九年级数学二次函数的解析式及其综合运用培优教程.doc

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1、九年级数学二次函数的解析式及其综合运用培优教程考点方法破译1理解掌握二次函数的三种解析式:(1)一般式:yax2bxc(a0)；(2)顶点式:ya(xm)2h，其中点(m，h)为该二次函数的顶点；(3)交点式: ya(xx1)(xx2)，其中点(x1，0)，( x2，0)为该二次函数与x轴的交点并能灵活进行互化；2能根据题目不同条件，灵活地选择合适类型的解析式求解经典考题赏板【例】已知抛物线yax2bxc(a0)经过点(0，0)和(4，0)，最高点纵坐标是4，求其解析式【解法指导】方法一:根据有两个已知点和顶点纵坐标是4，采用一般式与顶点纵坐标公式结合求解；(需要解三元方程组，是最容易想到的方

2、法，但不是最好方法)方法二:由已知两点均在x轴上，根据对称性可得顶点的横坐标x2，采用顶点式可求；(此法求解计算简捷，是最佳解法)方法三:根据已知两点纵坐标为0，是抛物线与x轴的交点，采用交点式可求(此法只有求出顶点坐标代入才简便)解:由题意知抛物线顶点为(2，4)，则其解析式可化为ya(x2)24，将(0，0)代入0 a44，解得a1所求函数式为y(x2) 24x 24x【变式题组】1已知抛物线的顶点为A(1，4)，又知它与x轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式2(遂宁)如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6(1)求二次函数的解

3、析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【例】(娄底)已知关于x的二次函数yx2(2m1)xm 23m4(1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A (x1，0)，B (x2，0)，且x12 x225，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式【解法指导】解:(1)令y0，得: x2(2m1)xm23m40 (2m1)24(m23m4)16m15； 当0时，方程有两个不相等的实数根，即16m150

4、m，此时，y的图象与x轴有两个交点；当0时，方程有两个相等的实数根，即16m150 m，此时， y的图象与x轴只有一个交点；当0时，方程没有实数根，即16m150 m，此时， y的图象与x轴没有交点 当m时，y的图象与x轴有两个交点；当m时，y的图象与x轴只有一个交点；当m时，y的图象与x轴没有交点(2)由根与系数的关系得x1x22m1， x1x2m23m4， x12x22(x1x2)22x1x2(2m1)22(m23m4)2m210m7x12x225，2m210m75， m25m60，解得: m16， m21m，m1yx23x2令x0，得y2， 二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为(0，2)

5、，又yx23x2(x)2，顶点M的坐标为(，)设过C(0，2)与M(，)的直线解析式为ykxb，则，解得，所求解析式为yx2【变式题组】3(新疆)已知x轴上有两点A(x1，0)，B( x2，0)，在y轴上有一点C， x1， x2是方程x2 m2 x50的两个根，且x12 x2226， ABC的面积是9(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求过A，B，C三点的抛物线的解析式【例】(陕西)如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标是(1，2)(1)求点B的坐标；(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式；(3)连接AB，在(2)中的抛物线上求出点P，使得SABP SABO【解法指导】解

6、:(1)过点A作AFx轴，垂足为点F，过点B作BEx轴，垂足为点E，则AF2，OF1 OAOB， AOFBOE90又 BOEOBE90AOFOBERtAFORtOEB 2 BE2，OE4 B(4，2)(2)设过点A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为yax2bxc，解之，得， 所求抛物线的表达式为yx2x (3)由题意，知ABx轴设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则SABPABdABAF d2 点P的纵坐标只能是0或4令y0，得x2x0，解之，得x0，或x3 符合条件的点P1(0，0)，P2(3，0)令y4，得x2x4，解之，得x，符合条件的点P3(，4)，P4(，4) 综

7、上，符合题意的点有四个P1(0，0)，P2(3，0)， P3(，4)，P4(，4)【变式题组】4(孝感)已知抛物线yx2kxk2 (k为常数，且k0)(1)证明:此抛物线与x轴总有两个交点；(2)设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值 【例】二次函数yx2xm2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于C点，且ACB90(1)求这个二次函数解析式；(2)设计两种方案:作一条与y轴不重合，与ABC两边相交的直线，使截得的三角形与ABC相似，并且面积为BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注:设计的方案不必证明)说明：原图有误，改为

8、【解法指导】(1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案解:(1) ACB90， COAB，由射影定理得:OC 2AOOB，又OCm2，AOxA，OBxB，(m2)2xAxB， (m 2)22(m2)，解得，m4或m2(舍去) 此二次函数的解析式为yx2x2(2)以下方案供参考:分别取BO、BC中点O1、C1，作直线O1C， BO1C1符合B(4，0) 、O1 (2，0)、C1 (2，1)在AB上取AB2AC，在AC上取AO2AO1，作直线O2B2， B2O2A符合B2(1，0)、O2 (1，0)、A(1，

9、0)【变式题组】5(黔东南)已知二次函数yx2axa2(1)求证:不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点(2)设a0，当此函数图象x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式(3)若此二次函数图象x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由演练巩固反馈提高01(安顺)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0) 、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；(3) AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由02(武汉)如图，抛物线yax

10、2bx4a经过A(1，0) 、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B(1) 求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；(3)在(2)的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45，求点P的坐标03(包头)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线xm(m2)与x轴交于点D(1)求二次函数的解析式；(2)在直xm(m2)上有一点E(点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一

11、点F，使得四边形ABEF为平行四边形?若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由培优升级奥赛检测01已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数yax2bx5(a0)的图象上两点，当xx 1x 2时，二次函数的值是()A5B5C2002D502由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数yx2bxc的图象过点(1，0)求证:这个二次函数的图象关于直线x2对称，根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是()A过点(3，0)B顶点是(2，2)C在x轴上截得的线段长为2D与y轴的交点是(0，3)03(全国联赛)抛物线yax2bxc与x轴交于A，B两点，与

12、y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac_04(全国联赛)已知二次函yax2bxc的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|n|1设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|q|_05如图，抛物线和直线ykx4k(k0)与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴x1与x轴相交于C点，且ABC90，求抛物线的解析式06(济南)已知:抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(3，0)，C(0，2)(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标；(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合)过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由07(全国联赛)设m， n为正整数，且m2，如果对一切实数t，二次函数yx2(3mt) x3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2tn|，求m， n的值