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1、测量误差与测量结果处理本讲稿第一页，共六十四页第一节第一节 误差的概念及表示方法误差的概念及表示方法2.1.1 2.1.1 常用测量术语常用测量术语1 1、一次测量和多次测量、一次测量和多次测量一次测量：一次测量：对一个被测量进行一次测量的过程，也称必须测量。多次测量：多次测量：对一个被测量进行不止一次的测量，可观测结果的一致性。2 2、等精度测量和非等精度测量、等精度测量和非等精度测量等精度测量：等精度测量：测量条件保持不变的多次测量。非等精度测量：非等精度测量：测量条件不能维持不变情况下的多次测量。本讲稿第二页，共六十四页3 3、真值、最佳值、实际值、约定真值、真值、最佳值、实际值、约定真

2、值真值：真值：被测量本身的真实值，用A0表示，通常真值是不可知的，实际中通常用最佳值最佳值来代替。最佳值：最佳值：在理想情况下，在排除系统误差的前提下，进行无数次测量的算术平均值就是真实值。将满足一定测量精度的、有限次测量的算术平均值就是最最佳值佳值，也称为实际值、实际真值或者相对真值，用A表示。实际值实际值：满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。常用高一等级或数级的计量标准所测得的量值作为实际值。约定真值约定真值AS：法令形式定下来的实物基准。本讲稿第三页，共六十四页4 4、示值、示值也称为测量值或者指示值，是指测量器具的读数装置所指示出来的被测量的数值，用表示。5 5、测量误差、测量

3、误差测量结果与被测真值的差异，通常可以分为绝对误差和相对误差俩种。6 6、测量准确度、测量准确度测量结果与真值一致的程度，用准确度等级描述。7 7、测量精密度、测量精密度误差（或者测量值）分布的密集或离散程度。8 8、标称值、标称值测量器具上标定的数值，例如砝码上的标定值。本讲稿第四页，共六十四页2.1.2 2.1.2 测量误差的来源测量误差的来源测量的目的测量的目的是得到被测量的真实结果（真值），但真值往往很难获取。测量值与真值间的差异称为测量误差。测量误差。对客观事物认识的局限性、测量工具不准确、测量手段不完善、环境影响或者测量工作中的疏忽等都会产生测量误差，误差是不可避免的。误差是不可避

4、免的。例如：1、前次测量和后次测量的结果不一致；2、不同仪器测量时测得的结果间存在差异；3、同一个人、同一台仪器的俩次测量误差不同；4、对同一被测量采用不同方法测量也存在误差。本讲稿第五页，共六十四页有测量就有误差，误差存在于一切科学实验和测量的全过程，不含误差的测量是不存在的。测量误差并不可怕，重要的是我们要知道实际测量的精确程度和产生误差的原因。研究误差的目的，归纳起来可有如下几个方面：1、正确认识误差的来源和性质以减小测量误差；2、正确处理测量数据，以得到接近真值的结果；3、合理地制定测量方案，组织科学实验，正确地选择测量方法和测量仪器；4、在设计仪器时，需要使用误差理论进行分析并适当控

5、制可能的误差因素，以减小测量误差。本讲稿第六页，共六十四页误差的来源分主要有仪器误差：仪器误差：也称设备误差，因设计、制造、装配的不完善以及仪器使用过程中的元器件老化、零部件损坏等引入的误差。使用误差：使用误差：也称操作误差，指对测量设备操作不当造成的误差。人身误差：人身误差：由于测量人员的感觉和运动器官不完善、固有习惯等产生的误差。环境误差：环境误差：也称影响误差，由于各种环境因素与要求的测量条件不一致所造成的误差。方法误差：方法误差：测量方法不完善（不当）或测量原理不严密所引起的误差，也称理论误差。理论误差。本讲稿第七页，共六十四页2.1.3 2.1.3 测量误差的分类测量误差的分类1、按

6、照误差的表示方法分可以分为：绝对误差、相对误差、引用误差（用于表示仪器时）2、按照误差的性质分可以分为：系统误差、随机（偶然）误差、疏失（粗大）误差3、按照测量误差的来源可以分为：仪器误差、使用误差、人身误差、环境误差、方法误差本讲稿第八页，共六十四页2.1.4 2.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法1 1、绝对误差：、绝对误差：测量结果与被测量的真值间的差值。因A0不可知或难以获取，常用实际值A来代替。即：与绝对误差大小相等、符号相反的量值为修正值。修正值。即：修正值是由上一级标准(基准)检定或由生产厂家以表格、曲线或者公式的形式给出。测量时利用修正值可得被测量的实际值。绝对误差含

