第22章 二次函数 复习课件人教版数学九年级上册.pptx

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1、第 22 章 二次函数Quadratic Function,回顾：正比例函数和一次函数,我们学过哪些函数？,一次函数形如=+(0)与轴的交点坐标为( ,0)，与轴的交点坐标为(0,)当0时， 随的增大而增大；当0时，函数图像与轴交于正半轴；当0时，函数图像与轴交于负半轴；当=0时，函数图像过原点，是个正比例函数。解析式的确定：待定系数法（设、代、解，得，验）平移：上加下减、左加右减,引入：,个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数与球队数有什么关系？,每个队要与其他1个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛所以比赛的场次数= 1 2 (1)即= 1 2 2

2、1 2 像上式这样，比赛的场次数与球队数的关系，对于的每一个值， 都有一个对应值，那么我们说，是的函数。,22.1 二次函数的图像和性质,22.1 二次函数的图像和性质,定义：形如= 2 +(，是常数，0)的函数。其中，是自变量， ，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。,注意：每项的系数包括它前面的符号,那么，这个函数的图像是怎么样的呢？,跟其他函数一样，我们可以通过描点法来粗略地画出二次函数的图像。以= 2 为例：,22.1 二次函数的图像和性质,22.1 二次函数的图像和性质,我们描出上述点，再用平滑的曲线连接这些点后，不难发现，二次函数= 2 的图象是一条曲线，它的形状类似

3、于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线= 2 。实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。,22.1 二次函数的图像和性质,还可以看出，轴是抛物线= 2 的对称轴，抛物线= 2 与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线= 2 的顶点，它是抛物线= 2 的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。,22.1 二次函数的图像和性质,从二次函数= 2 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升。也就是说，当0时， 随的增大而增大。,2

4、2.1 二次函数的图像和性质,我们已经知道= 2 的图象，那么= 1 2 2 ，= 2 2 的图像与= 2 有何异同呢？,一般地，当0时，抛物线= 2 的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点， 越大，抛物线的开口越小。类似地，我们可以研究当0时，二次函数= 2 的图象和性质.,22.1 二次函数的图像和性质,一般地，当0时，抛物线= 2 的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点， 越大，抛物线的开口越小。,22.1 二次函数的图像和性质,= 2 的图像我们已经了解了，在之前学习其他函数的时候，我们学习了函数的平移：上加下减，左加右减，这个口诀对二次函数一样适用

5、。首先我们先来对他进行上下平移，试着用描点法画出=2 2 +1和=2 2 1的图像。可以看出，把=2 2 向上平移1个单位长度，就得到抛物线=2 2 +1；把抛物线=2 2 向下平移1个单位长度，就得到抛物线=2 2 1。,22.1 二次函数的图像和性质,那么，对它进行左右平移呢？试着画出= 1 2 (+1) 2 和= 1 2 (1) 2 的图像。可以看出，把= 1 2 2 向左平移1个单位长度，就得到= 1 2 (+1) 2 ；把= 1 2 2 向右平移1个单位长度，就得到抛物线= 1 2 (1) 2 。,他们的开口都向下，其中= 1 2 (+1) 2 的对称轴是=1，顶点是(1，0)； =

6、 1 2 (1) 2 的对称轴是=1，顶点是(1，0)。,22.1 二次函数的图像和性质,归纳：通过上面的几种变形我们发现， = () 2 +与= 2 的形状相同，但是位置不同，把= 2 进行平移后，就可以得到抛物线 = () 2 +。抛物线 = () 2 +有如下特点开口方向：当0时，开口向上；当0，当时， 随增大而增大；2、若时， 随增大而减小。,22.1 二次函数的图像和性质,例1：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？,解析如图，以水管与地面交点

7、为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系。,点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是= (1) 2 +3(03)抛物线经过点(3，0) ，可得0= (31) 2 +2解得= 3 4,因此= 3 4 (1) 2 +3(03)当=0时， =2.25也就是说，水管应2.25m长。,22.1 二次函数的图像和性质,我们知道，二次函数解析式中一般式是= 2 +，刚刚研究的都是顶点式：= () 2 +的函数图像，那么他们之间有什么联系呢？事实上，我们可以把= 2 +通过配方法化成= () 2 +的形式，即= (+ 2 ) 2 + 4 2 4 因

