2017年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科).doc

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1、2017年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=x|y=，B=x|x2+x0，则AB=（）Ax|x0Bx|x0Cx|0x1Dx|x12（5分）在复平面内，复数z的对应点为（1，2），复数z的共轭复数，则（）2=（）A34iB3+4iC54iD5+4i3（5分）已知随机变量X听从正态分布N（0，2），若P（X2）=0.023，则P（2X2）等于（）A0.477B0.628C0.954D0.9774（5分）若（pq）为假命题，则（）Ap为真命题，q为假命题Bp为假命题，q为假命题Cp为真命题，q为真命题Dp为假命题，q为真命题5（

2、5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线方程为xay=0，曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（）ABC2D6（5分）如图网络纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的体积为（）A12B18C20D247（5分）牛顿法求方程f（x）=0近似根原理如下：求函数y=f（x）在点（xn，f（xn）处的切线y=f（xn）（xxn）+f（xn），其与x轴交点横坐标xn+1=xn（nN*），则xn+1比xn更靠近f（x）=0的根，现已知f（x）=x23，求f（x）=0的一个根的程序框图如图所示，则输出的结果为（）A2B1.75C1.73

3、2D1.738（5分）已知变量x，y满意约束条件，则x2+y2取值范围为（）A1，8B4，8C1，10D1，169（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）单调递增，若f（lnx）f（2），则x的取值范围是（）A（0，e2）B（e2，+）C（e2，+）D（e2，e2）10（5分）已知函数f（x）=sin（x+）和函数g（x）=cos（x+）在区间，上的图象交于A，B，C三点，则ABC的面积是（）ABCD11（5分）已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球的面上，且PA平面ABC，若球O的体积为（球的体积公式为R3，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，BAC=60，则三棱锥PABC的体积为

4、（）ABCD12（5分）已知函数f（x）的导函数f（x），满意（x2）f（x）f（x）0，且f（4x）=e42xf（x），则下列关于f（x）的命题正确的是（）Af（3）e2f（1）Bf（3）ef（2）Cf（4）e4f（0）Df（4）e5f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（x）4的绽开式中的常数项为 14（5分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，则角A等于 15（5分）甲、乙、丙三位同学同时参与M项体育竞赛，每项竞赛第一名、其次名、第三名得分分别为p1，p2，p3（p1p2p3，p1，p2，

5、p3N*，竞赛没有并列名次），竞赛结果甲得22分，乙、丙都得9分，且乙有一项得第一名，则M的值为 16（5分）函数f（x）=2cos（sincos）+（0）在区间（，）上有且仅有一个零点，则实数的范围为 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn已知a1=2，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式18（12分）某电子产品公司前四年的年宣扬费x（单位：千万元）与年销售量y（单位：百万部）的数据如下表所示：x（单位：千万元） 1 2 3 4 y（单位：百万部） 3 5 69可以求y关于x的线性回归方程为

6、=1.9x+1（1）该公司下一年预备投入10千万元的宣扬费，依据所求得的回归方程猜测下一年的销售量m：（2）依据下表所示五个散点数据，求出y关于x的线性回归方程=x+ x（单位：千万元） 1 2 3 4 10 y（单位：百万部） 35 6 9m并利用小二乘法的原理说明=x+与=1.9x+1的关系参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估量公式分别为：=，=19（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ABDC，BAD=90，AB=AD=CD=1，如图2，将ABD沿BD折起来，使平面ABD平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点（）求证：AO平面BCD；、（）若三棱锥A

7、BEF的体积为，求二面角ABEF的余弦值的肯定值20（12分）如图，已知过抛物线E：x2=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），FAD=FDA，经过点C作抛物线E的切线为l2（）求证：l1l2；（）求三角形ABC面积的最小值21（12分）已知函数f（x）=lnx（x0）（）求证：f（x）1；（）设g（x）=x2f（x），且关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1，x2（x1x2）（i）求实数m的取值范围；（ii）求证：x1x22（参考数据：e=2.718，0.960，1.124，0.769，ln20.693，ln2.