7、正负号，可绝对误差含正负号，可以表示偏大或者偏小以表示偏大或者偏小本讲稿第九页，共六十四页例2.1.1 已知被测电压真值U0为100V，用电压表测量指示值(示值)u为101V，则其绝对误差为?例2.1.2 用晶体管毫伏表10mV挡测量时示值8mV，8mV处修正值是-0.03mV，被测电压的实际值为?例2.1.3 已知俩被测电压实际值U1=100V和U2=5V，指示值(示值)分别为u1=101V和u2=6V，则其绝对误差分别为?俩者的测量准确程度相同吗俩者的测量准确程度相同吗?本讲稿第十页，共六十四页2 2 相对误差相对误差 绝对误差可以反映测量误差的大小和方向，但不能说明测量的准确程度，因此引

8、入相对误差。相对误差有3种不同的表示形式：实际（值）相对误差：实际（值）相对误差：绝对误差与被测量的实际值的百分比值。示值相对误差：示值相对误差：绝对误差与读数值（指示值）的百分比。本讲稿第十一页，共六十四页满度（相对）误差或引用误差：满度（相对）误差或引用误差：仪器量程内最大绝对误差与测量仪器满度值（量程上限）的百分比。常用来定义仪表的准确度等级，用s表示。按m值分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共共7级。级。例如，1.0级表示仪表最大满度相对误差值不超过1.0%，仪表等级越大，测量准确度就越低。本讲稿第十二页，共六十四页例2.1.4 要测量一个40V左右的电压，有两

9、块电压表，其中一块量程为50V、1.5级，另一块量程为100V、1.0级，问应选用哪一块表测量比较合适？解：第一块电压表测量的绝对误差为：结论：结论：因为要测量的是同一个被测量，故只要比较两块表测量时产生的绝对误差即可。U150V(1.5%)=0.75V第二块电压表测量的绝对误差为：U2100V(1.0%)=1.0VU1答：应选用第一块电压表测量。本讲稿第十三页，共六十四页例.1.5 测量两个电压，分别得测量值为U1x=103V，U2x=12V，实际值为U1=100V，U2=10V，求两次测量的绝对误差和实际相对误差。解：两次测量的绝对误差、相对误差分别为:U2=U2xU2=1210=2VA1

10、=3/100=3%A2=2/10=20%U1=U1x-U1=103100=3V例2.1.6 已知某被测电压为80V，用1.5级100V量程的电压表测量，可能产生的最大绝对误差为多少？解：因为xxmaxxms 所以xmax=1.5%100=1.5V结论：结论：两个不同的测量对象，绝对误差不能衡量准确程度。本讲稿第十四页，共六十四页例2.1.7 用电压表校准万用表时测得的两个电压值100V、50V，而用万用表测得的值分别是90V、40V，求两次测量的绝对误差、修正值、实际相对误差？解：根据题意知，电压表的测量值（校准值）是更高精度等级的测量值，可作为实际值，因此：UA1=100V Ux1=90V

11、UA2=50V Ux2=40VU1=90V100V=10V C1=U1=10VA1=U/UA1100%=-10V/100V100%=-10%A2=U2/UA2100%=-10V/50V100%=-20%S)。微差法实际上是将被测量x与已知标准量S比较，但是不要求俩者完全相等，只要求二者接近即可，其差值可由小量程仪表读出（或指示出与该差值成比例的量）。本讲稿第三十一页，共六十四页绝对误差:相对误差:因为:并令:可得:由于所以很小,使得仪器相对误差对测量误差影响大大减小.本讲稿第三十二页，共六十四页解:例2.2.1 设US=100V，Ux=99V，仪表相对测量误差US/US=5%，标准US的误差小

12、的可以忽略不计，求测量电压Ux的相对误差。本讲稿第三十三页，共六十四页补偿法：补偿法：补偿法相当于部分替代法或不完全替代法。常用在高频阻抗、电压、衰减量等的测量中。谐振法测电容例2.2.2 如图为谐振法测电容原理图，当电压表电压达到最大值是产生谐振，则因Cx与f0、L、C0有关，它们的准确度都会影响Cx的准确度，因此Cx的测量准确度很难提高。本讲稿第三十四页，共六十四页补偿法测电容先断开Cx，调节标准电容Cs使电路谐振，设此时电容为Cs1，此时有而后保持信号源频率不变，接入Cx，重新调整标准电容达到谐振，设此时电容为Cs2，则有Cx仅与标准电容有关，因而测量准确度要高的多。本讲稿第三十五页，共