8、此，抛物线= 2 +的对称轴是= 2 ，顶点是( 2 ， 4 2 4 )。,22.1 二次函数的图像和性质,如图所示，从二次函数= 2 +的图像可以看出：若0，当 2 时， 随增大而增大；若 2 时， 随增大而减小。,22.1 二次函数的图像和性质,二次函数解析式归纳：一般式： = 2 +(0)顶点式： = () 2 +(0),22.1 二次函数的图像和性质,例2：分别写出抛物线=5 2 与=3 2 的开口方向、对称轴和顶点。,答案,22.1 二次函数的图像和性质,例3：分别写出抛物线=3 2 +3、=3 (6) 2 、 =3 (+2) 2 7的开口方向、对称轴和顶点。,答案,22.1 二次函

9、数的图像和性质,我们之前学过一次函数解析式的确定，已知两点就可以确定一条直线的解析式。那么，二次函数的解析式该如何确定呢？确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式=+，需求出，的值。用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于，的二元一次方程组就可以求出，的值。类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式= 2 +，需求出，的值。由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于，的三元一次方程组就可以求出，的值。,22.1 二次函数的图像和性质,例4：已知抛物线过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求该抛物线的函数解析式。,解析因为抛物线过(1，10)，(1，4

10、)，(2，7)三点，所以可以得到关于阿，的三元一次方程组：+=10+=44+2+=7解这个方程组，得=2，=3，=5所求二次函数是=2 2 3+5,22.1 二次函数的图像和性质,思考：是不是一条抛物线至少需要三个点才能确定他的解析式呢？我们知道二次函数解析式的一般式是= 2 +，他有，三个参数，就需要三个方程才能求解。但是对于他的顶点式 = () 2 +来说，顶点坐标是(，)，那么当我们知道顶点坐标时，顶点式中就只剩一个参数是未知的了，此时只需要抛物线上除顶点外的一点就可以求出它的解析式。,22.1 二次函数的图像和性质,例5：已知抛物线上两点(1，4)，(0，3)，其中点是该抛物线的顶点，

11、求该抛物线的函数解析式。,解析抛物线的顶点坐标为(1，4)设抛物线解析式为= (1) 2 +4把点 (0，3)代入= (1) 2 +4中得3= (01) 2 +4解得=1该抛物线的函数解析式为= (1) 2 +4,22.2 二次函数与一元二次方程,22.2 二次函数与一元二次方程,例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系=205 2 （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？解：依题得h=15即15=205 2 解得 1 =

12、1， 2 =3当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。,22.2 二次函数与一元二次方程,例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系=205 2 （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？解：依题得h=20即20=205 2 解得 1 = 2 =2当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。,22.2 二次函数与一元二次方程,例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物

13、线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系=205 2 （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？解：依题得h=20.5即20.5=205 2 因为= (4) 2 44.10方程无实数根，即小球的飞行高度达不到20.5m。,22.2 二次函数与一元二次方程,例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系=205 2 （4）小球从飞出到落地要用多少时间？解：小球飞出及落地时的高度都为0m，即h=0

14、即0=205 2 解得 1 =0， 2 =4小球在0s时起飞，在4s时落地，从飞出到落地要用4s。,22.2 二次函数与一元二次方程,从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。例如，已知二次函数= 2 +4的值为3，求自变量的值，可以看作解一元二次方程 2 +4=3（即 2 4+3=0）。反过来，解方程 2 4+3=0又可以看作已知二次函数= 2 4+3的值为0，求自变量的值。一般地，我们可以利用二次函数= 2 +深入讨论一元二次方程 2 +=0。,22.2 二次函数与一元二次方程,例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？