8、60.956，ln2.6390.970注：不同的方法可能会选取不同的数据）四、选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知曲线C1的参数方程为，（为参数，且0，），曲线C2的极坐标方程为=2sin（）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|PN|的取值范围五、选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b，c满意a，b，cR+（）若ab=1，证明：（+）24；（）若a+b+c=3，且+|2x1|x2|+3恒成立，求x的取值范围2017年

9、辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=x|y=，B=x|x2+x0，则AB=（）Ax|x0Bx|x0Cx|0x1Dx|x1【解答】解：A=x|y=x|x0，B=x|x2+x0=x|x0或x1，则AB=x|x0，故选：A2（5分）在复平面内，复数z的对应点为（1，2），复数z的共轭复数，则（）2=（）A34iB3+4iC54iD5+4i【解答】解：复数z的对应点为（1，2），复数z=12i的共轭复数=1+2i，则（）2=（1+2i）2=3+4i故选：B3（5分）已知随机变量X听从正态分布N（0，2），若P（X2

10、）=0.023，则P（2X2）等于（）A0.477B0.628C0.954D0.977【解答】解：随机变量X听从标准正态分布N（0，2），正态曲线关于X=0对称，P（X2）=0.023，P（2X2）=120.023=0.954，故选：C4（5分）若（pq）为假命题，则（）Ap为真命题，q为假命题Bp为假命题，q为假命题Cp为真命题，q为真命题Dp为假命题，q为真命题【解答】解：若（pq）为假命题，则pq为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C5（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线方程为xay=0，曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（）ABC2D

11、【解答】解：依据题意，双曲线C的方程为：=1，则其渐近线方程为y=x，又由一条渐近线方程为xay=0，即y=x，则有=，解可得b=1，抛物线的方程为y2=8x，其焦点坐标为（2，0），则双曲线C：=1（a0，b0）的焦点坐标为（2，0），则有c2=a2+b2=4，即c=2，又由b=1，则a=，则双曲线的离心率e=；故选：A6（5分）如图网络纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的体积为（）A12B18C20D24【解答】解：由已知三视图得到几何体是三棱柱割去一个三棱锥，如图：体积为=24；故选：D7（5分）牛顿法求方程f（x）=0近似根原理如下：求函数y=f（

12、x）在点（xn，f（xn）处的切线y=f（xn）（xxn）+f（xn），其与x轴交点横坐标xn+1=xn（nN*），则xn+1比xn更靠近f（x）=0的根，现已知f（x）=x23，求f（x）=0的一个根的程序框图如图所示，则输出的结果为（）A2B1.75C1.732D1.73【解答】解：f（x）=x23，则f（x）=2x，模拟程序的运行，可得n=1，x=3执行循环体，x=3=2，n=2满意条件n3，执行循环体，x=2=，n=3不满意条件n3，退出循环，输出x的值为，即1.75故选：B8（5分）已知变量x，y满意约束条件，则x2+y2取值范围为（）A1，8B4，8C1，10D1，16【解答】解：

13、作出变量x，y满意约束条件，对应的平面区域：则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A或B时，OA或OB的距离最大，当直线x=1与圆x2+y2=z相切时，距离最小，即原点到直线x=1的距离d=1，即z的最小值为z=d2=1，由，解得A（1，3），由解得B（3，1）此时z=x2+y2=32+12=9+1=10，即z的最大值为10，即1z10，故选：C9（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）单调递增，若f（lnx）f（2），则x的取值范围是（）A（0，e2）B（e2，+）C（e2，+）D（e2，e2）【解答】解：依据题意，f（x）为偶函数且在0，+）

14、单调递增，则f（lnx）f（2）|lnx|2，即2lnx2，解可得：e2xe2即x的取值范围是（e2，e2）故选：D10（5分）已知函数f（x）=sin（x+）和函数g（x）=cos（x+）在区间，上的图象交于A，B，C三点，则ABC的面积是（）ABCD【解答】解：函数f（x）=sin（x+）和函数g（x）=cos（x+）在区间，上的图象交于A，B，C三点，令sin（x+）=cos（x+），x，解得x=1，0，1，可得A（1，）、B（0，）、C（1，），则ABC的面积为S=（）1（1）=故选：C11（5分）已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球的面上，且PA平面ABC，若球O的体积为（球的体积公

15、式为R3，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，BAC=60，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD【解答】解：如图所示，在ABC中，AB=2，AC=1，BAC=60，则BC2=22+12212cos60=3，解得BC=，ACB=90取AB的中点D，则球心O满意OD平面ABC又PA平面ABC，三棱锥PABC的外接球的球心O为PB的中点OD=PA由球的体积计算公式可得：R3=，解得R=OD=2PA=4三棱锥PABC的体积V=PA=故选：B12（5分）已知函数f（x）的导函数f（x），满意（x2）f（x）f（x）0，且f（4x）=e42xf（x），则下列关于f（x）的命题正确的是（）Af（3）e2

