、x为增函数，?又y=，在（-1，+）上也是增函数.?y=ax+在（-1，+）上为增函数.变式训练1：探讨函数f（x）=x+（a0）的单调性.?解：方法一明显f（x）为奇函数，所以先探讨函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则?f(x1)-f(x2)=（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.当0x2x1时，1,?则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0，上是减函数.?当x1x2时，01，则f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),?故f（x）在，+）上是增函数.f（x）是奇函数，?f（x）分别在（-，-、，+）上为增函数；?f（x）分别在-

23、，0）、（0，上为减函数.?方法二由=1-=0可得x=当x或x-时，0f（x）分别在（，+）、（-，-上是增函数.?同理0x或-x0时，0?即f（x）分别在（0，、-，0）上是减函数.例2.推断函数f(x)=在定义域上的单调性.?解：函数的定义域为x|x-1或x1,?则f(x)=,?可分解成两个简洁函数.?f(x)=x2-1的形式.当x1时，u(x)为增函数，为增函数.?f（x）=在1，+)上为增函数.当x-1时，u（x)为减函数，为减函数，?f(x)=在（-,-1上为减函数.?变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间.?解：由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，

24、则y=t.?t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.?又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).例3.求下列函数的最值与值域：?（1）y=4-;(2)y=x+;(3)y=.?解：（1）由3+2x-x20得函数定义域为-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.?t0，4，0，2，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为2，4.?(2)方法一函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只探讨x0时,即可知x0时的最值.?当x

25、0时,y=x+2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x0时，y-4,?等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-，-44，+），无最值.?方法二任取x1,x2,且x1x2,?因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=?所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0x2时，f(x)递减.?故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,?所以所求函数的值域为（-，-44，+），无最大（小）值.?（3）将函数式变形为?y=,?可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最

26、小值点.?ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.?明显无最大值.故值域为，+）.?变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x0）台的收入函数为R（x）=3000x-20x2(单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差.?（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；?（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？?解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（500x+4000）=-20x

27、2+2500x-4000（x1，100且xN,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000）=2480-40x（x1，100且xN）.?（2）P（x）=-20(x-2+74125，当x=62或63时，P(x)max=74120（元）.?因为MP（x）=2480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2440(元）.?因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.?例4（2022广西河池模拟）已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满意f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0

28、.（1）求f(1)的值；?（2）推断f(x）的单调性；?（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.?解：（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.?（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0,?所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),?所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.?（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.?由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，?由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.

29、因此不等式的解集为x|x9或x-9.变式训练4：函数f(x)对随意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.?（1）求证：f(x)是R上的增函数；?（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.?解：（1）设x1,x2R，且x1x2,?则x2-x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f（x2）f(x1).?即f(x)是R上的增函数.（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?f（2）=3，原不等式可化为f(3m2-

30、m-2)f(2),?f(x)是R上的增函数，3m2-m-22,解得-1m,故解集为（-1,）. 1证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1)定义法.其过程是：作差变形推断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2)求导法.其过程是：求导推断导函数的符号下结论.2确定函数单调区间的常用方法有：(1)视察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，视察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.留意：单调区间肯定要在定义域内.3含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式

31、，结合定义域求出参数的取值范围.第4课时函数的奇偶性 1奇偶性：定义：假如对于函数f(x)定义域内的随意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.假如函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.假如函数同时具有上述两条性质，则f(x).简洁性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2与函数周期有关的结论：已知条件中假如出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期 例1.推断下列函数的奇

32、偶性.?（1）f(x)=;?(2)f(x)=log2(x+)(xR);?(3)f(x)=lg|x-2|.?解：（1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定义域是-1，1.?f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),?故f(x)既是奇函数又是偶函数.?（2）方法一易知f(x)的定义域为R，?又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),?f(x)是奇函数.?方法二易知f(x)的定义域为R，?又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),?f(x)为奇函数.?（3）由|x-2|0

33、，得x2.?f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.?变式训练1：推断下列各函数的奇偶性：?（1）f（x）=（x-2）；?（2）f（x）=；?（3）f（x）=解：（1）由0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.?（2）由得定义域为（-1，0）（0，1）.?这时f（x）=.?f（-x）=-f（x）为偶函数.?（3）x-1时，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.?x1时，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).?-1x1时，f（x）=0，-1-x1,f（-x）=0=f（x）.?对定义域内的

34、每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.?例2已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).?（1）求证：f(x)是奇函数；?（2）假如xR+，f（x）0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间-2，6上的最值.?（1）证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称.?f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,?f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),?f(x)为奇函数.?（2）解：方法一设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），?f（x+y）-f（

35、x）=f（y）.?xR+，f（x）0,?f(x+y)-f(x)0,?f(x+y)f(x).?x+yx,?f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，?f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.?f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.?所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.?方法二设x1x2,且x1,x2R.?则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).?x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即

36、f(x)在R上单调递减.?f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-，?f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.?所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.?变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x(-,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.?解：f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.?当x0时，-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x），?即f（x）=-xlg(2+x)（x0）.f(x)=即f(x)=-xlg(2+|x|)(xR).例3已知函数

