传热学第二章导热问题数学描述PPT讲稿.ppt

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1、传热学第二章导热问题数学描述2022/9/211第1页，共23页，编辑于2022年，星期四第二章第二章 导热问题的数学描述导热问题的数学描述1 1、基本概念及傅里叶定律、基本概念及傅里叶定律2 2、导热系数、导热系数3 3、导热微分方程式及其定解条件、导热微分方程式及其定解条件第2页，共23页，编辑于2022年，星期四 导热问题的求解目标与思路导热问题的求解目标与思路解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤：解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤：问题分析问题分析建立物理模型建立物理模型 根据问题的相关根据问题的相关属性建立数学模型属性建立数学模型求解求解传热学的主要任务是求解传热学的主要任

2、务是求解热量传递速率热量传递速率和和温度变化速率温度变化速率，对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热流场。这对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热流场。这就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种具体问题的数就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种具体问题的数学求解方法。学求解方法。第3页，共23页，编辑于2022年，星期四1、基本概念及傅里叶定律、基本概念及傅里叶定律1)1)温度场温度场温度场温度场温度场温度场物体中各点温度的集合，物体中各点温度的集合，在直角坐标系下的形式在直角坐标系下的形式分类：分类：与时间关系分为稳态温度场和非稳态温度场与时间关系分为稳态温度场和非稳态温度场与空间关系

3、分为一维、二维、三维温度场。与空间关系分为一维、二维、三维温度场。第4页，共23页，编辑于2022年，星期四2）等温面：）等温面：温度场中同一瞬间温度相同的点连成的面。温度场中同一瞬间温度相同的点连成的面。其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。等温线等温线:任意截面与等温面的交线。任意截面与等温面的交线。特点：特点：不能相交；不能相交；物体内部内部连续；物体内部内部连续；沿等温线（面）无热量传递；沿等温线（面）无热量传递；等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小。流密度）的相对大

4、小。tt-tt-tt+tt第5页，共23页，编辑于2022年，星期四3）方向导数与温度梯度）方向导数与温度梯度方向导数方向导数:函数在某点沿某一方向对距离的变化函数在某点沿某一方向对距离的变化率率.温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度梯度温度梯度，记为，记为grad t。梯度的性质：梯度的性质：1方向导数等于梯度在该方向上的投影；方向导数等于梯度在该方向上的投影；2每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向（法线每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向（法线方向）。方向）。第6页，共23页，编辑于2022年，星期四4）傅）傅里里叶定律叶定律

5、 一般形式：一般形式：傅里叶定律的文字表述为傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中在导热现象中,单位时间内单位时间内通过给定截面的热流量通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向的温度正比于该截面法线方向的温度变化率和截面面积变化率和截面面积,热量传递的方向与温度升高的方向热量传递的方向与温度升高的方向相反相反.注：傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同性材注：傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同性材料（导热系数在各个方向是相同的）料（导热系数在各个方向是相同的）.第7页，共23页，编辑于2022年，星期四2、导热系数、导热系数（Thermal conductivity）傅里叶定律给出了导热系

6、数的定义傅里叶定律给出了导热系数的定义:导热系数导热系数在数值上等于在数值上等于单位温度梯度作用下的单位温度梯度作用下的热流密度。热流密度。是物性参数，是物性参数，与物质结构和状态密切与物质结构和状态密切相关，如温度、相关，如温度、湿度、湿度、压力、密度等，而与几压力、密度等，而与几何形状无关。何形状无关。反映了物反映了物质微观粒子传递热量的特质微观粒子传递热量的特性。性。不同物质的导热性能不同：不同物质的导热性能不同：0C时：时：第8页，共23页，编辑于2022年，星期四同一种物质的导热系数因其状同一种物质的导热系数因其状态参数的不同而改变。态参数的不同而改变。一般把一般把导热系数仅仅视为温

7、度的函数，导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围还可以用而且在一定温度范围还可以用一种线性关系来描述一种线性关系来描述 一般将温度不高于一般将温度不高于350oC时，时，不大不大于于0.12 W/(m)的材料称为的材料称为保温材保温材料料。高效能的保温材料多为蜂窝。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。状多孔结构。第9页，共23页，编辑于2022年，星期四疏松物质的折合密度疏松物质的折合密度:疏松物质内含不流动的气体物疏松物质内含不流动的气体物质，由于气体物质的低导热性，疏松物质常用于质，由于气体物质的低导热性，疏松物质常用于隔热保温。若过于密实，空隙中的气体被赶跑，隔热保温。若过于密实

8、，空隙中的气体被赶跑，导热系数会加大；若过于蓬松，空隙中气体的对导热系数会加大；若过于蓬松，空隙中气体的对流作用增强，也会使导热系数加大，所以，为了流作用增强，也会使导热系数加大，所以，为了得到较小的导热系数，疏松物质应有一个适中的得到较小的导热系数，疏松物质应有一个适中的折合密度。折合密度。多孔材料的含水率多孔材料的含水率:水取代了孔中空气而使导热系数加水取代了孔中空气而使导热系数加大，所以保温材料要防水，衣服要保持干燥。大，所以保温材料要防水，衣服要保持干燥。第10页，共23页，编辑于2022年，星期四住新房和旧房的感觉一样么住新房和旧房的感觉一样么？答：因为水的导热系数远大答：因为水的导