13、六十四页对照法对照法(或交换法或交换法)：利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等，设法使两次测量中，误差源对被测量的作用相反，取两次测量值的平均值作为测量结果。可很大程度消除系统误差的影响，特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良好。第一次平衡第二次平衡上两式相乘、开方得：本讲稿第三十六页，共六十四页例：在电桥中采用交换法测电阻例：在电桥中采用交换法测电阻本讲稿第三十七页，共六十四页交叉读数法：交叉读数法：交叉读数法是对照法的一种特殊形式。以LC谐振电路为例，其谐振曲线如图因在谐振点fx=f0附近曲线平坦，电压变化小，很难准确判断谐振状态，因而引入一定的方法误

14、差：若U/U0=2%，Q=100，则误差f/fx为110-3。改用交叉读数法，测出两个失谐频率f1和f2，则本讲稿第三十八页，共六十四页（3 3）消除或削弱系统误差的其他方法）消除或削弱系统误差的其他方法利用修正值或修正因数加以消除利用修正值或修正因数加以消除根据校正曲线、校正数据或校正公式进行修正。随机化处理随机化处理对同一被测量利用多台仪器测量取平均值。智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除（a a）、直流零位校准）、直流零位校准测量输入端直流短路时的输出电压，并存下测得的数据，实际测量中将测得值与其相减即可。（b b）、自动校准）、自动校准测量仪器各种电路因素引起的系差用微处理

15、器实现自动校准。本讲稿第三十九页，共六十四页2.2.2 2.2.2 随机误差的判断和处理随机误差的判断和处理1 1 随机误差随机误差（偶然误差或随差）（偶然误差或随差）的定义及产生原因的定义及产生原因随机误差：随机误差：对同一量值进行一系列等精度重复测量时，测量结果出现无规律随机变化的误差。主要由影响微弱、变化复杂而又互不相关的多种因素共同造成。是多因素微小误差的总和，原因有测量仪器中零部件配合不稳定或有摩擦,仪器内部部件产生噪声等；温度及电源电压的频繁波动,电磁场干扰、地基振动等；测量人员感觉器官的无规则变化，读数不稳定等原因引起的误差均可造成随机误差。本讲稿第四十页，共六十四页2 2 随机

16、误差的特点随机误差的特点（1）在多次测量中，绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。（2）在多次测量中，绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同，即具有对称性。（3）测量次数一定时，误差的绝对值不会超过一定的界限，即具有有界性。（4）随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋近于零，正负误差具有抵偿性。采用多次测量求平均可以削弱随机误差。只要测量次数足够多，随机误差的影响就可以足够小。本讲稿第四十一页，共六十四页 随机随机误差的平均差的平均值:3 3 随机误差分散程度的计算随机误差分散程度的计算在统计学里，一组测量数据可由总体平均值或分散程度来描述。算术平均值说明了测量值的总体平均

17、大小，测量数据的分散程度一般用方差和标准差来表示，表示测量结果的精密程度。若设测量次数为n，每次测量值为xi，实际值为A算算术平均平均值随机随机误差差当n时，但是实际应用中测量无数次是不可能的，当测量次数足够大时，可近似认为算术平均值就是实际值。本讲稿第四十二页，共六十四页剩余剩余误差差:当n时，残差的代数和等于零。随机误差反映了实际测量的精密度，即测量值的分散程度，但因其具有抵偿性而不能用其算术平均值来衡量测量值的精密度。通常用方差或标准差来表示测量值的精密程度。实际中，由于真实值或实际值很难获取，因此随机误差的定义也过于理想化，因此定义等式两边求和得本讲稿第四十三页，共六十四页样本方差（本

18、方差（简称方差）称方差）：标准准误差（均方根差（均方根误差，也称差，也称标准偏差或准偏差或标准差）准差）平均平均误差差随机误差落在区间 的概率为68.3%极限极限误差差随机误差落在区间 的概率为95.4%随机误差落在区间 的概率为99.7%本讲稿第四十四页，共六十四页实际中测量为有限次，随机误差用残差代替，标准差用其估计值来代替。标准差估准差估计值算算术平均平均值的的标准差准差或者贝塞尔公式若在相同条件下将同一被测量分成m组，每组重复n次测量，则每组测得值都有一个算术平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也具有分散性实际中不再区分，直接写成本讲稿第四十五页，共六十四页2.2.3 2.2.3