37、f(x)的定义域为R，且满意f(x+2)=-f(x)?.?（1）求证：f(x)是周期函数；?（2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2022上的全部x的个数.?（1）证明：f（x+2）=-f（x），?f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数.（2）解：当0x1时，f(x)=x,?设-1x0,则0-x1,f（-x）=（-x）=-x.?f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）,?-f（x）=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-1x1)又设1x3,则-1x-21,?f(x-2)=(x-2),又f（x-2）=-f（2-x

38、）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-f（x），?-f（x）=（x-2），?f（x）=-（x-2）（1x3）.f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.?f（x）是以4为周期的周期函数.?故f(x)=-的全部x=4n-1(nZ).令04n-12022,则n,?又nZ，1n502（nZ）,?在0，2022上共有502个x使f(x)=-.变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.?（1）试推断f(x)的奇偶性；?（2）若-a，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),?此时,f(x)为偶函数.当a0时，f(a)=a2+1,f(-a

39、)=a2+2|a|+1,?f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时，f(x)为非奇非偶函数.?（2）当xa时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,?a,故函数f(x)在（-，a上单调递减，?从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a)=a2+1.?当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,?a-，故函数f(x)在a，+）上单调递增，从而函数f(x)在a，+)上的最小值为f(a)=a2+1.?综上得，当-a时，函数f(x)的最小值为a2+1. 1奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应推断它是否具有这种性质.推断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是

40、否关于原点对称，然后依据奇偶性的定义推断（或证明）函数是否具有奇偶性.假如要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与a，验证f(a)f(a)0.2对于具有奇偶性的函数的性质的探讨，我们可以重点探讨y轴一侧的性质，再依据其对称性得到整个定义域上的性质.3函数的周期性：第一应从定义入手，其次应结合图象理解.第5课时指数函数1根式：(1)定义：若，则称为的次方根当为奇数时，次方根记作_；当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作_(a0).(2)性质：；当为奇数时，；当为偶数时，_2指数：(1)规定：a0(a0)；a-p；.(2)运算性质：(a0,r、Q)(

41、a0,r、Q)(a0,r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3指数函数：定义：函数称为指数函数，1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3)当_时函数为减函数，当_时为增函数.函数图像：1)过点，图象在；2)指数函数以为渐近线(当时，图象向无限接近轴，当时，图象向无限接近x轴)；3)函数的图象关于对称.函数值的改变特征： 例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.解：（1）原式=.a?=a.?a=，原式=3.?（2）方法一化去负指数后解.?a=a+b=方法二利用运算性质解.?a=a+b= 变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2.函数f(x)=

42、x2-bx+c满意f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是（）A.f(bx)f(cx)?B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx)D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b满意等式，下列五个关系式：?0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.?其中不行能成立的关系式有（）A.1个?B.2个?C.3个?D.4个?解：B?例3.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：?（1）f(x)=3;?（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+40,?解得x4或x1,?f（x）的定义域是（-，14，+）.?令u=x（-，14，+），?u0，即0

43、，而f(x)=330=1,?函数f(x)的值域是1，+）.?u=,当x（-，1时，u是减函数，?当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，?f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.?故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.?（2）由g(x)=-(?函数的定义域为R，令t=(x(t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,?t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,?即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.?由g(t)=-(t-2)2+9(t0),而t=(是减函数，要求g(x)的增区间事

44、实上是求g(t)的减区间，?求g(x)的减区间事实上是求g(t)的增区间.?g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，?由0t=(2,可得x-1,?由t=(2,可得x-1.?g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，?故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.?变式训练3：求下列函数的单调递增区间：?（1）y=(;(2)y=2.?解：（1）函数的定义域为R.?令u=6+x-2x2,则y=(.?二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,?在区间，+）上，u=6+x-2x2是减函数，?又函数y=(u是减函数，?函数y=(在，+）上是增函数.?故y=(单调递增区间为，+

45、）.?（2）令u=x2-x-6,则y=2u,?二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间，+）上u=x2-x-6是增函数.?又函数y=2u为增函数，?函数y=2在区间，+）上是增函数.?故函数y=2的单调递增区间是，+）.例4设a0,f(x)=是R上的偶函数.?（1）求a的值；?（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.?（1）解：f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），?（a-=0对一切x均成立，?a-=0，而a0,a=1.（2）证明在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2,则f(x1)-f(x2)=+-=(x1x2,有?x10,x20,x1+x20,1,-10.f(x1)-f(

46、x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数.变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)=.（1）求f（x)在-1，1上的解析式；?（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.?（1）解：当x(-1,0)时，-x(0,1).?f（x）是奇函数，f（x）=-f（-x）=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有?f（x）=(2)证明当x(0,1)时，f(x)=设0x1x21,?则f(x1)-f(x2)=0x1x21,0，2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),?故f(x)在（0，1）上单调递减. 1a，abN，loga