9、热系数远大于空气的导热系数，新房的于空气的导热系数，新房的墙壁含水较多，所以新房比墙壁含水较多，所以新房比较冷。较冷。第11页，共23页，编辑于2022年，星期四简述影响导热系数的因素。简述影响导热系数的因素。答：导热系数不仅与答：导热系数不仅与物质的种类物质的种类有关，还与物质的有关，还与物质的物理结构和状态物理结构和状态有关。有关。温度温度、多孔材料的含水率多孔材料的含水率、疏松物质的折合密度疏松物质的折合密度等都等都影响材料的导热系数。影响材料的导热系数。同样是同样是 -6-6的气温，在南京比在北京感觉冷一些的气温，在南京比在北京感觉冷一些答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有

10、水蒸汽而答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有水蒸汽而比干空气的换热能力强比干空气的换热能力强;加之衣物也因吸收空气中水分使保温加之衣物也因吸收空气中水分使保温效果下降。效果下降。第12页，共23页，编辑于2022年，星期四3、导热微分方程式及其定解条件、导热微分方程式及其定解条件理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 +能量守恒方程能量守恒方程1）导热微分方程的推导）导热微分方程的推导方法：方法：微元体平衡微元体平衡假设：假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)热导率、比热容和密度均为常数；热导率、比热容和密度均为常数；(3)物体内具

11、有均匀内热源。物体内具有均匀内热源。第13页，共23页，编辑于2022年，星期四导入微元体的净热量导入微元体的净热量x方向导入微元体的热量：方向导入微元体的热量：x方向导出微元体的热量：方向导出微元体的热量：x方向导入微元体的净热量：方向导入微元体的净热量：根据根据能量守恒定律能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量，单位时间净导入微元体的热量 加上微元加上微元体内热源生成的热量体内热源生成的热量 应等于微元体内能的增加量应等于微元体内能的增加量 。则。则第14页，共23页，编辑于2022年，星期四同理同理y方向和方向和z方向净方向净热量热量：导入微元体的总净热量（以上三式之和）：导入微元体的

12、总净热量（以上三式之和）：微元微元体内体内热源生成热热源生成热:式中：为单位体积内热源单位体积内热源.微元体内能增量（显热）微元体内能增量（显热）：第15页，共23页，编辑于2022年，星期四整理得整理得常物性常物性、非稳态非稳态有有内热源内热源的导热微分方程：的导热微分方程：（非稳态项（非稳态项=扩散项扩散项+源项）源项）式中：拉普拉斯算子式中：拉普拉斯算子由能量守恒定律由能量守恒定律第16页，共23页，编辑于2022年，星期四常见材料热扩散率：常见材料热扩散率：木材：木材：a=1.5 10-7;钢：钢：a=1.25 10-5；银：；银：a=2 10-4。木材比钢材的。木材比钢材的导温系数小

13、导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。热扩散率（导温系数）热扩散率（导温系数）:物性参数物性参数.分子代表导热能力，分母代表容热能力，其值代表温度波动分子代表导热能力，分母代表容热能力，其值代表温度波动在物体中的在物体中的扩散速度扩散速度。比如：比如：a值大，即值大，即 值大或值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。热扩散率热扩散率a 只对非稳态过程才有意义只对非稳态过程才有意义,因为稳态过程温度不随时间因为稳态过程温度不随时间变化，热容

14、大小对导热过程没有影响。变化，热容大小对导热过程没有影响。第17页，共23页，编辑于2022年，星期四2）定解条件）定解条件导导热热微微分分方方程程是是描描写写物物体体的的温温度度随随时时间间和和空空间间变变化化的的一一般般关关系系，没没有有涉涉及及具具体体、特特定定的的导导热热过过程程，是是通通用用表达式。表达式。定解条件：定解条件：确定唯一解的附加条件确定唯一解的附加条件.时间条件时间条件：某一时刻导热物体的温度分布，对起始时：某一时刻导热物体的温度分布，对起始时刻刻又称初始条件。（对于稳态导热，时间条件没有意义又称初始条件。（对于稳态导热，时间条件没有意义.）边界条件边界条件:表明物体边

15、界处的温度或换热情况表明物体边界处的温度或换热情况.第19页，共23页，编辑于2022年，星期四常见的三类边界条件常见的三类边界条件:a.第一类边界条件第一类边界条件:已知物体边界上任何时刻的温度已知物体边界上任何时刻的温度分布，分布，最简单的形式：最简单的形式：恒壁温，恒壁温，b.第二类边界条件第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流已知物体边界上任何时刻的热流密度或温度变化率，密度或温度变化率，最简单的形式：最简单的形式：恒热流，恒热流，恒热流的特例是绝热边界条件：恒热流的特例是绝热边界条件：第20页，共23页，编辑于2022年，星期四当:转化为第一类边界条件转化为第一类边界条件（绝热）转化为第（绝热）转化为第二类边界条件二类边界条件当:导热微分方程定解条件导热微分方程定解条件 求解温度场热流场求解温度场热流场由由Newton定律：定律：由由Fourier定律：定律：c.第三类边界条件第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表面传热已知物体边界与周围流体间的表面传热系数系数h及周围流体温度。及周围流体温度。第21页，共23页，编辑于2022年，星期四补充：其他坐标下的导热微分方程补充：其他坐标下的导热微分方程对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 第22页，共23页，编辑于2022年，星期四对于球坐标系对于球坐标系 第23页，共23页，编辑于2022年，星期四