19、 粗大误差的判断和处理粗大误差的判断和处理1 1 粗大误差的定义和产生原因粗大误差的定义和产生原因粗大误差：粗大误差：指在一定的测量条件下，由于操作不当、测量失误等原因造成，测量值明显偏离实际值所造成的测量误差，又称为疏失误差或粗差。疏失误差或粗差。通常由于读数错误、记录错误、操作不正确、测量条件的意外改变等因素造成的，明显歪曲测量结果。2 2 测量结果置信概率与置信区间测量结果置信概率与置信区间置信概率（或称置信度）：置信概率（或称置信度）：用来描述测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大，一般用百分数表示。这个确定的范围称为置信区间置信区间，即是极限误极限误差的范围。差的范围。本

20、讲稿第四十六页，共六十四页极限误差：极限误差：定义为一个随机误差的极限值。通常用标准差的若干倍表示。显然，对于同一测量结果，所取置信区间愈宽，则置信概率愈大，反之愈小。3 3 可疑数据的剔除方法可疑数据的剔除方法莱特准则：莱特准则：在测量数据为正态分布、且测量次数足够多时，如果某个测量数据的剩余误差的绝对值满足条件：可以认为该测量值是可疑数据，应剔除。4 4 测量结果（不含系差与粗差）的表示测量结果（不含系差与粗差）的表示本讲稿第四十七页，共六十四页2.2.4 2.2.4 测量误差一般处理原则测量误差一般处理原则1、利用粗大误差判断原则，首先判断和剔除测量数据中的粗大误差；2、若系统误差远远大

21、于随机误差的影响时，可忽略随机误差，按系统误差进行处理；3、若系统误差极小或已得到修正，按随机误差处理；4、系统误差与随机误差相差不大，二者均不可忽略时，应分别按不同的办法处理，然后估计其最终的综合影响。本讲稿第四十八页，共六十四页第三节第三节 测量误差的表示和处理测量误差的表示和处理2.3.1 2.3.1 测量结果的评价测量结果的评价对测量结果可采用正确度，精密度和准确度三种评价方法。准确度：准确度：表示测量结果中系统误差大小程度；精密度：精密度：表示测量结果中随机误差的大小程度，简称为精度；一般用标准（偏）差来表示；精确度：精确度：测量结果系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致

22、程度；本讲稿第四十九页，共六十四页例2.3.1 用一块0.5级的电压表测量电压，当量程为10时，指针落在大于8.5的附近区域，这时测量数据应取几位？解:可见，测量值应为8.51、8.52、8.53等，即小数点后面取俩位。2.3.2 2.3.2 测量数据的处理测量数据的处理1 1误差位对齐法误差位对齐法测量误差的小数点后面有几位，则测量数据的小数点后面也取几位。本讲稿第五十页，共六十四页例2.3.2 某直流50V量程的万用表，其分辨力(刻度盘能准确读出的最小数值或最小刻度)为1V，则：32.7V和32.75V俩种读数那一个是恰当的?32.7V是恰当的。结论：结论：上例中32.7V被称为测量记录值

23、，最后一位称为欠准数字。欠准数字后面再有数字是无意义的。2 2有效数字表示法有效数字表示法有效数字有效数字：指测量数值中，从左边第一位非零数字算起到含有存疑数字为止的所有数字。一般数据最后一位是欠准确度的估计数字，称为存疑数字。存疑数字。有效数字的位数表达了测量的准确度，不能多写也不能少写。本讲稿第五十一页，共六十四页例2.3.3 请问0.03560的有效数字是几位？3000V可以改写成3KV、3.0KV、3.00KV、3.000KV吗?答:0.03560有效数字是4位。3000V只能改写为3.000KV。电子测量中，如果未标明测量误差或者仪器分辨力(由此在测量数据中多估读一位即可得记录值)，

24、通常认为有效数字具有不大于欠准数字(最后一位)+0.5单位的误差，称为0.50.5误差原则。误差原则。例2.3.4 试分别判断下列数字的最大误差,0.0453V、0.453V、0.43V、40.67?答：它们的最大误差分别为：0.00005V、0.0005V、0.005V、0.005。本讲稿第五十二页，共六十四页有效数字舍入有效数字舍入规则：当测量数据中有多余的有效数字时，这些数字是没有意义的，需要对测量结果超过保留位数的多余数字要进行舍入处理。舍入规则如下：（1）当被舍的数字大于5时，则舍去5向前进一位；（2）当被舍的数字小于5时，直接舍去不进位；（3）当被舍的数字刚好为5时，其前一位为奇数

