非线性规划基本概念和基本原理PPT课件.ppt
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1、关于非线性规划的基本概念和基本原理第一张,PPT共五十四页,创作于2022年6月27.1 数学模型和基本概念数学模型和基本概念非线性规划是运筹学中包含内容最多,应用最非线性规划是运筹学中包含内容最多,应用最广泛的一个分支,计算远比线性规划复杂。广泛的一个分支,计算远比线性规划复杂。第二张,PPT共五十四页,创作于2022年6月3一、数学模型一、数学模型 例例 某单位拟建一排某单位拟建一排厂房,厂房建筑平面如图厂房,厂房建筑平面如图所示。由于资金及材料的所示。由于资金及材料的限制,围墙及隔墙的总长限制,围墙及隔墙的总长度不能超过度不能超过8080米。为使建米。为使建筑面积最大,应如何选择筑面积最
2、大,应如何选择长宽尺寸?长宽尺寸?分析:设长为分析:设长为 米,米,宽为宽为 米,则有米,则有 f(x)为非线性函数为非线性函数第三张,PPT共五十四页,创作于2022年6月4例例 设某物理过程具有如下规律设某物理过程具有如下规律 用试验法用试验法 。现要确定参数现要确定参数 使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平方和为使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平方和为最小,且满足最小,且满足 非负。非负。第四张,PPT共五十四页,创作于2022年6月5非线性规划:非线性规划:目标函数或(和)约束条件为非线性函数目标函数或(和)约束条件为非线性函数的规划。的规划。分析:分析:f(x)为非线性函数,为
3、非线性函数,求最小。求最小。第五张,PPT共五十四页,创作于2022年6月6一般模型一般模型一般模型一般模型Min f(X)Min f(X)s.t.hs.t.hi(X)=0 (i=1,2,.m)(X)=0 (i=1,2,.m)(P)g gj j(X)(X)0 (j=1,2.l)0 (j=1,2.l)X E En n f(X)h f(X)hi(X)gj j(X)(X)为为为为E En n上的实函数。上的实函数。上的实函数。上的实函数。或或或或第六张,PPT共五十四页,创作于2022年6月7二、基本概念二、基本概念1、全局极值和局部极值、全局极值和局部极值 为目标函数,为目标函数,为可行域。若存在
4、为可行域。若存在 ,都有,都有 ,则称,则称 为该问题的为该问题的全局极小点全局极小点,为为全局极小值全局极小值。为目标函数,为目标函数,为可行域。若有为可行域。若有 ,都有都有 ,则称,则称 为该问题的为该问题的严格全局极小点严格全局极小点,为为严格全局极小值严格全局极小值。第七张,PPT共五十四页,创作于2022年6月8若存在若存在 ,令,令 ,都有都有 ,则称则称 为该为该问题的问题的局部极小点局部极小点,为为局部极小值局部极小值。若存在若存在 ,令,令 ,都有都有 ,则称则称 为为该问题的该问题的严格局部极小点严格局部极小点,为为严格局部极小值严格局部极小值。相应不等式反号,得到相应极
5、大点,极大值定义。相应不等式反号,得到相应极大点,极大值定义。相应不等式反号,得到相应极大点,极大值定义。相应不等式反号,得到相应极大点,极大值定义。第八张,PPT共五十四页,创作于2022年6月9定义定义定义定义 如果如果如果如果X X满足(满足(满足(满足(P P)的约束条件)的约束条件)的约束条件)的约束条件 h hi(X)=0 (i=1,2,.m)g gj j(X)(X)0 (j=1,2.l)0 (j=1,2.l)则称则称则称则称X E En 为(为(P P)的一个)的一个)的一个)的一个可行解。可行解。可行解。可行解。记(记(记(记(P P)的所有可行解的集合为)的所有可行解的集合为
6、)的所有可行解的集合为)的所有可行解的集合为D D,D D称为(称为(称为(称为(P P)可行域可行域可行域可行域。第九张,PPT共五十四页,创作于2022年6月10定义定义 X X*称为(称为(称为(称为(P P)的一个)的一个)的一个)的一个(整体)最优解(整体)最优解(整体)最优解(整体)最优解,如果,如果,如果,如果X X*D,满足,满足 f(X)f(X)f(X*),X X D D。定义定义 X*称为(称为(P)的一个)的一个(局部)最优解(局部)最优解,如,如果果X*D,且存在一个,且存在一个X*的邻域的邻域N(X*,)=X En X-X*0满足满足 f(X)f(X*),X D N(
