第21章 一元二次方程 课件人教版九年级数学上册 .pptx

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1、第 21 章 一元二次方程Quadratic Equation in One Unknown,何为方程？,下列式子哪些是方程？,2+3=53+25+3=182y=5 3 +12,没有未知数不是等式是方程是方程不是等式,21.1 一元二次方程,21.1 一元二次方程,我们学过哪些方程？,一元一次方程二元一次方程分式方程,定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。,一元：一个未知数二次：最高次数是二次方程：含有未知数的等式,1,2,21.1 一元二次方程,一般形式： 2 +=0(0),其中： 2 是二次项， 是二次项系数，二次项系数不为0；是一次项，是一次项系数

2、； 是常数项。,注意：每项的系数包括它前面的符号,3,21.1 一元二次方程,例1：已知方程 +2 +25=0是关于的一元二次方程，则=_,答案2,例2：已知关于的一元二次方程 +1 +1 + 2 +5=0，则=_,解析因为方程是一元二次方程，所以未知数的最高次数 +1=2，解得=1或=1 ，又因为二次项系数+10，即1。所以=1。,注意：二次项系数0,21.1 一元二次方程,方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫方程的根。,4,例3：已知关于的一元二次方程 1 2 +35+4=0有一根为2，则=_,答案解：把=2代入原方程得： 1 2 2 +325+4=0解得 =

3、6,21.2 解一元二次方程,21.2 解一元二次方程,解一元二次方程的三种方法：,1,2,3,配方法,公式法,因式分解法,21.2 解一元二次方程,1,配方法,一般地，对于方程 2 =，（1）当0时，方程有两个不相等的实数根 1 = ， 2 = ；（2）当=0时，方程有两个相等的实数根 1 = 2 =0；（3）当0时，方程没有实数根。,21.2 解一元二次方程,1,配方法,例4：解方程 (+3) 2 =5.,答案解：得+3= 5 即+3= 5 或+3= 5 . 1 =3+ 5 ， 2 =3 5,21.2 解一元二次方程,1,配方法,用配方法解方程： 2 +6+4=0.,解：1、移项 2 +6

4、=42、二次项系数化为一3、等式两边同加一次项系数一半的平方 2 +6+9=4+94、左边写成完全平方的形式 (+3) 2 =55、降次+3= 5 或+3= 5 .6、解一次方程 1 =3+ 5 ， 2 =3 5,像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。,完全平方公式： 2 +2+ 2 = (+) 2,21.2 解一元二次方程,1,配方法,配方法步骤：1、移项2、二次项系数化为一3、等式两边同加一次项系数一半的平方4、左边写成完全平方的形式5、降次6、解一次方程,21.2 解一元二次方程,1,配方法,例5: (1) 2 2 +1=3；(2) 3 2 6+4=0.,(

5、1)解：1、移项 2 2 3=12、二次项系数化为一 2 3 2 = 1 2 3、等式两边同加一次项系数一半的平方 2 3 2 + 3 4 2 = 1 2 + ( 3 4 ) 2 4、左边写成完全平方的形式 ( 3 4 ) 2 = 1 16 5、降次 3 4 = 1 4 或 3 4 = 1 4 .6、解一次方程 1 =1， 2 = 1 2,21.2 解一元二次方程,1,配方法,例5: (1) 2 2 +1=3；(2) 3 2 6+4=0.,(2)解：1、移项 3 2 6=42、二次项系数化为一 2 2= 4 3 3、等式两边同加一次项系数一半的平方 2 2+ 1 2 = 4 3 + 1 2 4

6、、左边写成完全平方的形式 (1) 2 = 1 3 5、实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根,21.2 解一元二次方程,2,公式法,解：1、移项 2 +=2、二次项系数化为一 2 + = 3、等式两边同加一次项系数一半的平方 2 + +( 2 ) 2 = +( 2 ) 2 4、左边写成完全平方的形式 (+ 2 ) 2 = 2 4 4 2 因为0，所以4 2 0，式子 2 4将有下列三种情况：,一元二次方式的一般形式： 2 +=0 0 能否用配方法得出一般形式的解呢？,21.2 解一元二次方程,2,公式法,(+ 2 ) 2 = 2 4 4 2 因为0，所以4 2 0，式子 2 4将有下列三种情

7、况：（1） 2 40此时 2 4 4 2 0，则 + 2 = 2 4 2 .即方程有2个不相等的实数根， 1 = + 2 4 2 2 = 2 4 2,（2） 2 4=0此时 2 4 4 2 =0，则 + 2 =0.即方程有2个相等的实数根， 1 = 2 = 2,（3） 2 40此时 2 4 4 2 0，即 (+ 2 ) 2 0即方程没有的实数根。,21.2 解一元二次方程,2,公式法,其中， 2 4叫做根的判别式，通常用 表示即： = 2 4总结：对于 2 +=0 0 若0，方程有两个不相等的实数根；若=0，方程有两个相等的实数根；若0，方程没有实数根。当0时，方程的实数根可写为： = 2 4