15、由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？这些函数的图像如右下图所示。（1） = 2 +2 （2） = 2 6+9（3） = 2 +1,解析抛物线= 2 +2与轴有两个公共点它们的横坐标是2，1当取公共点的横坐标时，函数值是0由此得出方程 2 +20的根是2，1,22.2 二次函数与一元二次方程,例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？这些函数的图像如右下图所示。（1） = 2 +2 （2） = 2 6+9（3） = 2 +1,解析抛物线=6+9与轴有一个公共点这点的横坐标是3当=3时，函数

16、值是0由此得出方程 2 6+9=0有两个相等的实数根3,22.2 二次函数与一元二次方程,例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？这些函数的图像如右下图所示。（1） = 2 +2 （2） = 2 6+9（3） = 2 +1,解析抛物线= 2 +1与工轴没有公共点由此可知，方程 2 +1=0没有实数根,22.2 二次函数与一元二次方程,例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？这些函数的图

17、像如右下图所示。（1） = 2 +2 （2） = 2 6+9（3） = 2 +1,归纳由二次函数图象与轴位置关系的情况，可以得出相应一元二次方程的根；反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数图象与轴的位置关系。,22.3 实际问题与二次函数,22.3 实际问题与二次函数,对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究。例8：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是=305 2 (06)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？,可以看出，这个函数的图

18、象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。,因此，当= 2 = 30 2 5 =3时，有最大值 4 2 4 = 30 2 4(5) =45也就是说，小球运动的时间是3时，小球最高。小球运动中的最大高度是45。,22.3 实际问题与二次函数,一般地，当0(0)时，抛物线= 2 +的顶点是最（高）点，也就是说，当= 2 时，二次函数= 2 +有最小（大）值 4 2 4 。我们再来解决一些实际问题。,22.3 实际问题与二次函数,例9：用总长为 60 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化。当 是多少米时，场地

19、的面积 最大?解析先写出 关于 的函数解析式，再求出使 最大的 的值。矩形场地的周长是60，一边长为 ，所以另一边长为( 60 2 )。场地的面积=(30)，即= 2 +30 (030)因此，当 = 2 = 30 2(1) =15时， 有最大值 4 2 4 = 30 2 4(1) =225 。也就是说，当 是 15 时，场地的面积 最大。,22.3 实际问题与二次函数,例10：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最

20、大？解析调整价格包括涨价和降价两种情况，先看涨价的情况：设每涨价 元，每星期售出商品的利润为 元。涨价 元时，每星期少卖 10 件，实际卖出 (30010) 件，销售额为 (60+)(30010) 元，买进商品需支付 40(30010) 元。因此，所得利润=(60+)(30010)40(30010)即=10 2 +100+6000(030)当 = 2 =5 时， 最大，也就是说，涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元。,22.3 实际问题与二次函数,例10：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：如调整价格，每涨价 1

21、 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？解析再看降价的情况：设每降价 元，每星期售出商品的利润为 元。降价 元时，每星期多卖 20 件，实际卖出 (300+20) 件，销售额为 (60)(300+20) 元，买进商品需支付 40(300+20) 元。因此，所得利润=(60)(300+20)40(300+20)即=20 2 +100+6000(020)当 = 2 =2.5 时， 最大，也就是说，降价的情况下，降价 2.5 元，即定价 57.5 元时，利润最大，最大利润为 6125 元。,22.3 实际问题与

22、二次函数,例11：某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件工元出售，可卖出 (100) 件，应如何定价才能使利润最大?例12：飞机着陆后滑行的距离 (单位：) 关于滑行的时间 (单位：) 的函数解析式是=601.5 2 ，飞机着陆后滑行多远才能停下来？例13：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？,总结,二次函数：形如= 2 +(，是常数，0)的函数。抛物线 = () 2 +的特点开口方向：当0时，开口向上；当0，当时， 随增大而增大；2、若时， 随增大而减小。,二次函数与一元二次方程：由二次函数图象与轴位置关系的情况，可以得出相应一元二次方程的根；反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数图象与轴的位置关系。,二次函数解决实际问题：一般地，当0(0)时，抛物线= 2 +的顶点是最（高）点，也就是说，当= 2 时，二次函数= 2 +有最小（大）值 4 2 4 。,