25、时舍5进位，反之舍5不进位；例2.3.5 将下列数字保留到小数点后一位:12.34、12.36、12.35、12.45.解:结果分别为:12.3、12.4、12.4、12.4。本讲稿第五十三页，共六十四页有效数字运算有效数字运算规则：当需要对几个测量数据进行运算时，要考虑有效数字保留多少位的问题，以便不使运算过于麻烦而又能正确反映测量精度。计算结果位数的保留原则上取决于各参与计算的数据中精度最差的那一项。（1 1）加法运算：）加法运算：以小数点后位数最少的为准（若无小数点，则以位数最少的为准），计算时各数据位数可比其多取一位（安全数字）进行计算。本讲稿第五十四页，共六十四页（2 2）减法运算：

26、）减法运算：当相减两数相差较远时，原则同加法运算，当两数很接近时，可能带来很大的相对误差，因此第一要选用测量方法，尽量避免减法运算，第二在运算中多取一些有效数字。（3 3）乘除法运算：）乘除法运算：以有效数字位数最少的为准，其余参与运算的数字及结果的有效数字位数与之相等。为保证必要的精度，参与乘除法运算的各数及最终运算结果也可以比有效数字位数最少的数多取一位。本讲稿第五十五页，共六十四页（4 4）乘方、开方运算：）乘方、开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。例如：2.3.3 2.3.3 测量结果的处理（等精度测量）测量结果的处理（等精度测量）当对某一量进行等精度测量时，测量结果中可能包含

27、系统误差、随机误差以及粗大误差，为给出正确合理的测量结果，应进行如下数据处理：本讲稿第五十六页，共六十四页1、将测量数据按先后次序列表。2、求算术平均值：3、计算每一次测量值的剩余误差：4、计算标准差估计值：5、按莱特准则判断粗大误差，即根据剔除坏值。6、若有系统误差，则修正或消除后重新测量。7、求算术平均值的标准差估计值：8、写出测量结果的表达式：本讲稿第五十七页，共六十四页例2.3.6 对某电压进行16次等精度测量，如表所示xivivi(vi)21205.300.00+0.090.00812204.94-0.36-0.270.07293205.63+0.33+0.420.17644205.

28、24-0.06+0.030.00095206.65+1.356204.97-0.33-0.240.05767205.36+0.06+0.150.02258205.16-0.14-0.050.00259205.71+0.41+0.500.2510204.70-0.60-0.510.260111204.85-0.44-0.350.122512205.35+0.05+0.140.019613205.21-0.090.000.000014205.19-0.11-0.020.000415205.21-0.090.000.000016205.32+0.02+0.110.0121第5个数据含粗大误差，为坏值

29、，应剔除，剩15个数据重新计算本讲稿第五十八页，共六十四页本讲稿第五十九页，共六十四页作业P56-602.1 2.4 2.5 2.12 2.13 2.15 2.16 2.17 2.27 2.28 2.29本讲稿第六十页，共六十四页第四节第四节 测量误差的合成和分配测量误差的合成和分配 前面的学习中已知直接测量时存在系统误差、随机误差以及粗大误差，在实际测量中一个被测量的获得可能包括几种直接测量误差。那么如何根据若干个直接测量的误差求解总测量误差呢？2 24 41 1 测量误差的合成测量误差的合成1 1 误差传递公式误差传递公式绝对误差传递公式：本讲稿第六十一页，共六十四页相对误差传递公式：2

30、2 系统误差的合成系统误差的合成 若测量中各种随机误差可以忽略，则总合的系统误差可由各分项系统误差合成。本讲稿第六十二页，共六十四页3 3 随机误差的合成随机误差的合成若各分项的系统误差为零，则总合的随机误差为2 24 42 2 测量误差的分配测量误差的分配1 1等准确度分配等准确度分配 当总误差中各分项性质相同、大小相近时，采用等准确度分法，即分配给各分项的误差彼此相同。2 2等作用分配等作用分配本讲稿第六十三页，共六十四页 当分项误差性质不同时，采用等作用分配方法，即分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但它们对测量误差总和的作用是相同的。3 3抓住主要误差项进行分配抓住主要误差项进行分配 在各分项误差中某项误差特别大时，这时就可以不考虑次要分项的误差，或酌情分给次要分项少量误差比例，确保主要项的误差小于总合的误差。若主要误差项有若干项，可把误差在这几个主要误差项中分配，考虑采用等准确度或等作用分配原则。本讲稿第六十四页，共六十四页