8、 2 （求根公式）,21.2 解一元二次方程,2,公式法,例6：(1) 2 2 +1=3；(2) 3 2 6+4=0.,答案(1) 解：由原方程得 2 2 3+1=0 =2, =3, =1 = 2 4= 3 2 421=10 解得 1 = 3 + 1 22 =1 2 = 3 1 22 = 1 2,= 2 4（求根公式）= 2 4 2 （求根公式）,21.2 解一元二次方程,2,公式法,例6：(1) 2 2 +1=3；(2) 3 2 6+4=0.,答案(2) 解：由原方程得 3 2 6+4=0 =3, =6, =4 = 2 4= 6 2 434=120原方程无实数根,= 2 4（求根公式）= 2

9、 4 2 （求根公式）,21.2 解一元二次方程,3,因式分解法,解方程：2 2 10=0除了配方法或公式法以外，有没其他方法解上面这个方程呢？解：方程右边为0，我们可以对左边因式分解 210 =0我们知道，两个因式乘积为0，则在这两个因式中至少有一个因式为0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.即 =0或210=0所以 1 =0或 2 =5,21.2 解一元二次方程,3,因式分解法,2 2 10=0提取公因式 210 =0即 =0或210=0解得 1 =0或 2 =5,可以发现，上述解法不适用开平方降次，而是先因式分解，使其化为两个一次式乘积为0的形式，再使两个一次式分别

10、等于0，从而求解，这种解法叫做因式分解法。,解题步骤：1、原方程因式分解成=0的形式2、令=0或=03、解得,21.2 解一元二次方程,3,因式分解法,例7：(1) 3 2 6=3；(2) 3 2+1 =4+2.,答案(1) 解：化简原方程得 2 2+1=0 (1) 2 =0即1=0解得 1 = 2 =1,21.2 解一元二次方程,3,因式分解法,例7：(1) 3 2 6=3；(2) 3 2+1 =4+2.,答案(2) 解：化简原方程得 3 2+1 4+2 =0 3 2+1 2 2+1 =0 32 2+1 =0即32=0或2+1=0解得 1 = 2 3 , 2 = 1 2,21.2 解一元二次

11、方程,4,根系关系（韦达定理）,由公式法我们可以道，对于方程 2 +=0 0 ，当0时，方程的实数根可写为： = 2 4 2 （求根公式）也就是说，方程的根是由方程的系数、决定的，那么，方程的根与系数之间的联系还有其他表现的方式吗？,21.2 解一元二次方程,4,根系关系（韦达定理）,由求根公式可知： 1 = + 2 4 2 ， 2 = 2 4 2 由此可得 1 + 2 = + 2 4 2 + 2 4 2 = 1 2 = + 2 4 2 2 4 2 = ,21.2 解一元二次方程,4,根系关系（韦达定理）,因此，一元二次方程的根与系数有如下关系： 1 + 2 = 1 2 = ,例7：不解方程，

12、求下列方程的两根之和及两根之积。(1) 3 2 6=3；(2) 4 2 =81.,答案(1) 解：化简原方程得 2 2+1=0 =1，=2，=1 1 + 2 = = 2 1 =2 1 2 = = 1 1 =1,答案(2) 解：化简原方程得 4 2 81=0 =3，=0，=81 1 + 2 = = 0 3 =0 1 2 = = 81 3 = 81 3,21.3 实际问题与一元二次方程,21.3 实际问题与一元二次方程,例8：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？,分析设每轮传染中平均每人传染了个人。开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人

13、，他传染了个人，第一轮后共有1+个人感染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，即第二轮传染了(1+ )个人，一共就有1+ 1+ 个人感染。列方程1+ 1+ =121解方程 1 =10， 2 =12（不合题意，舍去）平均一个人传染了10个人。,21.3 实际问题与一元二次方程,例9：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大?,分析根据题意得出，甲种药品成本的年平均下降额为 50003000 2=1000(元)，乙种药品成本的年

14、平均下降额为 60003600 2=1200（元）。显然，乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）。设甲种药品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种药品成本为5000(1)元，两年后甲种药品成本为5000 (1) 2 元，于是有5000 (1) 2 =3000解得 1 =22.5%， 2 =177.5%根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%。,21.3 实际问题与一元二次方程,例10：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支于长出多少小分支?,例11：一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm，求菱形的周长。,例12：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支于长出多少小分支?,总结,一元二次方程：定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。一般形式： 2 +=0(0)解法：(1) 配方法(2) 公式法(3) 因式分解法韦达定理： 1 + 2 = 1 2 = ,