《抛物线及其标准方程》导学案.docx
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1、抛物线及其标准方程导学案抛物线及其标准方程教案设计说明:学生在初中学习二次函数时知道二次函数的图象是一个抛物线,在物理的学习中也接触过抛物线(物体的运动轨迹)。因而对抛物线的相识比对前面学习的两种圆锥曲线椭圆和双曲线更多。所以学生学起来会轻松。但是要留意的是,现在所学的抛物线是方程的曲线而不是函数的图象。本节内容是在学习了椭圆和双曲线的基础上,利用圆锥曲线的其次定义统一进行绽开的,因而对于抛物线的系统学习具有双重的目标性。抛物线作为点的轨迹,其标准方程的推导过程充溢了辨证法,到处是数与形之间的比照和相互转化。而要得到抛物线的标准方程,必需建立适当的坐标系,还要依靠焦点和准线的相互位置关系,这是
2、抛物线标准方程有四种而不象椭圆和双曲线只有两种形式。因而抛物线的标准方程的推导也是培育辨证唯物主义观点的好素材。利用圆锥曲线其次定义通过类比方法,引导学生视察和对比,启发学生猜想与概括,利用建立坐标系求出抛物线的四种标准方程,让每一个学生都能动手,动口,动脑参加教学过程,真正贯彻“老师为主导,学生为主体”的教学思想。对于标准方程中的参数及其几何意义,焦点坐标和准线方程与的关系是本节课的重点内容,必需让学生驾驭如何依据标准方程求、焦点坐标、准线方程或依据后三者求抛物线的标准方程。特殊对于一些有关距离的问题,要能敏捷运用抛物线的定义赐予解决。当前素养教化的主流是培育学生的实力,让学生学会学习。本节
3、课采纳学生通过探究、视察、对比分析,自己发觉结论的学习方法,培育了学生逻辑思维实力,动手实践实力以及探究的精神。抛物线及其标准方程 2.3.1抛物线及其标准方程一、教学目标1.驾驭抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“视察”、“思索”、“探究”与“合作沟通”等一系列数学活动,培育学生视察、类比、分析、概括的实力以及逻辑思维的实力,使学生学会数学思索与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)四、
4、教学过程(一)复习旧知在初中,我们学习过了二次函数,知道二次函数的图象是一条抛物线例如:(1),(2)的图象(展示两个函数图象):(二)讲授新课1.课题引入在实际生活中,我们也有很多的抛物线模型,例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。究竟什么样的曲线才可以称做是抛物线?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?这就是我们今日要探讨的内容.(板书:课题2.4.1抛物线及其标准方程)2.抛物线的定义信息技术应用(课堂中展示画图过程)先看一个试验:如图:点F是定点,是不经过点F的定直线,H是上随意一点,过点H作,线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H
5、,视察点M的轨迹,你能发觉点M满意的几何条件吗?(学生视察画图过程,并探讨)可以发觉,点M随着H运动的过程中,始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线的距离相等。(也可以用几何画板度量|MH|,|MF|的值)(定义引入):我们把平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.(板书)思索?若F在上呢?(学生思索、探讨、画图)此时退化为过F点且与直线垂直的一条直线.3.抛物线的标准方程从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点满意到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?要求抛物线
6、的方程,必需先建立直角坐标系.问题设焦点F到准线的距离为,你认为应当如何选择坐标系求抛物线的方程?根据你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程.(引导学生分组探讨,回答,并不断补充常见的几种建系方法,叫学生应用投影仪展示计算结果)123 留意:1.标准方程必需出来,此表格在黑板上板书。2.若出现比较困难建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先解除计算3.强调P的意义。4.老师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上随意一点的坐标都满意方程,以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.(选择标准方程)师
7、:视察4(3)个建系方案及其对应的方程,你认为哪种建系方案使方程更简洁?(学生选择,说明1.对称轴2.焦点3.方程无常数项,顶点在原点)推导过程:取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如右图所示,则有F(,0),l的方程为x=.设动点M(x,y),由抛物线定义得:化简得y2=2px(p0)师:我们把方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是,准线方程是。师:在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程:
8、(学生分前两排,中间两排,后面两排三组分别计算三种状况,一起填充表格)图形标准方程焦点坐标准线方程 y2=2px(p0)(,0) x= y2=2px(p0)(,0) x= x2=2py(p0)(0,) y= x2=2py(p0)(0,) y= (三)例题讲解例1(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程,(2)已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.解:(1)抛物线方程为y2=6xp=3,则焦点坐标是(,0),准线方程是x=.(2)焦点在y轴的负半轴上,且=2,p=4则所求抛物线的标准方程是:x2=8y.变式训练1:(1)已知抛物线的准线方程是x=,求它的标准方程.(2)已知抛物线的标
9、准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.解(1)焦点是F(0,3),抛物线开口向上,且=3,则p=6所求抛物线方程是x2=12y(2)抛物线方程是2y2+5x=0,即y2=x,p=高考学习网XK则焦点坐标是F(,0),准线方程是x=例2点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解:如右图所示,设点M的坐标为(x,y)由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.依据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.=4,p=8因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为y2=16x.变式训练2:在抛物线y2=2x上求一点
10、P,使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.解:如下图所示,设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|由抛物线定义可知:|PF|=|PQ|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|明显当P、Q、A三点共线时,|PQ|+|PA|最小.A(3,2),可设P(x0,2)代入y2=2x得x0=2故点P的坐标为(2,2).(四)小结1、抛物线的定义;2、抛物线的四种标准方程;3、留意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.(五)课后练习 2.3.1抛物线及其标准方程 2.3.1抛物线及其标准方程【学情分析】:学生已经学习过椭圆和双曲线,驾驭了椭圆和双曲线的定义。经验了依据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的直角坐
11、标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】:(1)学问与技能:驾驭抛物线定义和抛物线标准方程的概念;能依据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步驾驭求抛物线标准方程的方法。(2)过程与方法:在进一步培育学生类比、数形结合、分类探讨和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习实力。(3)情感、看法与价值观:培育学生科学探究精神、审美观和理论联系实际思想。【教学重点】:抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】:(1)抛物线标准方程的推导;(2)利用抛物线的定义及其标准方程的学问解决实际问题。【课前打算】:Powerpoint或投影片【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图 一、复习引入抛物线的
12、定义 1.椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数()的点的轨迹. 2双曲线的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的肯定值等于常数()的点的轨迹. 3思索:与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当0e1时是椭圆,当e1时是双曲线那么,当e1时它是什么曲线呢? 抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法,让学生了解抛物线的形成,从而理解并驾驭抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足
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