7、X*,)第十张,PPT共五十四页,创作于2022年6月11f(X)f(X)局部最优解局部最优解局部最优解局部最优解整体最优解整体最优解整体最优解整体最优解第十一张,PPT共五十四页,创作于2022年6月122.梯度向量梯度向量梯度向量梯度向量 f(X)=grad f(X)f(X)=grad f(X)=(=(f/f/x x1 1,f/f/x x2 2,.,f/xn n)T T区间内连续的梯度的性质:区间内连续的梯度的性质:区间内连续的梯度的性质:区间内连续的梯度的性质:在某点的在某点的在某点的在某点的 f(X(0 0))必与函数过该点的等值面的切平必与函数过该点的等值面的切平必与函数过该点的等值
8、面的切平必与函数过该点的等值面的切平面相垂直。面相垂直。面相垂直。面相垂直。梯度方向是函数值增加最快的方向(函数变化率最梯度方向是函数值增加最快的方向(函数变化率最梯度方向是函数值增加最快的方向(函数变化率最梯度方向是函数值增加最快的方向(函数变化率最大的方向)大的方向)大的方向)大的方向)负梯度方向是函数值减小最快的方向。负梯度方向是函数值减小最快的方向。第十二张,PPT共五十四页,创作于2022年6月13第十三张,PPT共五十四页,创作于2022年6月143、海赛、海赛、海赛、海赛(Hesse)(Hesse)矩阵矩阵矩阵矩阵 2 2f(X)=H(X)f(X)=H(X)2f/x12 2f/x
9、1 x2 .2f/x1 xn 2f/x2 x1 2f/x22 .2f/x2 xn.2f/xn x1 2f/xn x2 .2f/xn2=第十四张,PPT共五十四页,创作于2022年6月15vv 2f(X)是对称矩阵。(是对称矩阵。(是对称矩阵。(是对称矩阵。(f(X)f(X)二阶偏导数连续时,混合偏导二阶偏导数连续时,混合偏导二阶偏导数连续时,混合偏导二阶偏导数连续时,混合偏导数和取导数的顺序无关)数和取导数的顺序无关)数和取导数的顺序无关)数和取导数的顺序无关)vvf(X)f(X)是二次函数,则可写成是二次函数,则可写成是二次函数,则可写成是二次函数,则可写成vv f(X)f(X)1/2X1/
10、2XT TAX+BAX+BT TX+CX+Cvv则则则则 2 2f(X)f(X)A A(与(与(与(与X X的位置无关)的位置无关)的位置无关)的位置无关)第十五张,PPT共五十四页,创作于2022年6月164 4、正定矩阵、负定、半定、不定、正定矩阵、负定、半定、不定、正定矩阵、负定、半定、不定、正定矩阵、负定、半定、不定正定:特征值正定:特征值0;各阶主子式;各阶主子式0(Ai0)0(Ai0)半正定:特征值半正定:特征值半正定:特征值半正定:特征值 0 0;detA=0,Ai Ai 0 0负定:特征值负定:特征值负定:特征值负定:特征值00;Ai 0(iAi 0(i,Ai 0(i为偶)为偶
11、)为偶)为偶)半负定:特征值半负定:特征值半负定:特征值半负定:特征值0 0;detA=0,Ai Ai 0(i0(i为奇)为奇)为奇)为奇),Ai,Ai 0(i为偶)为偶)不定:特征值有不定:特征值有 0及及及及0,40,=400=4004 00 104 0 20 10 22 2 2=240=240H(X)正定,正定,X*=(1,1,-2),f(X*)=0第二十八张,PPT共五十四页,创作于2022年6月29例例 利用极值条件解无约束非线性规划问题利用极值条件解无约束非线性规划问题 解解 因为因为 ,令令 即即 求得到求得到4个驻点:个驻点:,和和 不是极小点;不是极小点;是极小点。是极小点。
12、第二十九张,PPT共五十四页,创作于2022年6月30凸集概念:凸集概念:凸集概念:凸集概念:设设设设D是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间E En n的一个点集,若的一个点集,若的一个点集,若的一个点集,若D D中的任意中的任意两点两点x x(1)(1),x,x(2)(2)的连的连线上的一切点线上的一切点线上的一切点线上的一切点x x仍在仍在仍在仍在D D中,则称中,则称D D为为为为凸凸凸凸集集集集。即:即:即:即:若若若若D D中的任意两点中的任意两点中的任意两点中的任意两点x(1)(1),x,x(2)D D,任意,任意,任意,任意00 1 1 使得使得使得使得x=x=
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