16、f（1）Bf（3）ef（2）Cf（4）e4f（0）Df（4）e5f（1）【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，由（x2）f（x）f（x）0，得：x2时，f（x）f（x）0，故x2时，g（x）0，g（x）在（2，+）递增，f（4x）=e42xf（x），=g（4x）=g（x），g（3）=g（41）=g（1），=，f（3）=e2f（1）g（3）g（2），f（3）ef（2），g（0）=g（44）=g（4），=，即e4f（0）=f（4），g（1）=g（45）=g（5）g（4），e5f（1）f（4）故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（x）4的绽开式中的常数项为6【解答】解

17、：的通项为=（1）rC4rx42r令42r=0得r=2绽开式的常数项为T3=C42=6故答案为614（5分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，则角A等于【解答】解：（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，由正弦定理可得：（ab）（a+b）=（cb）c，化为b2+c2a2=bc由余弦定理可得：cosA=，A为锐角，可得A=，故答案为15（5分）甲、乙、丙三位同学同时参与M项体育竞赛，每项竞赛第一名、其次名、第三名得分分别为p1，p2，p3（p1p2p3，p1，p2，p3N*，竞赛没有并列名次），竞赛结果甲得22分

18、，乙、丙都得9分，且乙有一项得第一名，则M的值为2，3，4，5【解答】解：M=1时不成立M=2时，假设第一项竞赛得分分别为：乙8甲7丙6，则另一项竞赛得分分别为：甲15丙3乙1满意条件M=3时，可能三项得分分别为：乙7甲6丙5，甲8丙2乙1，甲8丙2乙1，满意条件M=4时，可能三项得分分别为：乙6甲5丙2，甲6丙3乙1，甲6丙2乙1，甲5丙2乙1，满意条件M=5时，可能三项得分分别为：乙5甲4丙1，甲5丙2乙1，甲5丙2乙1，甲4丙2乙1，甲4丙2乙1，满意条件M6时，不行能满意条件综上可得：M的值可为：2，3，4，5故答案为：2，3，4，516（5分）函数f（x）=2cos（sincos）+

19、（0）在区间（，）上有且仅有一个零点，则实数的范围为（，1）（，3【解答】解：函数f（x）=2cos（sincos）+（0）化简可得：f（x）=2cossin2cos2=sinxcosx=2sin（x）周期T=在区间（，）上有且仅有一个零点，可得3由，即，可得：，kZ，0，当k=0时，可得：，当k=1时，可得：；3综上可得实数的范围为（，1）（，3故答案为（，1）（，3三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn已知a1=2，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【解答】解：（1）由S2=4a1+2有

20、a1+a2=4a1+2，解得a2=3a1+2=8，故a22a1=4，又an+2=Sn+2Sn+1=4an+1+2（4an+2）=4an+14an，于是an+22an+1=2（an+12an），因此数列an+12an是首项为4，公比为2的等比数列由于bn=an+12an，所以数列bn是等比数列，（2）由（1）可得an+12an=42n1=2n+1，于是=1，因此数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以=1+n1=n，所以an=n2n18（12分）某电子产品公司前四年的年宣扬费x（单位：千万元）与年销售量y（单位：百万部）的数据如下表所示：x（单位：千万元） 1 2 3 4 y（单位：百万部）

21、 3 5 69可以求y关于x的线性回归方程为=1.9x+1（1）该公司下一年预备投入10千万元的宣扬费，依据所求得的回归方程猜测下一年的销售量m：（2）依据下表所示五个散点数据，求出y关于x的线性回归方程=x+ x（单位：千万元） 1 2 3 4 10 y（单位：百万部） 35 6 9m并利用小二乘法的原理说明=x+与=1.9x+1的关系参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估量公式分别为：=，=【解答】解：（1）依据y关于x的线性回归方程为=1.9x+1，计算x=10时，=1.910+1=20；即公司投入10千万元的宣扬费，猜测下一年的销售量m=20百万部；（2）依据下表所示五个散

22、点数据，计算=（1+2+3+4+10）=4，=（3+5+6+9+20）=6.6； x（单位：千万元） 1 2 3 4 10 y（单位：百万部） 35 6 920xiyi=13+25+36+49+1020=267，=12+22+32+42+102=130，回归系数为=2.7，=6.62.74=4.2，求出线性回归方程为=2.7x4.2；散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线四周，称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法19（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ABDC，BAD=90，AB=AD=CD=1，如图2，

