高等数学方明亮极限运算精选PPT.ppt

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1、高等数高等数学学方明方明亮亮极极限运算课件限运算课件2022/9/212022/9/211 1第1页，此课件共23页哦一、数列极限的四则运算一、数列极限的四则运算则有则有定理定理1 若若注意：注意：定理定理1中的（中的（1）、（）、（2）可推广到有限个收敛数）可推广到有限个收敛数列的情形列的情形.例如，例如，则有则有2022/9/212022/9/212 2第2页，此课件共23页哦解解:原式例例1（习题（习题1-5 1（3）2022/9/212022/9/213 3第3页，此课件共23页哦二二、函数极限的四则运算法则、函数极限的四则运算法则定理定理2 若若（）（）（）（）（）（）（）（）说明说

2、明:定理定理 2中的（中的（1）、（）、（2）可推广到有限个函数相乘的）可推广到有限个函数相乘的情形情形.推论推论 1 (C 为常数为常数)推论推论 2 (n 为正整数为正整数)2022/9/212022/9/214 4第4页，此课件共23页哦三三、无穷小量的运算法则、无穷小量的运算法则定理定理3 有限个有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小的代数和仍是无穷小 思考：思考：解答见课本第六节解答见课本第六节 例例3说明说明:无限个无限个无穷小之和无穷小之和不一定不一定是无穷小是无穷小!2022/9/212022/9/215 5第5页，此课件共23页哦有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的

3、乘积是无穷小定理定理4证证:设设又设又设即即当当时时,有有取取则当则当时时,就有就有故故即即是是时的无穷小时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.2022/9/212022/9/216 6第6页，此课件共23页哦解解:利用利用定理定理4 可知可知说明说明:y=0 是是的渐近线的渐近线.例例2 求求（课本习题（课本习题15 5（2）2022/9/212022/9/217 7第7页，此课件共23页哦例例3 求求解解:例例4 解解:由例由例3得，得，2022/9/212022/9/218 8第

4、8页，此课件共23页哦对于有理整函数（多项式）对于有理整函数（多项式）我们指出，我们指出，或有理分式函数或有理分式函数其中其中 都是多项式，都是多项式，且且 要求其当要求其当时的极限，时的极限，只要把只要把 代入函代入函中即可；中即可；但但对于有理分式函数，对于有理分式函数，如果代入如果代入 后，后，分母等分母等 于零，于零，则没有意义，则没有意义，不能通过直接代入的方法求极限不能通过直接代入的方法求极限 事实上，事实上，设多项式设多项式 则则2022/9/212022/9/219 9第9页，此课件共23页哦又设有理分式函数又设有理分式函数 其中其中 都是多项式，都是多项式，于是，于是，如果如

5、果 则则 如果如果 则则不能直接不能直接用商的运算法则用商的运算法则，那就需要那就需要特别考虑特别考虑 2022/9/212022/9/211010第10页，此课件共23页哦例例5解解:当当时，时，括号内两式的分母均趋于括号内两式的分母均趋于0，于是不能于是不能直接应用四则运算法则来计算。直接应用四则运算法则来计算。将函数变形得，将函数变形得，所以，所以，2022/9/212022/9/211111第11页，此课件共23页哦解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式例例6 求求2022/9/212022/9/211212第12页，此课件共23页哦解解:

6、时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式例例7 求求2022/9/212022/9/211313第13页，此课件共23页哦例例8解解:由由例例7相同的方法得，相同的方法得，而函数而函数 与函数与函数互为倒数，互为倒数，所以，所以，2022/9/212022/9/211414第14页，此课件共23页哦为非负常数为非负常数)(如课本如课本 例例6)(如课本如课本 例例7)(如课本如课本 例例8)一般有如下结果：一般有如下结果：2022/9/212022/9/211515第15页，此课件共23页哦四、复合函数的极限运算法则四、复合函数的极限运算法则定理定理5 设

7、设且且 x 满足满足时时,又又则有则有证（略）证（略）说明说明:若定理中若定理中则类似可得则类似可得2022/9/212022/9/211616第16页，此课件共23页哦解解:令令已知已知例例9 求求 原式原式=(见课本见课本 例例4)（补充题）（补充题）2022/9/212022/9/211717第17页，此课件共23页哦解解:方法方法 1则则令令 原式原式方法方法 2（补充题）（补充题）例例10 求求2022/9/212022/9/211818第18页，此课件共23页哦内内容容小结小结1.极限运算法则极限运算法则(1)数列和函数极限的四则运算法则数列和函数极限的四则运算法则(2)无穷小运算

8、法则无穷小运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)时时,对对型型,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量Th1Th2Th3Th4Th52022/9/212022/9/211919第19页，此课件共23页哦课后课后练练习习习习 题题 1-5 1 单数题单数题 3 4 5思考与思考与练练习习1.是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存

9、在.否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.问问2022/9/212022/9/212020第20页，此课件共23页哦解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=2.求求2022/9/212022/9/212121第21页，此课件共23页哦解解:令令则则故故因此因此3.试确定常数试确定常数 a 使使2022/9/212022/9/212222第22页，此课件共23页哦解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式,得得可见可见是多项式是多项式,且且求求故故4.设设2022/9/212022/9/212323第23页，此课件共23页哦