23、将ABD沿BD折起来，使平面ABD平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点（）求证：AO平面BCD；、（）若三棱锥ABEF的体积为，求二面角ABEF的余弦值的肯定值【解答】（I）证明：在图1中，取CD的中点E，连结BE，ABDC，BAD=90，AB=AD=CD=1，BE=DE=CE=1，BECD，DBE=CBE=45，BCBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，BC平面BCD，BC平面ABD，AO平面ABD，AOBC，AB=AD，O是BD的中点，AOBD，又BDBC=B，BD平面BCD，BC平面BCD，AO平面BCD（II）解：设F到平面ABD的距离为h，

24、则VABEF=VFABE=，h=CF=CA由（I）可知OEBD，以O为原点，以OD，OE，OA为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A（0，0，），B（，0，0），E（，0，），C（，0），=（，0，），=（0，0），=（，），=（，），设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，令x=1得=（1，3），BC平面ABD，=（0，0）是平面ABD的一个法向量，cos=二面角ABEF的余弦值的肯定值为20（12分）如图，已知过抛物线E：x2=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），FAD=FDA，经过点C作抛物线E的切线为l2（）

25、求证：l1l2；（）求三角形ABC面积的最小值【解答】解：（）证明：抛物线E：x2=4y的焦点F为（0，1），且直线AF的斜率肯定存在，故设AF的方程为：y=kx+1设A（x1，y1），C（x2，y2），（不妨设x20）由得x24kx4=0，x1+x2=4k，x1x2=4，FAD=FDA，AF=DF，yD=y1+2直线l1的斜率为k1=，x1x2=4，又，过C（x2，y2）的切线斜率即k1=k2，l1l2（）由（）得直线l1的斜率为，故直线l1的方程为：联立得，x1+xB=2x2，AB=2，点C到直线l1的距离为d=三角形ABC面积s=由（）可得，所以当k=0时（x2x1）min=4，当k=0

26、时，三角形ABC面积s=取最小值，（s）min=21（12分）已知函数f（x）=lnx（x0）（）求证：f（x）1；（）设g（x）=x2f（x），且关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1，x2（x1x2）（i）求实数m的取值范围；（ii）求证：x1x22（参考数据：e=2.718，0.960，1.124，0.769，ln20.693，ln2.60.956，ln2.6390.970注：不同的方法可能会选取不同的数据）【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）1+=lnx1+，（x0）h（x）=，x（0，1）时，h（x）0，x（1，+），h（x）0，h（x）在（0，1）递减，在（1，+

27、）递增，h（x）h（1）=0，即f（x）1成立；（）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x0）（i）g（x）=x（2lnx+1），令g（x）=0，得x=x）时，g（x）0，x时，g（x）0，g（x）在（0，）递减，在（递增，g（x）min=g（）=，且x0，时g（x）0，g（1）=0g（x）的图象如下：要使关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1，x2（x1x2）实数m的取值范围为：（，0）（ii）证明：由（i）方程f（x）=m（m2）的两个相异实根x1，x2，满意 0x1x21，令F（x）=x2lnxm，则有F（x1）f（x2）构造函数G（x）=F（x）F（）=x2lnx，（x1）

28、，G（x）0，且G（）0，在x1时恒成立，则有F（x1）=F（x2），且x1，（0，）由（i）知F（x）在（0，）递减，x1x22四、选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知曲线C1的参数方程为，（为参数，且0，），曲线C2的极坐标方程为=2sin（）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|PN|的取值范围【解答】解：（1）消去参数可得x2+y2=1，由0，），则1x1，0y1，曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，曲线C

29、1的极坐标方程为=1（0）（2分）曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；（5分）（2）设P（x0，y2），则0y01，直线l的倾斜角为，则直线l的参数方程为：x=x0+tcosy=y0+tsin（t为参数）（7分）代入C2的直角坐标方程得（x0+tcos）2+（y0+tsin+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|PN|=|1+2y0|，由于0y21，|PM|PN|=1，3（10分）五、选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b，c满意a，b，cR+（）若ab=1，证明：（+）24；（）若a+b+c=3，且+|2x1|x2|+3恒成立，求x的取值范围【解答】（）证明：ab=1，（+）2=a2+b2+22ab+2=4；（）解：（+）2（1+1+1）（a+b+c）=9，+|2x1|x2|+3恒成立，9|2x1|x2|+3，|2x1|x2|6，x，不等式化为2x+1+x26，x7，x7，不等式化为2x1+x26，x3，不成立；x2，不等式化为2x1x+26，x5，x5；综上所述，x7或x5第24页（共24页）